236 Aula 1

Prévia do material em texto

Métodos Estatísticos 
Prof.º Msc. Everaldo F. Guedes 
1 
18 de fevereiro de 2019 
 
 
 Graduação em Estatística - ESEB 
 Licenciatura Plena em Matemática - FACE 
 Mestrado em Modelagem Computacional - SENAI CIMATEC; 
 Doutorado (em curso) em Modelagem Computacional - SENAI 
CIMATEC; 
 Área de pesquisa: Economia e finanças, big data (data mining, 
machine learning e deep learning), R, Python, Julia Language); 
 Área Atuação: probabilidade e estatística, análise de séries 
temporais, pesquisa operacional, CEP, estatística computacional, 
física-estatística, ; 
Referências 
3 
1. BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística básica. 7ª edição, São Paulo: Saraiva, 2012. 
 
2. MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed., São 
Paulo: Edusp, 2005. 
 
3. SPIEGEL, M. Estatística. Coleção Schaum. 4ª edição, São Paulo: Makron Books, 1993. 
 
4. TOLEDO, G. L.; OVALLE, I.I. Estatística básica. São Paulo: Atlas; 1995. 
 
5. MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. 2ª edição, São Paulo: LTC 2012. 
Métodos Estatísticos 
 
 
 
 
5 
Experimentos aleatórios 
 
 Refere-se àquelas situações em que o processo de experimentação está 
sujeito a incertezas; 
 Ou seja, não é possível prever com exatidão os resultados individuais; 
 
Características: 
 
 Poderá ser repetido um grande número de vezes sob as mesmas condições; 
 Podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento; 
 Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade nos 
resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatística, é que torna possível 
construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o experimento. 
Probabilidades: conceitos básicos 
Exemplos: 
1. Resultado no lançamento de um dado; 
2. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; 
3. Condições climáticas do próximo domingo; 
4. Taxa de inflação do próximo mês; 
5. Tipo sanguíneo de um habitante escolhido ao acaso. 
Probabilidades: conceitos básicos 
 A Teoria da Probabilidade visa definir um modelo matemático que 
seja adequado à descrição e interpretação dos experimentos aleatórios. 
 
 Fazendo-se algumas suposições adequadas, é possível escrever 
distribuições de probabilidades (modelos probabilísticos) que 
representem muito bem as distribuições de frequências, que só são 
obtidas quando o fenômeno é observado. 
 
 Modelo probabilístico é definido por: 
 Um espaço amostral (Ω); 
 Uma probabilidade, P( . ), para cada ponto amostral. 
Probabilidades: conceitos básicos 
Espaço amostral (Ω): 
 
 Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
 
Exemplos 
1. Lançamento de um dado. 
  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
2. Exame de sangue (tipo sanguíneo) . 
  = {A, B, AB, O} 
3. Hábito de fumar. 
  = {Fumante, Não fumante} 
4. Tempo de duração de uma lâmpada. 
  = {t ∈ ℝ ∕ 𝑡  0} 
 
 
 
 
 
Probabilidades: conceitos básicos 
Exercício: 
 
1. Dar o espaço amostral de cada um dos seguintes experimentos: 
a) Lançamento simultâneo de duas moedas; 
b) Lançamento de dois dados; 
c) Lançamento simultâneo de três moedas; 
 
Probabilidades: conceitos básicos 
Eventos: 
 
 subconjuntos do espaço amostral. 
 
 Notação: A, B, C ... 
  (conjunto vazio): evento impossível 
 : evento certo 
 
Exemplo: Lançamento de um dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 Alguns eventos: 
 A: sair face par A = 2,4,6 ⊂ Ω 
 B: sair face maior que 3 B = 4,5,6 ⊂ Ω 
 C: sair face 1 C = 1 ⊂ Ω 
 
 
 
 
Probabilidades: conceitos básicos 
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. 
A  B: união dos eventos A e B. 
Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. 
 
Probabilidades: operações com eventos 
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. 
A  B: interseção dos eventos A e B. 
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. 
Probabilidades: operações com eventos 
Eventos complementares 
A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o 
espaço amostral, isto é, 
A  B =  e A  B =  
O complementar de A é A
c 
, para qualquer evento A e representa o 
evento que não ocorre. 
 
Probabilidades: operações com eventos 
Eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos 
• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm 
elementos em comum, isto é, 
A  B =  
 
Probabilidades: operações com eventos 
Como atribuir probabilidade a um evento? 
Calcular a probabilidade é... 
 
 medir a incerteza ou associar um grau de confiança aos resultados possíveis de um 
experimento. 
 
Como atribuir probabilidade a um evento? 
Por exemplo, ao escolher, ao acaso, uma carta de 
um baralho comum (bem embaralhado), o que é 
mais provável, sair uma figura ( K, Q, J ) ou sair o 
dois de copas? 
 
As probabilidades associam aos eventos um valor 
no intervalo [0,1]. 
 
