Transformada de Laplace

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A TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
Nesta unidade é apresentada a transformada de Laplace, suas propriedades e 
aplicações. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que pode ser 
usada para representar sinais de tempo contínuo no domínio do plano complexo s, cuja 
parte real é referenciada no eixo das abscissas (horizontal) e a parte complexa é 
referenciada no eixo das ordenadas (vertical). Também pode ser usada na análise de 
transitórios e estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo e causais, através de 
técnicas gráficas. 
 
1. Introdução 
 A transformada Laplace pode ser deduzida considerando-se inicialmente um sinal 
na forma exponencial complexa 𝒙(𝒕) = 𝒆𝒔𝒕, onde 𝒔 = 𝝈 + 𝒋𝝎, de modo que: 
𝒙(𝒕) = 𝐞𝛔𝐭 𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭) + 𝐣𝐞𝛔𝐭𝐬𝐞𝐧(𝛚𝐭) (3.1) 
Assim, quando 𝝈 for negativo, ou seja, a parte real de s for negativa, tem-se uma 
função decrescente, de modo que 𝒙(𝒕) converge para zero quando o tempo 
t
tende para 
+

, ou seja: 
0lim 

st
t
e
. Logo, a parte real de 𝒆𝒔𝒕 é um co-seno exponencialmente 
amortecido e a parte imaginária é um seno exponencialmente amortecido, como 
mostrado na Figura 3.1. Neste caso, a parte real de s é o fator de amortecimento 
exponencial, 𝝈, e a parte imaginária de s é a frequência, 𝝎, dos fatores co-seno e seno. 
 
Figura 3.1 Parte real e imaginária da exponencial complexa 𝒆𝒔𝒕 [1] 
 Quando 𝝈 for positivo, ou seja, a parte real de s for positiva, tem-se uma função 
crescente, de modo que 𝒙(𝒕) converge para zero quando o tempo 
t
tende para 

, ou 
seja: 
0lim 

st
t
e
. 
 Aplicando-se, então, um sinal de entrada da forma 𝒙(𝒕) = 𝒆𝒔𝒕 a um sistema LTI 
com resposta ao impulso h(t), tem-se um sinal de saída y(t) dado por: 
𝒚(𝒕) = 𝑯{𝒆𝒔𝒕} ou, 𝒚(𝒕) = 𝒉(𝒕) ∗ 𝒙(𝒕) = ∫ 𝒉(𝝉)𝒙(𝒕 − 𝝉)𝒅𝝉
∞
−∞
 
 Substituindo x(t) na integral acima, resulta que: 
𝒚(𝒕) = ∫ 𝒉(𝝉)𝒆𝒔(𝒕−𝝉)𝒅𝝉
∞
−∞
 = 𝒆𝒔𝒕 ∫ 𝒉(𝝉)𝒆−𝒔𝝉𝒅𝝉
∞
−∞
 (3.2) 
 Definindo a função de transferência: 
𝑯(𝒔) = ∫ 𝒉(𝝉)𝒆−𝒔𝝉𝒅𝝉
∞
−∞
 (3.3) 
 
Conclui-se que: 
𝑯{𝒆𝒔𝒕} = 𝑯(𝒔)𝒆𝒔𝒕 (3.4) 
 Logo, através da equação (3.3) é possível determinar H(s) a partir de h(t) e H(s) é 
denominada a transformada de Laplace de h(t). 
 
2. Definição da Transformada de Laplace 
A transformada de Laplace Bilateral, X(s), para um sinal genérico de tempo 
continuo x(t), é definida como: 





 dtetxsX st).()(
 (3.5) 
A transformada de Laplace Unilateral pode ser obtida da equação (3.5), 
substituindo-se o limite inferior da integral de 

por 0 . 
Verifica-se que este tipo de transformada se aplica a uma classe mais ampla de 
sinais que a transformada de Fourier [1]. Assim, a existência da transformada de 
Laplace para sinais que não têm a transformada de Fourier é uma vantagem significativa 
do uso da representação exponencial complexa. 
A forma mais comumente encontrada de transformada de Laplace é uma razão de 
dois polinômios em s. Ou seja, 
)6.3( 
))...()((
))...()((
...
...
)(
210
210
2
2
1
10
2
2
1
10
n
m
n
nnn
m
mmm
pspspsb
zszszsa
bsbsbsb
asasasa
sX








 
 
 
3. Região de Convergência 
 A faixa de valores de 𝝈 para qual a transformada de Laplace converge é 
denominada região de convergência (RDC), de modo para cada transformada deste tipo 
é necessário determinar também a sua RDC. 
 
