CDI A Aula00 08 02 2013

Prévia do material em texto

Sexta Feira 
 
 
Cálculo Diferencial 
 
 
 
 
 
08/02/2013 Introdução 
 
Objetivos, Método de Avaliação, Planejamento e 
revisão de matemática 
 
 
 
 
Código: EXA237 A 
 
Turmas: ELE212AN, MEC212AN 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial 
 
 1 
 
Ementa: Derivadas totais com regra da cadeia. Primitivas imediatas. Métodos de 
integração. Integrais definidas e aplicações. Integrais múltiplas. Funções de duas ou mais 
variáveis. Derivadas parciais. Equações diferenciais de 1a e 2a ordem. Operadores vetoriais. 
Conteúdos: 
08 / 02 Introdução. Revisão de matemática básica 
15 / 02 Funções reais de uma variável: domínio, imagem, tabela de valores e gráfico 
22 / 02 Operações sobre funções reais de uma variável 
29 / 02 Operações sobre funções reais de uma variável 
08 / 03 Definição de limite de uma função, propriedades e indeterminações 
15 / 03 Resolver indeterminações de limites e limites unilaterais 
22 / 03 Reta tangente a uma curva, derivada de uma função: definição e interpretação 
geométrica 
29 / 03 Revisão de toda matéria para a avaliação AV1 
05 / 04 1a Avaliação relativa à AV1 
12 / 04 Regras básicas de derivação 
19 / 04 Cálculo de derivadas e de função derivada 
26 / 04 Cálculo de derivadas e de função derivada 
03 / 05 Função crescente e decrescente. 
10 / 05 Derivada de função composta 
17 / 05 Derivada de ordem superior, diferenciação implícita l 
24 / 05 Aplicações de Derivada: Máximo e mínimo e regra de L’Hôpital 
31 / 05 Revisão da matéria dada após a 2a avaliação AV1 
07 / 06 2a Avaliação relativa à AV1 
14 / 06 Entrega das notas e discussão da 2a prova relativa à AV1 
21 / 06 Tópicos especiais 
Avaliação: 
Avaliação (AV1): Participação nas duas provas previstas para o curso, de acordo com o 
calendário da universidade: duas avaliações (P1 e P2) formativas, valendo cada uma até dez 
pontos. Nas provas, os critérios de correção são: clareza na exposição de idéias com as 
respostas corretas. As duas provas são dissertativas, cada uma com valendo de zero a dez 
pontos; A nota de primeira avaliação (AV1), cujo peso será quatro (4) na média final, será 
calculada média aritmética: AV1 = (P1+ P2+ML+T) / 4, onde ML é a média aritmética de listas 
de exercícios e T um trabalho de pesquisa. Obs.: Será admitido arredondamento de nota 
somente na nota final da AV1 e de apenas 0,25 pontos. 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 08/02/2013 Introdução e revisão de matemática básica 
 
 2 
ATENÇÃO: As provas AV1 serão sem consulta e deverão ser feitas a tinta. Apenas cálculos 
auxiliares poderão ser feitos a lápis, embora estes também sejam levados em conta pelo 
professor. Em dia de prova, o estudante deverá trazer apenas o material necessário para 
efetuar a prova, caso tenha trazido algum outro material, este deverá ficar junto ao quadro 
verde durante a prova. 
 
Provas substitutivas serão concedidas para a primeira prova AV1 (P1), no período das 
primeiras duas semanas após a prova, mediante comprovação: (a) por escrito da convocação 
para trabalhar, no horário da prova, por parte da firma onde o estudante trabalha, (b) mediante 
atestado médico ou (c) outra justificativa que comprove a impossibilidade de comparecer à 
prova. Para a segunda prova AV1 (P2), a princípio não haverá prova substitutiva por falta de 
tempo hábil para efetuá-la. 
 
Avaliação final: Será calculada pela média ponderada: M = (4AV1+2AV2+2AV3+2VA4) / 10. 
 
