Aula - 5 - A Transformada Z

Prévia do material em texto

Sinais e Sistemas
Engenharia de Controle e Automação
Universidade Federal de Lavras
Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa
Notas de Aula 5 – A Transformada Z
Sumário
• A Transformada Z e suas Propriedades
• Solução de Equações Diferença
• Diagramas de Blocos
• Projeto de Filtros IIR e FIR
Equação Diferença
• Os sistemas LDIT
▫ Equação diferença:
A Transformada Z
• Considere o sinal x(t) amostrado a cada T
segundos:
• A Transformada de Laplace de x(t) é:
• Defina
• Todo sinal amostrado pode ser escrito em função da 
variável z 
• A Transformada Z unilateral de uma sequência 
amostrada causal 
é
• A Transformada Z bilateral é dada por:
A Transformada Z
• Considere uma entrada exponencial complexa 
aplicada a um sistema LTI
• Considere e , temos então
que:
A Transformada Z
• Aplicando ao sistema LTI
A Transformada Z
• Determine a Transformada Z do sinal , 
sendo uma constante.
• Por definição: 
• Assim,
▫ Progressão geométrica...
A Transformada Z
se
• Como
▫ então,
A Transformada Z
se
• O sinal possui a mesma 
transformada Z:
▫ Considerando apenas sinais causais 
(Transformada Z unilateral) ela será única
A Transformada Z
• Uma simples equação no domínio z representa 
uma sequência infinita de amostras.
• X[z] existe apenas para 
• Para , X[z] provavelmente irá para o 
infinito. A região a qual X[z] existe é chamada de 
Região de Convergência: 
A Transformada Z
plano z
RDC
• Definição:
• Impulso
• Degrau
A Transformada Z de Alguns Sinais
e
• Cosseno:
▫ Assim:
portanto
A Transformada Z de Alguns Sinais
• Encontre a Transformada Z de:
▫ Pela definição:
A Transformada Z de Alguns Sinais
• Lembrando que:
A Transformada Z de Alguns Sinais
A Transformada Z
A Transformada Z
• Definição:
• Tal integral de contorno no plano complexo é de 
difícil avaliação, assim utilizamos os pares de 
transformadas
A Transformada Z Inversa
• A maioria dos sinais é uma razão de polinômios 
em z:
▫ Pólos e zeros como visto em Laplace...
A Transformada Z Inversa
• No caso de uma função em z ser própria (m=n), 
é possível reescrever como uma função 
estritamente própria mais uma constante:
A Transformada Z Inversa
• No caso de uma função em z ser 
estritamente própria, podemos utilizar a 
expansão em frações parciais
• O mais conveniente é aplicar a expansão 
em frações parciais na função X(z)/z e 
depois multiplicar por z, conforme 
exemplo a seguir
A Transformada Z Inversa
• Exemplo 5.3
A Transformada Z Inversa
• Exemplo 5.3
A Transformada Z Inversa
• Exemplo 5.3
A Transformada Z Inversa
• Exemplo 5.3 (pólos complexos)
A Transformada Z Inversa
• Exemplo 5.3 (pólos complexos)
▫ Utilizando o par 12c
A Transformada Z Inversa
• Expansão em série de potência:
▫ Uma função em z pode ser escrita em uma 
série de potência dividindo o numerador 
pelo denominador
A Transformada Z Inversa
• Expansão em série de potência, exemplo:
A Transformada Z Inversa
• Expansão em série de potência, exemplo:
A Transformada Z Inversa
• Exemplo:
▫ Encontre a Transformada Z do seguinte sinal:
A Transformada Z
A Transformada Z
• Exemplo:
▫ Encontre a Transformada Z do seguinte sinal:
A Transformada Z
• Exemplo:
A Transformada Z
• Exemplo:
A Transformada Z
• Exemplo:
▫ A Transformada do sinal original é:
▫ Pólos e zeros:
Região de Convergência
• ROC:
▫ Zona para qual a série converge
▫ Corresponde sempre a um disco sem as fronteiras 
(a ROC não contém pólos)
▫ Quando contém o círculo unitário, existe 
transformada discreta de Fourier
Região de Convergência
• Exemplo:
Região de Convergência
• Estabilidade: Sistema causal e estável
Sistemas estáveis Sistemas instáveis
Círculo raio 
unitário
ROC
Região de Convergência
• Estabilidade no plano Z:
▫ Estável: se todos os pólos estiverem dentro do 
círculo de raio unitário no plano Z.
