2. Matrizes inversas, resolução de SELAs pela Inversa

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MAT0360 – Álgebra Linear – 2018 
 
Matrizes Inversas e Resolução de Sistemas Lineares pelo Método da Inversa 
 
Definição 1 Dizemos que uma matriz A é inversível (ou invertível) se, e somente se, existe a matriz 1−A 
tal que 
A 1−A = 1−A A = In , onde 1−A é a matriz inversa de A . 
 
 
Definição 2 Uma matriz n n×A é inversível se A é linha-equivalente a nI . Então, a mesma sequência de 
operações elementares que transforma A em nI , transforma nI em 
1−A . 
 
Exemplo 1. Encontre a inversa da matriz 
2 5
1 3
 
=  
 
A . 
a) Pela definição 1 
b) Pela definição 2 
 
As matrizes inversas podem ser utilizadas na resolução de um sistema AX = B. Para isto, A deve ser inversí-
vel, ou seja, deve existir uma matriz inversa 1−A , da matriz A. Nesse caso o sistema AX = B tem solução 
única: 
X = 1−A B 
 
 
 
 
 
Exemplo2. Utilize o método da inversão para resolver o sistema 
2 5 4
3 3
x y
x y
+ = −

+ = −
. 
 
Teoremas: 
i) Se A é inversível, então ( ) 11 −− =A A . 
ii) Se n n×A e n n×B são inversíveis, então AB é inversível e, ainda, ( ) 1 1 1− − −=AB B A . 
iii) Se A é uma matriz inversível então tA também é inversível e ( ) ( )1 1 tt − −=A A . 
iv) A é inversível se, e somente se, detA≠ 0 
 
 Ainda, se A é inversível, A possui n posições pivô. 
 
Exemplo 3. Encontre, se possível, as inversas das matrizes, 
12 15
4 5
− 
=  
− 
B , 
1 2 1
2 2 4
1 3 3
− 
 
=  
 
− 
C
 e 
2 1 4
4 1 6
2 2 2
− 
 
= − − 
 
− − 
D , utilizando a definição 2. 
 
 
Exemplo 4. Encontre a matriz B tal que AB = C onde 
2 5
1 3
 
=  
 
A e 
2 3
1 0
 
=  
 
C . 
 
MAT0360 – Álgebra Linear – 2018 
 
Exercícios 
 
1) Determine as inversas das matrizes: 
a) 8 6
5 4
 
 
 
 b) 7 3
6 3
 
 
− − 
 c) 1 3
4 9
− 
 
− 
 
d) 
1 0 2
3 1 4
2 3 4
− 
 
− 
 − 
 e) 
1 0 0
1 1 0
1 1 1
 
 
 
  
 f) 
1 3 0 1
0 1 2 1
2 6 3 2
3 5 8 3
− 
 
− − 
 − −
 
− 
 
 
2) Utilize a inversa encontrada em 1(a) para resolver o sistema 1 2
1 2
8 6 2
5 4 1
x x
x x
+ =

+ = −
 . 
 
3) Utilize a inversa encontrada em 1(b) para resolver o sistema 1 2
1 2
7 3 9
6 3 4
x x
x x
+ = −

− − =
. 
 
4) Sejam 1 2 3 4
1 2 1 1 2 3
; ; ; e .
5 12 3 5 6 5
−         
= = = = =         
−         
A b b b b 
a) Determine a inversa de A e use-a para resolver as quatro equações: 
1 2 3 4; ; e= = = =Ax b Ax b Ax b Ax b . 
b) As quatro equações no item (a) podem ser resolvidas pelo mesmo conjunto de operações elementares, já 
que a matriz dos coeficientes é a mesma em cada caso. Resolva as quatro equações do item (a) escalonando 
a matriz aumentada [ ]1 2 3 4A b b b b . 
 
 
Respostas: 
1) a) 
2 3
5 42
− 
 
−  
 b) 
1 1
72 3
 
 
− −  
 c) 
3 1
4 1
3 3
− 
 
−  
 
 
d) 
8 3 1
10 4 1
7 3 1
2 2 2
 
 
 
 
  
 e) 
1 0 0
1 1 0
0 1 1
 
 
− 
 − 
 f) 
9 11 22 2
25 2 1012 3 4
2 10 03 3
3 11 04 4
 
− − −
 
 
−
 
 
 
 
− −  
 
 
2) 7
9
 
 
− 
 ou 1 27; 9x x= = − 3) 
5
26
3
− 
 
  
 ou 1 2
265; 3x x= − = 
 
4) 9 11 6 13; ; e 
4 5 2 5
−       
       
− − −       