Referência Bibliográfica: 
Referência Bibliográfica Básica: 
FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, limite, derivação e 
integração, 6ª.Ed. Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2006. 
LEITHOLD, L., Cálculo com Geometria Analítica. Harbra, São Paulo, 1994. 
MUNEM, M.A. & FOULIS, D.J., Cálculo. vol.1. LTC, Rio de Janeiro, 1982. 
 
Referência Bibliográfica Complementar: 
 
CÁLCULO: para entender e usar. São Paulo: Livraria da Física, 2009. 
SANTOS, C. A. M. dos. Matemática / 2003. São Paulo, SP : Ática, 2003. 
FINNEY, R.L.; WEIR, M.D. & GIORDANO, F.R., Cálculo, vol. 1. 10ª.Ed. Addison Wesley, São 
Paulo, 2002. 
ANTON, H., Cálculo um novo horizonte, vol. 1. 6ª. Ed. Bookman, Porto Alegre, 2000. 
PISKOUNOV, N., Cálculo diferencial e integral, vol. 1. 4ª.Ed. Martins Fontes, São Paulo, 
1993. 
 
Revisão de matemática 
 
Potenciação 
 
Definição 
 
Denomina-se potência de um número um produto cujos fatores são todos iguais a esse 
número. 
 
Assim o produto 22222 ×××× é uma potência de 2 . Indica-se simbolicamente por 52 
e lê-se: dois elevado a Quinta potência, ou apenas por dois a Quinta. 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial 
 
 3 
 
 O número 2 é a base e 5 é o expoente ou grau. 
 
Exemplo: 81333334 =×××= , a base desta potência é 3 e o grau ou expoente é 4 e a 
potência é 81. 
 
Exemplo: aaaaaaa n ××××××= L ( n vezes). Lê-se enésima potência de a , 
a elevado a potência n ou a elevado a n . 
 
A operação pela qual se obtém o valor da potência denomina-se potenciação. 
 
Exercícios: Calcular as seguintes potências: 
 
1. 121112 = 
2. 625252 = 
3. 72993 = 
4. 12827 = 
5. 167961668 = 
 
Propriedades 
 
1a Propriedade: expoente 1. Diz-se que a primeira potência de um número, isto é, um 
número elevado ao é o próprio número. Pois, por definição toda potência tem dois ou 
mais fatores. 
 
Exemplo: 331 = . 
 
Exemplo: aa =1 . 
 
 
2a Propriedade: expoente zero. Como este também não se enquadra na definição de 
potência. Define-se que qualquer número diferente de zero elevado à potência zero é 
igual a 1. 
Exemplo: 130 = . 
 
Exemplo: 10 =a . 
 
 
 
3a Propriedade: base 1. Qualquer potência de 1 vale sempre 1. 
 
Exemplo: 110 = . 
 
Exemplo: 1111114 =×××= . 
 
 
4a Propriedade: base zero. Qualquer potência de 0 vale sempre 0. 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 08/02/2013 Introdução e revisão de matemática básica 
 
 4 
Exemplo: 000003 =××= . 
 
5a Propriedade: expoente 2. A Segunda potência de um número denomina-se quadrado 
desse número devido à analogia com o cálculo da área de um quadrado que é 
determinada pela segunda potência do lado deste. 
 
6a Propriedade: expoente 3. A Terceira potência de um número denomina-se cubo 
desse número devido à analogia com o cálculo do volume de um cubo que é 
determinado pela terceira potência da aresta deste. 
 
7a Propriedade: base 10. As potências de 10 são números formados pela unidade 
seguida de tantos zeros quantos são as unidades do seu expoente. 
 
Exemplo: 







=××=
=×=
=
=
100010101010
100101010
1010
110
3
2
1
0
. 
 
8a Propriedade: expoente negativo. Toda potência com expoente negativo é igual a 
uma fração cujo numerador é a unidade e o denominador é dado pela mesma potência 
com o expoente positivo e base diferente de zero, isto é, 
 
aaaaaa
a
n
n
×××××
==
−
L
11
 
 
Exemplo: 
2
12 1 =− . 
Exemplo: 
64
1
444
1
4
14 3
3
=
××
==
−
. 
 