Exemplo 3.1: 
Determinar a transformada de Laplace de
)()( tuetx at
 e descrever a RDC e as 
localizações de pólos e zeros no plano s, considerando-se que a constante a seja real. 
 
Solução: 
A transformada de Laplace de x(t) é dada por: 
as
e
as
dtedtetuesX tsatsastat



 
 



11
).()(
0
)(
0
)(
 
Neste caso, a região de convergência é especificada por Re (s) > - a, pois 
0lim )( 

tas
t
e
 se Re (s+a) > 0. Esta RDC é descrita como a região sombreada no 
plano complexo s onde 𝝈 > −𝒂, como mostrado na Figura 3.2. O pólo está localizado 
em s = - a. 
 
Figura 3.2 Gráficos da região de convergência de 
)()( tuetx at 
 
Exemplo 3.2: 
Determinar a transformada de Laplace de
 )()( tuetx at  
 e descrever a RDC e 
as localizações de pólos e zeros no plano s, considerando-se que a constante a seja real. 
 
Solução: 
 A transformada de Laplace de x(t) é calculada da mesma forma do Exemplo 3.1 e 
o resultado é o mesmo, ou seja: 
as
sX


1
)(
 
 Neste caso, a RDC é especificada como Re (s) < - a e é traçada no plano 
complexo, como mostrado na Figura 3.3, pela área sombreada à direita da linha Re (s) = 
- a. 
 
Figura 3.3 Gráficos da região de convergência de 
)()( tuetx at   
 
4. Propriedades da Região de Convergência 
Propriedade 1. 
A RDC não contém pólos. 
Propriedade 2. 
Se x(t) for um sinal de duração finita, isto é, x(t) = 0 exceto em um intervalo de 
tempo t1 ≤ t ≤ t2 (-∞ < t1 e t2 < ∞), então a RDC é o plano s inteiro, exceto possivelmente 
em s = 0 ou s = ∞. 
Propriedade 3. 
Se x(t) for um sinal lateral direito, isto é x(t) = 0 para 
 1tt
, então a RDC é 
da forma Re(s) > 
máx
, onde 
máx

 é igual à parte real máxima de todos os pólos de 
X(s). Assim, a RDC é um semiplano à direita da linha vertical de Re(s) = 
máx
 no 
plano s e, portanto, está à direita de todos os pólos de X(s). 
 
Propriedade 4. 
Se x(t) for um sinal lateral esquerdo, isto é x(t) = 0 para 
 2tt
, então a RDC 
é da forma Re(s) < 
min
, onde 
min
 é igual à parte real mínima de todos os pólos de 
X(s). Assim, a RDC é um semi-plano à esquerda da linha vertical de Re(s) = 
min
 no 
plano s e, portanto, está à esquerda de todos os pólos de X(s).
 
Propriedade 5. 
Se x(t) é um sinal bilateral, isto é, x(t) tem duração infinita, então RDC é da forma
1
< Re(s) < 
2
, onde 
1
 e 
2
 são partes reais dos dois pólos de X(s). Assim, a RDC 
é uma faixa vertical no plano s, entre as linhas verticais Re(s) = 
1
 e Re(s) = 
2
. 
 
Exemplo 3.3 
A partir da transformada de Laplace 
34
42
)(
2 


ss
s
sX
, traçar o gráfico da 
região de convergência para as seguintes situações: 
a) Re(s) > -1 
b) Re(s) < -3 
c) -3 < Re(s) < -1 
Solução: 
A transformada de Laplace X(s) pode ser escrita como: 
)1)(3(
)2(2
34
42
)(
2 





ss
s
ss
s
sX
 
Observa-se, então, que X(s) tem um zero em s = - 2 e dois pólos em s = -1 e s = -3, 
com um fator de escala dois. 
a) Quando Re(s) > -1 tem-se o gráfico apresentado na Figura 3.4, onde a RDC fica 
a direita do maior pólo. 
 
