AP2-2013.1 Métodos Est. I Gab.

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2013 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
 
GABARITO 
 
 
1. (3,0 pontos) O lucro obtido (X) por determinada operação financeira depende de 
fatores implícitos cujas probabilidades estão na tabela de distribuição de probabilidades 
abaixo (sendo , situação estável sem lucro nem prejuízo, , prejuízo e , 
lucro real): 
 -1 0 1 2 
 0,3 
 
 a) (1,0 pt) Determine o valor de para que seja uma fdp; 
 b) (1,0 pt) Determine a probabilidade de lucro real; 
 c) (1,0 pt) Calcule o lucro esperado desta operação. 
 
 
Solução: 
 
a) Para que seja uma fdp é necessário que 
 
(multiplicando por 4) 
 
 
 
(eq. Do 2º. Grau) 
 
 
 
Como uma probabilidade é sempre positiva, então, o valor correto é: 
 
 
 
 
b) A probabilidade de lucro real é: . Para 
calcularmos esta probabilidade é necessário substituir os valores de K na distribuição. 
Assim: 
 -1 0 1 2 
 0,3 
 
Que implica em: 
 -1 0 1 2 
 0,3 
Que implica em: 
 
 -1 0 1 2 
 0,3 
Assim, 
 
 
 
 
c) O lucro esperado é calculado pela esperança de X. 
 
 
 
Ou seja, o lucro esperado é de 0,9. 
 
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2. (1,0 pontos) Considere os eventos A e B tais que e . 
Determine quando: 
a) (0,5 pt) A e B são mutuamente excludentes; 
b) (0,5 pt) A e B são independentes. 
 
Solução: 
 
a) Se A e B são mutuamente excludentes, então: . Logo: 
Consequentemente, 
 
 
 
b) Se A e B são independentes, então: Consequentemente: 
 
 
 
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3. (2,0 pontos) 30% das peças vendidas na Loja L são produzidas pela fábrica I, 20% 
das peças vendidas nesta loja são produzidas pela fábrica II, 10% são produzidas pela 
fábrica III e as demais, pela fábrica IV. Sabe-se de antemão que 98% das peças 
produzidas por I não contém defeitos, 97% das peças produzidas por II não contém 
defeitos, 94% das peças produzidas por III não contém defeitos e que 1,5% das peças 
produzidas por IV são defeituosas. Se uma peça for selecionada aleatoriamente desta 
loja para averiguação, determine: 
a) (1,0 pt) A probabilidade de ela ser defeituosa; 
b) (1,0 pt) Uma vez que ela foi detectada como defeituosa, é possível saber qual 
a fábrica mais provável de tê-la produzido? Se sim, Explicite-a, se não, 
justifique. 
 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
D: a peça é defeituosa; 
N: a peça não é defeituosa. 
 
Temos as seguintes probabilidades do enunciado: 
 
Esta última probabilidade obtida por complemento às demais. 
Temos ainda: 
 
 
 
 
 
a) Para verificar se uma peça selecionada aleatoriamente é defeituosa dadas as 
condições acima, deve-se utilizar o Teorema da Probabilidade Total. Assim: 
 
 
 
Logo: 
 
 
b) NÃO é possível identificar qual a fábrica mais provável de tê-la produzido porque as 
probabilidades de quaisquer fábricas dado que a peça é defeituosa são iguais, 
conforme visto no item anterior: 
 
 
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4. (2,0 pontos) Um atirador profissional acerta o seu alvo com uma probabilidade de 
sucesso de 70%. Determine a probabilidade de ele: 
a) (0,5 pt) Não acertar o alvo ao atirar 4 vezes; 
b) (0,5 pt) Acertar o alvo pelo menos duas vezes ao atirar 6 vezes; 
c) (0,5 pt) Acertar todos os tiros ao atirar 5 vezes; 
d) (0,5 pt) Acertar no máximo 1 vez ao atirar 3 vezes. 
 
Solução: 
 
O experimento: atirar ao alvo é um ensaio Bernoulli. Acertar o alvo significa obter 
sucesso. Logo a probabilidade de sucesso em um ensaio Bernoulli é Ao atirar 
ao alvo mais de uma vez, o atirador está realizando vários ensaios independentes de 
Bernoulli, configurando, portanto, uma distribuição Binomial de probabilidades. 
Assim, em cada item há uma distribuição diferente a depender do número de ensaios 
realizados: 
a) A probabilidade de não acertar o alvo ao atirar 4 vezes é o equivalente ao acertar 
ZERO vezes o alvo. Assim: 
 
 
b) Com base no raciocínio do item a), acertar o alvo pelo menos duas vezes é o 
complementar de acertar no máximo 1 vez, assim: 
 
 
 
 
 
 
c) Acertar todos os tiros ao atirar 5 vezes: 
 
 
d) Acertar no máximo uma vez. 
 
 
 
 
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5. (2,0 pontos) A tabela abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre o cidadão ser 
a favor do desarmamento de acordo com o nível de escolaridade: 
 
Opinião Analfabeto Fundamental Médio Superior Pós-graduado Total 
SIM 10 20 20 20 10 80 
NÂO 10 10 10 10 20 60 
Total 20 30 30 30 30 140 
Se uma pessoa dentre as entrevistada for selecionada ao acaso, qual a probabilidade de 
ela: 
a) (0,5 pt) ter pós-graduação? 
b) (0,5 pt) ter ensino médio e ser a favor do desarmamento? 
c) (0,5 pt) ser contra o desarmamento ou analfabeta? 
d) (0,5 pt) ter curso superior, sabendo-se de antemão que ela é a favor do 
desarmamento? 
 
Solução: 
Considere os eventos: 
A: O CIDADÃO É ANALFABETO; 
F: O CIDADÃO POSSUI NÍVEL FUNDAMENTAL; 
M: O CIDADÃO POSSUI NIVEL MÉDIO; 
S: O CIDADÃO POSSUI NÍVEL SUPERIOR; 
P: O CIDADÃO POSSUI PÓS GRADUAÇÃO. 
 
a) 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d)