 
Exercícios: Calcular o valor das seguintes expressões: 
 
6. ( ) ( ) 7946251692513 22 =+=+ 
7. 4112
4
3
3
1
5
2 0
00 =++=





++ 
8. 75,2
4
11
4
2
4
8
4
1
2
12
4
1
2
3
7
2
4
3 0
0
0
==++=++=++ 
9. 2
2
4
2
313
2
1111
2
1
3
13
4
12
0
0
0
1
==
+
=+=+++=





+++− 
10. K2361111,2
72
161
72
144982
8
1
9
111
21
3
1
4
3523 32
0
032 ≅=
++
=++=+++=





+++ −−
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial 
 
 5 
9a Propriedade: produtos de potências de mesma base. O produto de várias potências 
de mesma base é outra potência de mesma base que tem por expoente a soma dos 
expoentes dos fatores. 
mnmn aaa +=× 
 
Exemplo: 623123 44444 ==×× ++ . 
 
Exemplo: 14473473 55555 ==×× ++ . 
 
10a Propriedade: quocientes de potências de mesma base. O produto de duas potências 
de mesma base é outra potência de mesma base que tem por expoente a diferença do 
dividendo e do divisor. 
nmnm
n
m
aaa
a
a
−−
=×= 
 
Exemplo: 4444
4
4 2323
2
3
==×= −− . 
 
Exemplo: 83473473
47
55555
5
55
==××=
×
−+−
. 
 
11a Propriedade: Potência de potência. A potência de uma potência é uma outra 
potência de mesma base que tem por expoente o produto dos expoentes. 
( ) nmmn aa = ou ( ) nmnm aa −− = 
 
Exemplo: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 1244434 33333333333333333 =×××××××××××=××= =531441. 
 
Exemplo: 
( ) ( ) ( ) 00000256,05390625
1
5
1
55555555
1
55
15 8844
24
====
×××××××
=
×
=
−
−
. 
 
Exemplo: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 633
23 7
777777
1
777
1
777
1
7
1
7
17 −− =
×××××
=
××
×
××
=×= =0,000008499. 
 
12a Propriedade: Potência de um produto. A potência de um certo grua de um produto 
de diversos fatores é igual ao produto das potências do mesmo grau desses fatores 
. 
( ) mmmm cbacba ××=×× 
 
Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 523555222333523 ××=××××××××=×× . 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 08/02/2013 Introdução e revisão de matemática básica 
 
 6 
Exemplo: ( ) 3333 523
555
1
222
1
333
1523 −−−− ××=
××
×
××
×
××
=×× . 
 
 
13a Propriedade: Potência de números reais não inteiros. A potência de um número 
real não inteiro segue a mesma regra que aquela dos números inteiros. 
 
aaaaaaa n ××××××= L para a real não inteiro. 
 
Exemplo: ( ) 706125,1445,245,245,245,2 3 =××= . 
 
14a Propriedade: Potências fracionárias. A potência de expoente fracionário é igual ao 
radical cujo índice é o denominador do expoente e cujo radicando é a base da potência, 
elevada a um expoente igual ao numerador do expoente dado. 
 
( )nmm nmn aaa == para a real. 
 
Exemplo: 86464 2
1
== . 
 
Exemplo: ( ) 6440961616161616 32
3
==××== 
 
ou 
 ( ) 6444441616 3323 =××=== . 
 
 
Exemplo: ( ) 16409664646464 333 23
2
==×== 
 
ou 
 ( ) 164446464 22332 =×=== . 
 
Exercícios: Calcular o valor das seguintes expressões: 
 
11. 25,2425,2589
4
9589
2
3523
2
352
3
1
2
2
32
2
13
2 =+++=+++=+++=





+++
−
 
 
 
Notação Científica 
 
Denomina-se notação científica a maneira de expressar valores numéricos, onde os 
números reais são expressos na forma: nb 10× , isto é, se 443256=a , então em notação 
científica a pode ser escrito nas formas: 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial 
 
 7 
 
 
5432 1043256,4103256,4410256,4431056,4432443256 ×=×=×=×==a 
 
Exemplo: Carga do elétron: Ce 19106,1 −×≅ 
 
Exemplo: Uma tira de cobre com mµ150 de espessura é colocada num campo 
magnético B
r
 de módulo T65,0 e submetida a uma corrente Ai 23= . Qual será a 
diferença de potencial Hall V que aparecerá na tira? 
 