Figura 3.4 Representação da RDC de X(s) do Exemplo 3.3, quando Re(s) > -1 
 
b) Quando Re(s) < -3 tem-se o gráfico apresentado na Figura 3.5, onde a RDC fica 
a esquerda do menor pólo. 
 
Figura 3.5 Representação da RDC de X(s) do Exemplo 3.3, quando Re(s) < -3 
 
c) Quando -1 < Re(s) < -1 tem-se o gráfico apresentado na Figura 3.6, onde a RDC 
fica entre os pólos -3 e -1. 
 
 
Figura 3.6 Representação da RDC de X(s) do Exemplo 3.3, quando -1 < Re(s) < -3. 
 
Exemplo 3.4 
 Determinar a transformada de Laplace, a RDC e as localizações de pólos e zeros 
dos X(s) quando 𝒙(𝒕) = 𝒆𝒋𝝎𝒐𝒕𝒖(𝒕) 
Solução: 
Substituindo-se x(t) na Equação 3.5,resulta que: 
𝑿(𝒔)
𝟏
𝒔 − 𝒋𝝎𝟎
, e 𝑹𝒆(𝒔) > 0 
Observa-se que pólo está em 𝒔 = 𝒋𝝎𝒐 e a RDC compreende todos os pontos do 
semiplano a direita do eixo 𝒋𝒘. 
Exemplo 3.5 
Determinar as localizações de pólos e zeros no plano s quando a transformada de 
Laplace de X(s) for dada por: 
)4)(32)(32)(3(
)24)(24)(1(
)(



sjsjss
jsjss
sX
 
 
Solução: 
 
 
Figura 3.7 Representação da RDC de X(s) do Exemplo 3.5 
 
5. Definição da Transformada de Laplace Unilateral 
Existe uma série de aplicações da transformada de Laplace na qual os sinais 
envolvidos são nulos para os instantes de tempo 𝒕 < 0. Nesse caso, é utilizada a 
transformada de Laplace unilateral, e para um sinal genérico x(t) ela é definida por: 
𝑿(𝒔) = ∫ 𝒙(𝒕)𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕 (3.7)
∞
𝟎+
 
O limite inferior de 𝟎+ implica que não se incluí o ponto 𝒕 = 𝟎 na integral. 
Conseqüentemente, X(s) depende somente de x(t) para 𝒕 > 0 e as descontinuidades e 
impulsos em 𝒕 = 𝟎 são excluídos. 
 
6. Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral 
 Nas propriedades apresentadas a seguir é suposto que existe uma relação entre o 
sinal e a sua transformada de modo que para os sinais: x(t), x1(t) e x2(t) têm-se: 
𝒙(𝒕) 
 
↔ 𝑿(𝒔) 𝒙𝟏(𝒕) 
 
↔ 𝑿𝟏(𝒔) e 𝒙𝟐(𝒕) ↔ 𝑿𝟐(𝒔) 
 
Linearidade. A propriedade da linearidade da transformada de Laplace decorre de sua 
definição como uma integral e o fato da integração ser uma operação linear, de modo 
que para dois sinais x1(t) e x2(t) e duas constantes a e b, tem-se: 
𝒂𝒙𝟏(𝒕) + 𝒃𝒙𝟐(𝒕) ↔ 𝒂𝑿𝟏(𝒔) + 𝒃𝑿𝟐(𝒔) (3.8) 
Neste caso, a RDC resultante é igual à intercessão da RDC de x1(t) com a RDC de 
x2(t). 
 
Mudança de Escala. A mudança de escala no tempo produz a mudança de escala 
inversa em s, de modo que para o sinal x(t) e um fator de escala a constante, tem-se: 
𝒙(𝒂𝒕) ↔
𝟏
|𝒂|
𝑿 (
𝒔
𝒂
) (3.9) 
Neste caso, a região de convergência resultante é igual à região de convergência de 
x(t) multiplicada por um escalar a. 
Deslocamento no Tempo. Um deslocamento de 𝝉 no tempo em x(t) corresponde à 
multiplicação de X(s) por 𝒆−𝒔𝒕, como mostrado na Equação 3.10. 
𝒙(𝒕 − 𝝉) ↔ 𝒆−𝒔𝝉𝑿(𝒔) (3.10) 
Neste caso, a propriedade do deslocamento no tempo é aplicada a sinais x(t) nulos 
para os instantes de tempo 𝒕 < 0, com deslocamentos 𝝉 > 0 e a RDC resultante 
continua sendo a mesma de x(t). 
Deslocamento no Domínio s. A multiplicação de x(t) por uma exponencial complexa 
no tempo 𝒆𝒔𝟎𝒕 introduz um deslocamento na freqüência complexa s de X(s), como 
apresentado na Equação 3.11. 
𝒆𝒔𝟎𝒕𝒙(𝒕) ↔ 𝑿(𝒔 − 𝒔𝟎) (3.11) 
 Neste caso a RDC resultante é igual à RDC de x(t) deslocada de Re(𝒔𝟎). 
 
