Matrizes Inversas

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Matriz Inversa
Uma matriz A quadrada possui inversa 
se existir A-1, do mesmo tamanho, tal 
que 
A. A-1 = I (Matriz Identidade )
Osvaldo
Seja A 
a b
c d
.Temos que det(A)  ad - bc.
A só possui inversa  det(A)  0.
A1  1
detA
d b
c a
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
1. Caso exista, determine A-1.
A = 
8 6
7 5
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
1. Caso exista, determine A-1.
A = 
8 6
7 5
det(A)≠ 0 , logo A tem inversa
A-1 = 
−5/2 3
7/2 −4
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
2. Caso exista, determine A-1.
A = 
8 20
2 5
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
2. Caso exista, determine A-1.
A = 
8 20
2 5
det(A) = 0, A não tem inversa
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
3. Sendo (I  2A)1 
7 5
4 3
.Determine A.
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
Osvaldo
3. Sendo (I  2A)1 
7 5
4 3
.Determine A.
A 
1 5/2
2 3
Osvaldo
Uma matriz está na forma escalonada reduzida por linhas se 
• Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não 
nulo da linha é 1
• Chamamos esse número 1 de pivô.
• Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão 
agrupadas juntas das linhas inferiores da matriz.
• Em qualquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o 
pivô da linha inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha 
superior.
• Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas demais entradas.
Osvaldo
Osvaldo
4. Marque as matrizes que estão na forma escalonada
reduzida por linhas :
A 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B 
1 0 0
0 1 0
0 0 0
C 
1 1 0
0 1 0
0 0 1
D 
0 1 0
1 0 0
0 0 1
E 
1 0 0
0 0 0
0 0 0
F 
1 0 0
0 1 0
1 0 1
Osvaldo
4. Marque as matrizes que estão na forma escalonada
reduzida por linhas :
A 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B 
1 0 0
0 1 0
0 0 0
C 
1 1 0
0 1 0
0 0 1
D 
0 1 0
1 0 0
0 0 1
E 
1 0 0
0 0 0
0 0 0
F 
1 0 0
0 1 0
1 0 1
Determinação da matriz inversa de matriz A 
quadrada de ordem superior a 2. 
•Devemos colocar a matriz identidade do
lado da matriz A.
•Vamos colocar a matriz A na forma
escalonada reduzida por linhas fazendo
operações elementares sobre linhas.
•As mesmas operações elementares sobre
linhas que fizermos em A devemos fazer na
identidade.
Agora, temos duas opções :
• Se a forma escalonada reduzida por linhas de A for a 
for a matriz identidade, então A é inversível e A-1 é a 
que está do lado de A.
• Se a forma escalonada reduzida por linhas de A não 
for a for a matriz identidade, então A é não é 
inversível.
OBS. Uma forma rápida de observar que uma matriz 
não é inversível é pelo determinante. Temos que A é 
invertível det(A) ≠ 0,
Exemplo. Encontre a inversa de A 
1 0 0
2 1 2
5 1 1
1 0 0
2 1 2
5 1 1
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
L2  2L1  L2
L3 5L1  L3
1 0 0
0 1 2
0 1 1
|
1 0 0
2 1 0
5 0 1
1 0 0
0 1 2
0 1 1
|
1 0 0
2 1 0
5 0 1
L3 L2  L3
1 0 0
0 1 2
0 0 1
1 0 0
2 1 0
3 1 1
1 0 0
0 1 2
0 0 1
1 0 0
2 1 0
3 1 1
L3 L3
1 0 0
0 1 2
0 0 1
1 0 0
2 1 0
3 1 1
1 0 0
0 1 2
0 0 1
1 0 0
2 1 0
3 1 1
L2 2L3  L2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
8 1 2
3 1 1
1 0 0
0 1 2
0 0 1
1 0 0
2 1 0
3 1 1
L2 2L3  L2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
8 1 2
3 1 1
INVERSA
5. Determine a matriz inversa de A 
1 2 0
2 1 1
1 0 1
5. Determine a matriz inversa de A 
1 2 0
2 1 1
1 0 1
A1 
1 2 2
1 1 1
1 2 3
6. Escreva a equação matricial do sistema linear abaixo.
6. Escreva a equação matricial do sistema linear abaixo.
1 3 1
2 2 1
2 3 1
x1
x2
x3

4
1
3
7. Use que a matriz inversa de A é dada abaixo e em 
seguida resolva o sistema linear.
A
1 3 1
2 2 1
2 3 1
A1
1 0 1
0 1 1
2 3 4
7. Use que a matriz inversa de A é dada abaixo e em 
seguida resolva o sistema linear.
A
1 3 1
2 2 1
2 3 1
A1
1 0 1
0 1 1
2 3 4
7. Use que a matriz inversa de A é dada abaixo e em 
seguida resolva o sistema linear.
A
1 3 1
2 2 1
2 3 1
A1
1 0 1
0 1 1
2 3 4
(-1,4,-7)
8. Verdadeiro ou Falso
Seja o sistema linear dado por Ax = b , A é uma 
matriz quadrada.
Se A possui inversa, então esse sistema somente 
tem uma solução.
8. Verdadeiro ou Falso
Seja o sistema linear dado por Ax = b , A é uma 
matriz quadrada.
Se A possui inversa, então esse sistema somente 
tem uma solução.
VERDADEIRO
9. Verdadeiro ou Falso
Seja o sistema linear dado por Ax = b , A é uma 
matriz quadrada.
Se determinante de A é diferente de zero, então 
esse sistema somente tem uma solução.
9. Verdadeiro ou Falso
Seja o sistema linear dado por Ax = b , A é uma 
matriz quadrada.
Se determinante de A é diferente de zero, então 
esse sistema somente tem uma solução.
VERDADEIRO
10. Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo 
tamanho. Podemos afirmar que
(AB)-1 = A-1B-1
10. Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo 
tamanho. Podemos afirmar que
(AB)-1 = A-1B-1
FALSO