Solução: No cobre, existe, em média um elétron de condução por átomo. O número n 
de elétrons por unidade de volume é, portanto, igual ao número de átomos por unidade 
de volume e é encontrado a partir de 
 
 
( )( ) 328
3
33123
1047,8
1064
100,91002,6
melétrons
molkg
mkgmol
M
N
n A ×=
×
××
==
−
−ρ
, 
 
onde ρ é a densidade do cobre, AN é número de Avogadro e M a massa molar do 
cobre; e todos os cálculos foram feitos em notação científica. 
 
 
Monômios 
 
Antes de se definir monômios há a necessidade de definir-se “Expressão Algébrica”. 
 
Expressão Algébrica é toda representação que indique uma ou mais operações 
entre números reais, expressa por meio de algarismos e letras ou somente letras, 
também sendo denominada de expressão literal. Nas expressões 
 
 
7
13,23 +− e 523 +− xa 
A primeira denomina-se expressão numérica, pois só contém números, e a segunda 
expressão algébrica, pois envolve letras e números. 
 
 
Exemplo: calcular o valor das expressões: 
 
1) 12 +− aab , para 
3
2
=a e 
4
1
−=b 
18
71
9
4
6
11
3
2
4
1
3
2 2
=+−−=+





−





−





⇒ ou 
 
KKKK 388,0611,011444,0166,0 =−=+−−= 
 
 
2) 82
3
5 5
−− y
a
, para 12=a e 1−=y ( ) 148220812
3
125 5
=−+=−−−
×
⇒ 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 08/02/2013 Introdução e revisão de matemática básica 
 
 8 
1) abba −+−
3
, para 3−=a e 
2
1
−=b 
 
( ) 15,15,01
2
3
2
11
2
13
2
1
3
3
−=−−=−−=





−−−−
−
−⇒ 
 
4) 122 +− xyyx , para 
4
3
−=x e 
3
4
−=y 1
3
4
4
3
3
4
4
3 22
+





−





−−





−





−⇒ 
 
KK 5833,1
12
19
12
121691333,175,01
36
48
48
361
9
16
4
3
3
4
16
9
==
++−
=++−=++−=+











−−





−





= 
 
 
Exercícios: Calcular o valor das seguintes expressões: 
 
12. bba +− 2 , para 
3
1
−=a e 
2
3
−=b - 
 
13. 
3
2
+
−
x
xyx
, para 2−=x e 3−=y 
 
 
14. 
ba
ba
+
+ 32
, para 
3
1
−=a e 
2
3
−=b 
 
15. yx −+
3
22 , para 
4
1
=x e 
2
1
−=y 
 
16. ( )[ ] 





+−
y
x
xxy :12 , para 
4
3
−=x e 
4
1
=y 
 
 
Respostas: 12) K66,1
3
5
= ; 13) K33,1
3
4
−=− ; 14) K43880,0
768
337
−≅− ; 15) 4,2
5
12
= ; 
16) 2− . 
 
Monômio é um produto de números reais, sejam eles indicados por algarismos, letras 
ou por ambos. Pode-se assim ter fatores numéricos e ou fatores literais; estes últimos 
podem ser constantes ou variáveis. 
 