Convolução. A convolução no tempo de dois sinais x(t) e y(t) corresponde à 
multiplicação das transformadas de Laplace destes sinais, como mostrado na Equação 
3.12. 
𝒙(𝒕) ∗ 𝒚(𝒕) ↔ 𝑿(𝒔)𝒀(𝒔) (3.12) 
Esta propriedade é fundamental na análise e projeto de sistemas LTI de tempo 
continuo e a RDC resultante é igual à intercessão da RDC de x(t) com a RDC de y(t). 
Diferenciação no Domínio s. A diferenciação no domínio s corresponde à 
multiplicação por –t no domínio do tempo, como mostrado na Equação 3.13. 
−𝒕𝒙(𝒕) ↔
𝒅
𝒅𝒔
𝑿(𝒔) (3.13) 
Neste caso, a RDC resultante continua sendo a mesma de x(t). 
Diferenciação no Domínio do Tempo. A diferenciação no domínio do tempo 
𝒅𝒙(𝒕) 𝒅𝒕⁄ corresponde a multiplicar a transformada de Laplace unilateral por s, como 
mostrado na Equação 3.14. 
𝒅
𝒅𝒕
𝒙(𝒕) ↔ 𝒔𝑿(s) - 𝒙(𝟎+) (3.14) 
Neste caso a RDC resultante é igual à RDC de x(t) a não ser que haja um 
cancelamento de pólo-zero em s = 0. 
 
7. A Transformada de Laplace Unilateral Inversa 
 A transformada de Laplace inversa é usada para se obter o sinal x(t) a partir da sua 
transformada X(s) e pode ser realizada através do cálculo de uma integral de linha no 
plano complexo s, dada pela Equação 3.15. 
𝒙(𝒕) =
𝟏
𝟐𝝅𝒋
∫ 𝑿(𝒔)𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒔
𝒄+𝒋𝝎
𝒄−𝒋𝝎
 (3.15) 
Nesta integral a constante c é real e deve ser escolhida de tal forma que, se a RDC 
de X(s) for 
1
< Re(s) < 
2
, então 
1
< c < 
2
. Além disso, o cálculo dessa integral 
exige o conhecimento da teoria de variáveis complexas, tornando-se um processo árduo. 
Desta maneira, métodos mais práticos são utilizados na determinação da 
transformada de Laplace inversa como o uso de tabelas e frações parciais. 
 
Uso de Tabelas de Pares de Transformadas de Laplace. 
Neste método X(s) é decomposto em uma soma de funções conforme apresentado 
na Equação 3.16. 
𝑿(𝒔) = 𝑿𝟏(𝒔) + ⋯ + 𝑿𝒏(𝒔) (3.16) 
Onde: 𝑿𝟏(𝒔),..., 𝑿𝒏(𝒔) são funções com transformadas inversas x1(t),..., xn(t) 
conhecidas. 
 
Considerando-se a propriedade da linearidade tem-se que: 
𝒙(𝒕) = 𝒙𝟏(𝒕) + ⋯ + 𝒙𝒏(𝒕) (3.17) 
Para facilitar o procedimento do cálculo da transformada inversa, alguns pares da 
transformada de Laplace são apresentados na Tabela 1. 
 