▫ Marginalmente estável: se pólos de 
multiplicidade um estiverem sobre a 
circunferência de raio unitário, estando os demais 
dentro do círculo de raio unitário.
▫ Instável: se algum pólo estiver fora do círculo de 
raio unitário e/ou existirem pólos de 
multiplicidade maior do que um sobre a 
circunferência de raio unitário.
Propriedades da Transformada Z
• Linearidade:
• Inversão no tempo:
• Deslocamento no tempo:
Propriedades da Transformada Z
• Multiplicação por sequência exponencial:
• Convolução:
• Diferenciação no domínio z
• Valor inicial:
• Valor final:
Propriedades da Transformada Z
• Exemplo:
▫ Encontre a transformada Z do seguinte sinal:
Propriedades da Transformada Z
• Exemplo:
Propriedades da Transformada Z
• Exemplo:
Solução de Equação Diferença
• Considere um sistema discreto no tempo regido 
pela seguinte equação diferença:
▫ Assumindo condições iniciais nulas
� Forma geral da FT:
Solução de Equação Diferença
• Exemplo 5.5 - Resolva:
▫ Para as condições iniciais
e
Usando o operador de atraso:
Solução de Equação Diferença
• Exemplo 5.5:
Solução de Equação Diferença
• Exemplo 5.5:
Solução de Equação Diferença
• Exemplo 5.5:
Solução de Equação Diferença
• Exemplo 5.5:
Solução de Equação Diferença
• Exemplo 5.5:
Solução de Equação Diferença
• Exemplo 5.5:
Solução de Equação Diferença
• Exemplo 5.5:
Solução de Equação Diferença
• Exemplo 5.5 – Resposta direta:
Resposta em Frequência
• No tempo contínuo vimos que:
• No tempo discreto 
H(ejΩ)
Resposta em Frequência
• Exemplo – Encontre a resposta em frequência 
do seguinte sistema :
▫ A Transformada Z é:
Assim:
Resposta em Frequência
• Exemplo:
▫ Resposta em Amplitude
▫ Resposta em Fase:
Periódico!
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial
Relação entre as Transformadas de 
Laplace e Z
• Como e
Relação entre as Transformadas de 
Laplace e Z
• Como e
Filtros Digitais
• Vantagens:
▫ São programáveis (não é necessário mudar o 
circuito como no caso de filtros analógicos) 
▫ Fáceis de implementar e de serem testados
▫ Mudança de temperatura não acarreta em 
alterações de seu funcionamento
▫ Mais flexíveis, podendo ser adaptativos
Filtros Digitais
• FIR (Filtros de Resposta ao Impulso Finita)
• IIR (Filtros de Resposta ao Impulso Infinita)
Filtros Digitais
Filtros Digitais
• Encontre a resposta em amplitude de um sistema 
discreto no tempo com frequência de amostragem de 
1000Hz e com zeros em 1 e em -1, pólos em 
e em
• A FT é dada por: 
• Note que a frequência analógica corresponde à
frequência digital onde T é o período de 
amostragem
• Como , isso corresponde a ou 
Filtros Digitais
• A FT é dada por:
▫ Assim: 
Filtros Digitais
•Implemente um filtro notch de segunda ordem 
para rejeitar a frequência de 250Hz, sendo qua a 
frequência de amostragem é 1000Hz.
• 250Hz corresponde a 
Filtros Digitais
• Implemente um filtro notch de segunda ordem para rejeitar a frequência de 
250Hz, sendo qua a frequência de amostragem é 1000Hz.
Exercícios
• 5.1.1;
• 5.1.2 a,c,e,g;
• 5.1.4 a,b,e,g;
• 5.1.5 a,b,e,f;
• 5.1.6 a;
• 5.2.2;
• 5.2.9;
• 5.3.2
• 5.3.5
• 5.3.11
• 5.3.23 a;
• 5.5-4
• 5.5-9
• 5.6-1
• 5.6-7
• 5.9-3
• 5.9-4