Exemplo: 
 
1- bx 
2- ba 43 
3- 3235 ybcxa 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial 
 
 9 
Coeficiente de um monômio é o produto de seus fatores constantes: 
 
a) Coeficiente numérico é o fator numérico do monômio. 
b) Coeficiente literal é o produto literal do monômio 
 
 
Exemplo: 
 
 No 324 xyab a e b são constantes, x e y são variáveis, assim tem-se: 
 
 a) Coeficiente do monômio: 24ab 
 
 b) Coeficiente numérico: 4 
 
 c) Coeficiente literal: 2ab 
 
Grau de um monômio é a soma dos expoentes da parte variável 
 
Exemplo: no exemplo 28 o monômio 324 xyab , onde a e b são constantes e x e y 
são variáveis, tem-se: o grau 4 pois é a soma do expoente de x , isto é, 1 mais o 
expoente de y que é 3, ou seja 431 =+ . 
 
Exemplo: 0
5
3 grau⇒ pois 0
5
3
5
3
x= 
 
Monômios semelhantes são os monômios que possuem as partes variáveis iguais. 
 
Exemplo: 323 yx e 325 yabx onde a e b são constantes e x e y são variáveis. 
 
 
Operações com Monômios 
 
Adição e subtração de monômios 
 
Observe-se que: 
 
i) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1052511515155 ==+=+=+ 
ii) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 42676346364 ==+=+ 
iii) ( )( ) ( )( ) ( ) xxxxxx 21111 =+=+=+ 
iv) ( )( ) xxxx 73434 =+=+ 
 
Logo, pode-se concluir que para adicionar (ou subtrair) monômios semelhantes é 
suficiente adicionar (ou subtrair) os coeficientes e conservar a parte literal e ou variável. 
 
Exemplos: Efetuar as adições algébricas a seguir 
 
i) babababa 2222 11935 =+− 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 08/02/2013 Introdução e revisão de matemática básica 
 
 10 
ii) 222 547943 aabcabcaaabc +−=−+− 
 
 
Multiplicação e divisão de monômios 
 
A multiplicação de dois ou mais monômios dá como resultado um monômio formado 
pelo produto de todos os fatores dos monômios dados. 
 
Regra Prática: Obtém-se o produto de dois ou mais monômios escrevendo o produto 
dos seus coeficientes numéricos, logo a seguir cada coeficiente literal com um expoente 
igual à soma algébrica dos respectivos expoentes e finalmente cada uma das variáveis 
com um expoente igual à soma algébrica dos respectivos expoente. 
 
Exemplos: 
i) O produto de ax3 por by7 é: ( ) ( ) abxyabxybyax 217373 =××=× 
ii) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 423423423423 1111 cdbacdbacdbacdba =××−×−=×−××−=−−
 
iii) ( ) ( ) 374834322533425323 284747 yxbayxxbbaayxbaxba =××××××××=×
 
iv) 5732523522
6
1
4
1
3
2
4
1
3
2
xaxxaaxaxa =×××××=





×





 
 
A divisão de um monômio por outro monômio dá como resultado um monômio 
formado pela divisão dos coeficientes numéricos, pela diferença algébrica dos 
expoentes dos coeficientes literais e pela diferença algébrica dos expoentes das 
variáveis. 
 
 
Regra Prática: Para dividir um monômio por outro, divide-se o coeficiente numérico 
do dividendo pelo do divisor. Em cada coeficiente literal com um expoente igual à 
diferença algébrica dos respectivos expoentes e finalmente cada uma das variáveis com 
um expoente igual à diferença algébrica dos respectivos expoentes dos respectivos 
expoentes (mantendo-se nas letras o sinal original enquanto se faz a diferença). 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
i) A divisão de 243518 yxba por by6 é: 
( ) ( ) yxbayxbabyyxba 4251241352435 3
6
18618 ==÷ −− 
ii) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 412340100203423 11 −−−−−− =−÷−=−÷− dcbadcbacdba 
iii) ( ) ( ) 323102033422353233425 44
7
28728 xyayxbayxbaxbayxba ===÷ −−−− 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial 
 
 11 
iv) xaxa
xa
xa
xaxa 3232522
35
2235
8
3
2
3
4
1
32
41
3
2
4
1
=×==





÷





−−
 
 
Observação: Dividir um monômio por outro é determinar um terceiro que multiplicado 
pelo divisor seja igual ao dividendo. 
 