Tabela 1 – Alguns pares da Transformada de Laplace 
x(t) X(s) RDC x(t) X(s) RDC 
𝛿(t) 1 Todos os s - e
-at
u(-t) 1/(s+a) Re(s) < -Re(a) 
𝛿(t-),  >0 𝒆𝒔𝒕 Todos os s t e
-at
u(t) 1/( s+a)
2 
Re(s) > -Re(a) 
u(t) 1/s Re(s) > 0 -t e
-at
u(-t) 1/( s+a)
2 
Re(s) < -Re(a) 
-u(-t) 1/s Re(s) < 0 coswot u(t) s/(s
2
+wo
2
) Re(s) > 0 
t u(t) 1/s
2
 Re(s) > 0 senwot u(t) wo/(s
2
+wo
2
) Re(s) > 0 
t
k 
u(t) k!/ s
k+1
 Re(s) > - 0 e
-at
 coswot u(t) (s+a)/[(s+a)
2
+wo
2
] Re(s) > -Re(a) 
 e
-at
u(t) 1/(s+a) Re(s) > -Re(a) e
-at
 senwot u(t) wo/[(s+a)
2
+wo
2
) Re(s) > -Re(a) 
 
Expansão em Frações Parciais. 
O método em frações parciais é aplicado quando 𝑿(𝒔) é função racional, dada por: 
)18.3( 
...
...
)(
)(
)(
2
2
1
10
2
2
1
10
n
nnn
m
mmm
bsbsbsb
asasasa
sD
sN
sX




 
A restrição nesse caso é que a transformada de Laplace unilateral 𝑿(𝒔) deve ser 
função racional própria, ou seja, m < n. 
Para a expansão em frações parciais decompõe-se inicialmente o denominador da 
Equação (3.18) como um produto de pólos, resultando: 
)19.3( 
))...()((
...
)(
)(
)(
21
2
2
1
10
n
m
mmm
pspsps
asasasa
sD
sN
sX



 
 Neste caso, se todos os pólos 𝒑𝒌 forem distintos, X(s) pode ser escrita como uma 
soma de termos simples, da seguinte maneira: 
)20.3( ...)(
1
1
n
n
p
c
ps
c
sX 


 
Onde os coeficientes 𝒄𝒌 são determinados usando-se o método dos resíduos ou 
resolvendo-se um sistema de equações lineares. Com o método dos resíduos tem-se que: 
)21.3( |)()( kkk ps sXpsc 
 
Assim, a transformada de Laplace inversa de cada termo da soma pode ser 
encontrada usando-se a relação: 
𝒄𝒌𝒆
𝒑𝒌𝒕𝒖(𝒕) ↔
𝒄𝒌
𝒔−𝒑𝒌
 (3.22) 
Quando D(s) tiver pólos múltiplos, ou seja, fatores da forma (𝒔 − 𝒑𝒊 )
𝒓, então a 
expansão de X(s) consiste em termos da forma: 
)23.3( 
)(
...
)()( 2
21
r
i
r
ii pspsps 





 
Onde, 
  )24.3( )()p-(s
!
1
i i
r
k
k
kr pssX
ds
dk
 
A transformada de Laplace inversa de cada termo é encontrada usando-se o par 
𝒄𝒕𝒏−𝟏
(𝒏 − 𝟏)!
𝒆𝒑𝒌𝒕𝒖(𝒕) ↔
𝒄
(𝒔 − 𝒑𝒌)𝒏
 (3.25) 
 
Exemplo 3.6 
Encontrar a transformada de Laplace Inversa de: 
𝑿(𝒔) =
𝟑𝒔 + 𝟒
(𝒔 + 𝟏)(𝒔 + 𝟐)𝟐
 
Solução: 
Fazendo-se a expansão de X(s) em frações parciais conforme a equação (3.19), 
tem-se: 
𝑿(𝒔) =
𝒄𝟏
𝒔 + 𝟏
+
𝒄𝟐
𝒔 + 𝟐
+
𝒄𝟑
(𝒔 + 𝟐)𝟐
 
Usando-se o método dos resíduos conforme as equações (3.21) e (3.24) são 
encontrados os coeficientes 𝒄𝟏 = 𝟏, 𝒄𝟐 = 𝟏 e 𝒄𝟑 = 𝟐, de modo que: 
𝑿(𝒔) =
𝟏
𝒔 + 𝟏
−
𝟏
𝒔 + 𝟐
+
𝟐
(𝒔 + 𝟐)𝟐
 
O próximo passo é obter x(t) a partir da transformada de Laplace inversa de cada 
um dos termos da expansão em frações parciais. Logo, 
 O pólo do primeiro termo está em 𝒔 = −𝟏, de modo que: 
𝒆−𝒕𝒖(𝒕) ↔
𝟏
𝒔 + 𝟏
 
 
 