Quanto maior o valor associado ao evento, maior 
a certeza de sua possibilidade de ocorrência. 
 
 Visa definir um modelo matemático que seja adequado à descrição e 
interpretação dos experimentos aleatórios 
 
 Existem várias maneiras de atribuir probabilidade a um evento do 
espaço amostral. Vamos estudar duas formas. Uma das formas é 
baseada em espaços amostrais finitos. 
 
 Um espaço amostral é equiprovável quando todos os elementos têm a 
mesma probabilidade de ocorrer, isto é, todos os seus elementos são 
igualmente prováveis 
A teoria de probabilidade 
Seja A um evento associado ao espaço amostral finito Ω,no qual todos os 
resultados são igualmente possíveis (ou equiprováveis). Vamos definir a 
probabilidade do evento A, P(A) como o quociente entre o número de 
elementos em A e o número de elementos em Ω : 
 
𝑃 𝐴 = 
#𝐴
#Ω
 
 
Obs.: Para calcular probabilidade utilizando a definição clássica, em geral utilizam-se os 
métodos de enumeração: combinações, arranjos e permutações 
Probabilidade: Definição clássica 
• Exemplo 1: 
 
Qual a probabilidade de se extrair um ás de baralho bem 
misturado de 52 cartas? 
 
Obs.: Bem misturado significa – qualquer carta tem a mesma chance 
de ser extraída. 
 
Resposta: Como temos 4 ases em 52 cartas: 4/52 = 1/13 
Probabilidade: Definição clássica 
• Possui limitações 
• Não há tantas situações em que várias possibilidades, ou eventos, 
podem ser considerados como igualmente prováveis 
Exemplo 3: 
A probabilidade de chover amanhã. 
 Eventos possíveis: n = 2 
 Eventos de interesse: s = 1 
 Probabilidade = ½ ???? NÃO SE PODE AFIRMAR 
 Os eventos não possuem a mesma chance de ocorrer. 
Probabilidade: Definição clássica 
• As limitações da definição clássica de probabilidade, que só se 
aplica a espaços amostrais finitos e equiprováveis, levaram a 
considerar outra forma de calcular probabilidade de um evento 
partindo da frequência relativa do evento ao se repetir o experimento, 
n vezes, sob as mesmas condições. 
 
Em linguagem matemática, quando n cresce, o limite da frequência 
relativa de ocorrência de A é igual a P(A), isto é, 
 
lim
𝑛→∝
𝑓𝑛 𝐴 = lim
𝑛→∝
# 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çõ𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒
𝑛
= 𝑃(𝐴) 
 
Probabilidade: Definição frequentista 
Exemplo 3: 
Há uma probabilidade de 0,78 de um jato da linha Salvador-São Paulo 
chegar no horário, em vistado fato de que tais vôos chegam no horário em 
78% das vezes. 
 
Exemplo 4: 
Se o serviço meteorológico indica que há 40% de chance de chover é 
porque, sob as condições de tempo previstas para o referido dia, há uma 
frequência de chuva em 40% das vezes. 
 
Obs.: 
Não podemos garantir matematicamente as ocorrências. Contudo, podemos 
concluir com base em dados (experimentos) passados. 
Probabilidade: Definição frequentista 
Exemplo 5: 
Os registros de aviação da companhia VaicAir mostram que, durante 
um certo tempo, 468 dentre 600 de seus jatos da linha Bagdá-Nova 
Iorque chegaram no horário. Qual é a probabilidade de que um avião 
daquela linha chegue no horário? 
Probabilidade: Definição frequentista 
Exemplo 6: 
Os registros indicam que 504 dentre 813 lavadoras automáticas de 
pratos vendidas por grandes lojas de varejo exigiram reparos dentro 
da garantia de um ano. Qual a probabilidade de que uma dessas 
lavadoras não venham a exigir reparo dentro da garantia? 
Probabilidade: Definição frequentista 
Exemplo 7: 
De um total de 5.000 nascimentos, 394 foram de gêmeos, trigêmeos 
ou mais. Qual a probabilidade de ocorrer nascimento de uma única 
criança (não gêmeo)? 
 
Probabilidade: Definição frequentista 
Exemplo 8: 
Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 
gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 
gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam 
somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. CALCULE a 
probabilidade de escolher, ao acaso, um desses jovens: 
a) ele gostar de música somente; 
b) ele gostar de música; 
c) ele não gostar de nenhuma dessas atividades. 
 
Probabilidade: Definição frequentista 
Exemplo 7: 
 
9 
M 
L 
E 6 
8 
16 
 6 
14 
5 
11 
Probabilidade: Definição frequentista 
Exemplo 9: 
 
 
Probabilidade: Definição frequentista 
Exemplo 9: 
Probabilidade: Definição frequentista 
Obrigado! 
56 
Everaldo Guedes 
efgestatistico@gmail.com