Exemplos: 
 
v) A divisão de 437 xxx =÷ pois 743 xxx =× 
vi) ( ) ( ) 22243 5315 baabba =÷ pois ( ) ( ) 43222 1535 baabba =× 
 
 
Potenciação de monômios 
 
Ao elevar-se um monômio a um expoente, eleva-se seu coeficiente numérico, cada 
coeficiente literal e cada uma das variáveis a essa expoente. 
 
Regra Prática: Para elevar um monômio a uma potência n eleva-se a essa potência o 
seu coeficiente numérico e multiplicam-se os expoentes de cada coeficiente literal e 
cada uma das variáveis pelo grau da potência. 
 
 
 
Exemplos: 
i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 168121681244424344423 161622 xbaxbaxbaxba =×××=×××= 
ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8226242222322423 1 dcbadcbacdba =−=− 
iii) ( ) ( ) ( ) ( ) 10215525425325225432 3210244 yxayxayxa == 
iv) ( ) 86
4
8462423
2525
15
ya
xyxayxa == −−
−
−
 
 
 
Polinômios 
 
Polinômio é toda soma algébrica de monômios 
 
Exemplo: 
 
i) babx 43+ 
ii) ( ) ( )2423254324 cdbayxa − 
iii) ( ) ( )2423254324 43 cdbayxababx −++ 
 
Representação dos polinômios 
 
Um polinômio em x e y representa-se simbolicamente por ( )yxP , . 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 08/02/2013 Introdução e revisão de matemática básica 
 
 12 
 
Exemplo: 
 
333222232 5234 yxyaxaxyyxxyab +−++ 
 
Grau de um polinômio é o grau do monômio de maior grau do polinômio. 
 
Exemplo: 
 
grauyxyxyaxaxyyxxyab o655234 33333222232 ⇒⇒+−++ 
 
Operação com Monômios e Polinômios 
 
Adição e subtração de polinômios 
 
Para adicionar ou subtrair polinômios deve-se suficiente adicionar ou subtrair estes da 
mesma forma como se fossem monômios, isto é, os coeficientes numéricas e os 
coeficientes literais para monômios semelhantes. 
 
Exemplos: Efetuar as adições algébricas a seguir 
 
i) ( ) ( ) abcaabcaaabc 457943 222 −=−+− 
ii) ( ) ( ) bxyaabcxxyabxyaabcxxyabxyaxyaabcx 222222222 645979343 +−=+−+−−
 
 
 
Multiplicação de polinômios 
 
Para multiplicar um polinômio por outro polinômio, multiplica-se cada termo do 
multiplicando por todos os termos do multiplicador e somam se os produtos obtidos. 
 
Regra Prática: 
 
1 – Ordenam-se os polinômios segundo as potências decrescente da mesma letra. 
 
2 – Multiplicam-se todos os termos do multiplicando pelo primeiro do 
multiplicador. 
 
3 – Repete-se a operação para o segundo termo escrevendo-se os monômios 
obtidos numa Segunda linha por baixo dos anteriores, de modo que os semelhantes 
fiquem em coluna. 
 
4 – Repete-se a operação sucessivamente para os demais termos do multiplicado, 
até o último. 
 
5 – Faz-se a redução dos termos semelhantes. 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial 
 
 13 
Exemplos: 
 
i) Seja a multiplicação: ( )2254 xx ++− por ( )x32 + : 
 
Ordena-se em ordem decrescente em relação a x ( )542 2 +−∴ xx ( )23 +x 
 
Assim, 
 ( ) ( )23542 2 +×+− xxx 
 
 xxx 15126 23 +− 
 1084 2 +− xx 
 
 10786 23 ++− xxx . 
( ) ( ) 1078632254 232 ++−=+×++−⇒ xxxxxx 
 
 
 
ii) Calcular o produto de ( )34223 5342 axaxaxa ++− por ( )xaxaa 4235 324 −+ é: 
 
 
Ordenando em ordem decrescente em relação a x tem-se: 
 ( )43223 3245 axaxaax ++− ( )5423 432 axaxa +− 
 