 
 O pólo do segundo termo está em 𝐬 = −𝟐, de modo que: 
−𝒆−𝟐𝒕𝒖(𝒕) ↔
𝟏
𝒔 + 𝟐
 
 O pólo duplo do último termo está em 𝐬 = −𝟐, de modo que: 
 
𝟐𝒕𝒆−𝟐𝒕𝒖(𝒕) ↔
𝟏
(𝒔 + 𝟐)𝟐
 
 Assim, x(t) é dado por: 
𝒙(𝒕) = 𝒆−𝒕𝒖(𝒕) − 𝒆−𝟐𝒕𝒖(𝒕) + 𝟐𝒕𝒆−𝟐𝒕𝒖(𝒕) 
 
8. Soluções de Equações Diferenciais com Condições Iniciais 
A principal aplicação da Transformada de Laplace Unilateral em análise de 
sistemas LTI é na resolução de equações diferenciais com condições iniciais diferentes 
de zero. 
Exemplo 3.7 Um sistema LTI é descrito pela equação diferencial: 
𝒅
𝒅𝒕
𝒚(𝒕) + 𝟓𝒚(𝒕) = 𝒙(𝒕) 
Usar a Transformada de Laplace para encontrar a saída y(t) do sistema, quando na 
sua entrada for aplicado um sinal 𝒙(𝒕) = 𝟑𝒆−𝟐𝒕𝒖(𝒕) e condição inicial 𝒚(𝟎+) = −𝟐. 
Solução: 
Tomando-se a transformada de Laplace unilateral de cada lado da equação 
diferencial e aplicando-se a propriedade da diferenciação da equação (3.14), resulta que: 
𝒔𝒀(𝒔) − 𝒚(𝟎+) + 𝟓𝒀(𝒔) = 𝑿(𝒔) 
Isolando-se Y(s) no lado esquerdo da equação tem-se: 
𝒀(𝒔) =
𝟏
𝒔 + 𝟓
[𝑿(𝒔) + 𝒚(𝟎+)] 
Substituindo-se 𝑿(𝒔)por 𝟑 (𝒔 + 𝟐)⁄ e a condição inicial 𝒚(𝟎+)𝒑𝒐𝒓 − 𝟐, resulta: 
𝒀(𝒔) =
𝟑
(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟓)
+
−𝟐
𝒔 + 𝟓
 
Expandindo Y(s) em frações parciais tem-se: 
𝒀(𝒔) =
𝟏
𝒔 + 𝟐
+
−𝟏
𝒔 + 𝟓
+
−𝟐
𝒔 + 𝟓
 
Tomando a transformada de Laplace inversa, resulta finalmente que: 
𝒚(𝒕) = 𝒆−𝟐𝒕𝒖(𝒕) − 𝟑𝒆−𝟓𝒕𝒖(𝒕) 
 
9. Definição da Transformada de Laplace Bilateral 
A transformada de Laplace bilateral é definida pela Equação 3.5, de modo que são 
utilizados os valores do sinal x(t) tanto para t > 0 como para 𝒕 ≤ 𝟎 e, conseqüentemente, 
ela é apropriada para problemas que envolvem sinais e sistemas não causais. 
 