Assim, 
 ( ) ( )542343223 4323245 axaxaaxaxaax +−×++− 
 
 
27364554 64810 xaxaxaxa ++− 
 xaxaxaxa 8273645 961215 −−+− 
 
982736 1281620 axaxaxa ++− 
 
9827364554 1216362310 axaxaxaxaxa +−−+− 
 
 
ou 
 ( ) ( )542343223 4323245 axaxaaxaxaax +−×++− 
 
 
364554 201510 xaxaxa +− 
 
273645 16128 xaxaxa −+− 
 xaxaxa 82736 864 +− 
 
9827 1296 axaxa +− 
9827364554 1216362310 axaxaxaxaxa +−−+− 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 08/02/2013 Introdução e revisão de matemática básica 
 
 14 
( ) ( ) 9827364554542343223 1217283623104323245 axaxaxaxaxaaxaxaaxaxaax −+−+−=+−×++−⇒ 
 
 
iii) Seja a multiplicação: ( )435 34 ++ xx por ( )243 2 +− xx : 
 
 
Assim, 
 ( ) ( )243435 234 +−×++ xxxx LLL 
 
 
256 12915 xxx −+ LLLLL 
 xxx 161220 45 +−− LLLLL 
 8610 34 −+ LLLLLLxx 
 
81612621115 23456 −+−+−− xxxxxx 
 ( ) ( ) 81612621115243435 23456234 −+−+−−=+−×++⇒ xxxxxxxxxx 
 
 
Produtos Notáveis 
 
Há certos casos de multiplicação muito importantes pela sua aplicação no cálculo 
algébrico. 
 
1 – Quadrado da soma de duas expressões 
 
( ) 22222 2 babababababa ++=+++=+ 
 
Exemplo: 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 87624434323243 4202522525525 xxxxxxxxxxx ++=+++=+ 
 
 
2 – Quadrado da diferença de duas expressões 
 
( ) 22222 2 babababababa +−=+−−=− 
 
Exemplo:( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 222222 4202522525525 yabybayyabyababyab +−=+−−=− 
 
 
3 – Cubo da soma de duas expressões 
 
( ) 32233222233 3322 babbaababbaabbaaba +++=+++++=+ 
 
Exemplo: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32233222233 86622222222 yxyyxxyyxyxyxyxxyx +++=+++++=+ 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial 
 
 15 
 
 
4 – Cubo da diferença de duas expressões 
 
 
Exemplo: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 323222233 27543683322332322232 yyyyyyxyyy +++=+++++=+ 
 
 
5 – Produto da soma de duas expressões pela sua diferença 
 
( )( ) 2222 babababababa −=+−+=−+ 
 
Exemplo: 
( )( ) 4977777 222 −=+−+=−+ xxxxxx 
 
 
Divisão de polinômios 
 
A divisão de um polinômio por um monômio dá como resultado um polinômio 
formado pela divisão de cada um dos termos do polinômio pelo monômio, onde 
cada novo termo é formado pela divisão dos coeficientes numéricos, pela diferença 
algébrica dos expoentes dos coeficientes literais e pela diferença algébrica dos 
expoentes das variáveis. 
 
Regra Prática: Para dividir um polinômio por um monômio, divide-se cada termos do 
polinômio pelo monômio e somam-se algebricamente os quocientes obtidos. 
 
Exemplos: 
 
i) Seja efetuar a divisão de 6543 2718156 aaaa −+− por 23a , isto é, 
 ( ) 26543 32718156 aaaaa ÷−+− . 
 
Aplicando a regra, tem-se: 
 
432
2
6
2
54
22
3
9652
3
27
3
18
3
15
3
6
aaaa
a
a
a
a
a
a
a
a
−+−=−+− . 
 ( ) 43226543 965232718156 aaaaaaaaa −+−=÷−+−⇒ 
 
 
ii) Seja efetuar a divisão de 26354453 161284 babababa ++− por 234 ba , isto é, 
 ( ) 2326354453 4161284 bababababa ÷++− . 
 