10. Propriedades da Transformada de Laplace Bilateral 
As propriedades de linearidade, mudança de escala, deslocamento de domínio s, 
convolução e diferenciação no domínio s são idênticas tanto para a transformada de 
Laplace Bilateral como para a Unilateral, porém as operações associadas com estas 
propriedades poderem modificar a RDC. Por exemplo, se 𝒙(𝒕) ↔ 𝑿(𝒔) com RDC 𝑹𝒙 e 
𝒚(𝒕) ↔ 𝒀(𝒔) com RDC 𝑹𝒚, então 𝒂𝒙(𝒕) + 𝒃𝒚(𝒕) ↔ 𝒂𝑿(𝒔) + 𝒃𝒀(𝒔) com RDC de pelo 
menos 𝑹𝒙 ∩ 𝑹𝒚, em que o símbolo ∩ indica intersecção. Em geral, a RDC de uma soma 
de sinais é exatamente a intersecção das RDCs individuais se um pólo e um zero se 
cancelarem na soma 𝒂𝑿(𝒔) + 𝒃𝒀(𝒔). 
Se a intersecção das RDCs for o conjunto vazio e não ocorrer o cancelamento de 
pólo por zero, a transformada de Laplace de 𝒂𝒙(𝒕) + 𝒃𝒚(𝒕) não existirá. 
Por outro lado, as propriedades de deslocamento no tempo, diferenciação no 
domínio de tempo e integração no tempo, diferem ligeiramente de suas correspondentes 
unilaterais, e são expressas da seguinte maneira: 
 Deslocamento no Tempo 
A restrição no deslocamento no tempo que está no caso unilateral é eliminada 
porque a Transformada de Laplace bilateral é avaliada ao longo de valores de tempo 
positivos e negativos. Tem-se então que: 
𝒙(𝒕 − 𝝉) ↔ 𝒆−𝒔𝝉𝑿(𝒔) 
 Diferenciação no Domínio de Tempo 
 A diferenciação no tempo corresponde à multiplicação por s. Neste caso, a RDC 
pode ser maior do que 𝑹𝒙 se X(s) tiver um pólo simples em 𝒔 = 𝟎. A multiplicação por 
s, correspondendo à diferenciação, cancela este pólo e, deste modo, elimina o 
componente DC em x(t). Tem-se então que: 
𝒅
𝒅𝒕
𝒙(𝒕) ↔ 𝒔𝑿(𝒔) 𝑐𝑜𝑚 𝑅𝐷𝐶 𝑛𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑹𝒙 
Exemplo 3.8 
Encontre a transformada de Laplace de 
𝒙(𝒕) =
𝒅𝟐
𝒅𝒕𝟐
(𝒆−𝟑(𝒕−𝟐)𝒖(𝒕 − 𝟐)) 
Solução: 
 Na Tabela 1 tem-se: 
𝒆−𝟑𝒕𝒖(𝒕) ↔
𝟏
𝒔 + 𝟑
 𝒄𝒐𝒎 𝑹𝑫𝑪 𝑹𝒆(𝒔) > −3 
A propriedade do deslocamento no tempo implica que: 
𝒆−𝟑(𝒕−𝟐)𝒖(𝒕 − 𝟐) ↔
𝟏
𝒔 + 𝟑
𝒆−𝟐𝒔 𝑐𝑜𝑚 𝑹𝑫𝑪 𝑹𝒆(𝒔) > −3 
Aplicando a propriedade da diferenciação no tempo duas vezes, resulta finalmente 
que: 
𝒙(𝒕) =
𝒅𝟐
𝒅𝒕𝟐
(𝒆−𝟑(𝒕−𝟐)𝒖(𝒕 − 𝟐) ↔ 𝑿(𝒔) =
𝒔𝟐
𝒔 + 𝟑
𝒆−𝟐𝒔 𝑐𝑜𝑚 𝑅𝐷𝐶 𝑹𝒆(𝒔) > −3 
 
 Integração no Tempo 
A integração no tempo corresponde à divisão por s, de modo que: 
∫ 𝒙(𝝉)𝒅𝝉 ↔
𝑿(𝒔)
𝒔
𝒕
−∞
 𝑐𝑜𝑚 𝑅𝐷𝐶 𝑹𝒙 ∩ 𝑹𝒆(𝒔) > 0 
Tem-se, então, um pólo em 𝒔 = 𝟎 e como a integração é para a direita, a RDC 
deve situar-se à direita de 𝒔 = 𝟎. 
 
 
 A Transformada de Laplace Bilateral Inversa 
O processo para calcular a transformada de Laplace bilateral Inversa é semelhante 
ao do caso unilateral. A principal diferença é a utilização da RDC para determinar uma 
transformada inversa única no caso bilateral. 
Assim, a transformada inversa também é expressa como uma expansão em frações 
parciais em termos de pólos não repetidos, como apresentado na Equação (3.20). Neste 
caso, há duas possibilidades para a transformada de Laplace inversa de cada termo da 
soma. Pode-se usar ou o par de transformadas de lado direito 
𝒄𝒌𝒆
𝒑𝒌𝒕𝒖(𝒕) ↔
𝒄𝒌
𝒔 − 𝒑𝒌
 𝑐𝑜𝑚 𝑅𝐷𝐶 𝑹𝒆(𝒔) > 𝒑𝒌 
Ou o par de transformadas do lado esquerdo 
−𝒄𝒌𝒆
𝒑𝒌𝒕𝒖(−𝒕) ↔
𝒄𝒌
𝒔 − 𝒑𝒌
 𝑐𝑜𝑚 𝑅𝐷𝐶 𝑹𝒆(𝒔) < 𝒑𝒌 
 A RDC associada com X(s) determina se é escolhida a transformada inversa 
lateral esquerda ou a lateral direita. 
Exemplo 3.9 
Encontrar a transformada de Laplace inversa de: 
𝑿(𝒔) =
−𝟓𝒔 − 𝟕
(𝒔 + 𝟏)(𝒔 − 𝟏)(𝒔 + 𝟐)
 𝑐𝑜𝑚 𝑅𝐷𝐶 − 𝟏 < 𝑅𝑒(𝒔) < 1 
Solução: 
Usando-se o método da expansão em frações parciais para X(s), tem-se que: 
𝑿(𝒔) =
𝒄𝟏
𝒔 + 𝟏
+
𝒄𝟐
𝒔 − 𝟏
+
𝒄𝟑
𝒔 + 𝟐
 