Aplicando a regra, tem-se: 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 08/02/2013 Introdução e revisão de matemática básica 
 
 16 
 
3223
23
26
23
35
23
44
23
53
432
4
16
4
12
4
8
4
4
abaabb
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
++−=++− . 
 ( ) 32232326354453 4324161284 abaabbbababababa ++−=÷++−⇒ 
 
 
iii) Seja efetuar a divisão de 542332 18543 xyxyxyx −+− por yx25 , isto é, 
 ( ) yxxyxyxyx 2542332 518543 ÷−+− . 
 
Aplicando a regra, tem-se: 
 
y
x
xxyy
yx
x
yx
yx
yx
yx
yx
yx
5
18
5
4
5
3
5
18
5
5
5
4
5
3 322
2
5
2
4
2
23
2
32
−+−=−+− . 
 
( )
y
x
xxyyyxxyxyxyx
5
18
5
4
5
3518543
3
222542332
−+−=÷−+−⇒ 
 
A divisão de um polinômio por um polinômio dá como resultado um polinômio 
formado pela divisão do polinômio dividendo por cada um dos termos do 
polinômio divisor. 
 
 
Regra Prática: 
 
1 – Ordenam-se o dividendo e o divisor segundo as potências decrescente da 
mesma letra. 
 
2 – Divide-se o primeiro termo do dividendo pelo primeiro do divisor. O 
resultado é o primeiro termo do quociente. 
 
3 – Multiplica-se o primeiro termo quociente por todos os termos do divisor e 
escrevem-se os termos desse produto com sinal contrário abaixo do dividendo. 
 
4 – Faz-se a redução dos termos semelhantes e obtém-se o 1o resto parcial. 
 
5 – Procede-se de modo análogo até se encontrar um resto nulo (se a divisão for 
exata) ou um resto de grau inferior ao divisor (que é o resto da divisão dos polinômios). 
 
 
Exemplos: 
 
i) Seja efetuar a divisão de 861115 23 +−+ xxx por 43 +x , isto é, 
 ( ) ( )43861115 23 +÷+−+ xxxx . 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial 
 
 17 
Aplicando a regra, tem-se: 
 
 
 861115 23 +−+ xxx 43 +x → divisor 
 235 2 +− xx → quociente 
23 2015 xx −− → produto do divisor por 25x− 
 869 2 +−− xx → 1o resto parcial 
xx 129 2 +− → produto do divisor por x3+ 
 86 +x → 2o resto parcial 
86 −− x → produto do divisor por 2− 
0 → resto nulo (divisão exata) 
 
 ( ) ( ) 23543861115 223 +−=+÷+−−⇒ xxxxxx 
 
 
 
ii) Dividir de 10122017920 2345 +−+−− xxxxx por 2354 23 −+− xxx , isto é, 
 ( ) ( )235410122017920 232345 −+−÷+−+−− xxxxxxxx . 
 
Aplicando a regra, tem-se: 
 
 10122017920 2345 +−+−− xxxxx 2354 23 −+− xxx → divisor 
 345 2 −+ xx → 
quociente 
2345 10152520 xxxx +−+− → produto do divisor por 
25x− 
 1012303216 234 +−+−+ xxxx → 1o resto parcial 
 xxxx 8122016 234 +−+− → produto do divisor por 
x3+ 
 1041812 23 +−+− xxx → 2o resto parcial 
691512 23 −+−+ xxx → produto do divisor por 
2− 
 453 2 ++ xx → resto da divisão 
 ( ) ( ) 345235410122017920 2232345 −+=−+−÷+−+−−⇒ xxxxxxxxxx 
e com um resto de divisão 453 2 ++= xxR . 
 
Observação: Dividir um polinômio por outro é determinar um terceiro que 
multiplicado pelo divisor mais o resto seja igual ao dividendo. 
 
Exemplo: 
 
A divisão de ( ) ( ) 32139116 2 +=+÷++ xxxx e resto 6=R , pois 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 08/02/2013 Introdução e revisão de matemática básica 
 
 18 
 
( ) ( ) ( ) 91166311663213 22 ++=+++=++×+ xxxxxx