Determinando-se 𝐜𝟏, 𝐜𝟐, e 𝐜𝟑 através da Equação (3.21), resulta que: 
𝑿(𝒔) =
𝟏
𝒔 + 𝟏
+
𝟐
𝒔 − 𝟏
+
𝟑
𝒔 + 𝟐
 
Neste caso, a RDC e as localizações dos pólos são apresentadas na Figura 3.8. 
O pólo do primeiro termo está em 𝐬 = −𝟏. A RDC situa-se á direita deste pólo e a 
transformada de Laplace inversa correspondente dada por: 
𝒆−𝒕𝒖(𝒕) ↔
𝟏
𝒔 + 𝟏
 
O pólo do segundo termo em 𝐬 = 𝟏. Assim, a RDC situa-se á esquerda do pólo e a 
transformada de Laplace inversa correspondente dada por: 
𝟐𝒆𝒕𝒖(−𝒕) ↔
𝟐
𝒔 − 𝟏
 
O pólo do último termo está em 𝐬 = −𝟐. A RDC situa-se á direita deste pólo, de 
forma que é escolhida a transformada de Laplace inversa de lado direito 
𝒆−𝟐𝒕𝒖(𝒕) ↔
𝟏
𝒔 + 𝟐
 
 
Combinando esses três termos, resulta que: 
𝒙(𝒕) = 𝒆−𝒕𝒖(𝒕) + 𝟐𝒆𝒕𝒖(−𝒕) + 𝒆−𝟐𝒕𝒖(𝒕) 
A Região de convergência da função resultante está na intercessão entre os pólos 
𝐬 = −𝟏 e 𝐬 = 𝟏 pois ela não pode incluir pólos. 
 
Figura 3.8 A RDC do Exemplo 3.9 
 
11. Função de Transferência de um Sistema 
A funçãode transferência de um sistema LTI pode ser definida como a 
Transformada de Laplace da resposta ao impulso 𝒉(𝒕). Ela pode ser obtida 
matematicamente a partir da saída do sistema 𝒚(𝒕) para determinada entrada 𝒙(𝒕) 
utilizando-se a operação convolução, de modo que: 
𝒚(𝒕) = 𝒉(𝒕) ∗ 𝒙(𝒕) (3.26) 
Onde, h(t) e x(t) podem ser causais ou não causais. Logo, aplicando a 
transformada de Laplace bilateral a ambos os lados desta equação e usando a 
propriedade de Laplace para a convolução, resulta que: 
𝒀(𝒔) = 𝑯(𝒔)𝑿(𝒔) (3.27) 
 Conseqüentemente, a função de transferência fornece uma descrição do 
comportamento da entrada e saída de um sistema LTI, e é dada por: 
𝑯(𝒔) =
𝒀(𝒔)
𝑿(𝒔)
 (3.28) 
Esta definição se aplica em valores de s para os quais X(s) é diferente de zero. 
 
 Função de Transferência e Equações Diferenciais 
A relação entre entrada e saída de um sistema LTI de ordem N pode ser dada pela 
equação diferencial descrita na Equação (3.29). 
∑ 𝒂𝒌
𝒅𝒌
𝒅𝒕𝒌
𝒚(𝒕) =
𝑵
𝒌=𝟎
∑ 𝒃𝒌
𝒅𝒌
𝒅𝒕𝒌
𝒙(𝒕)
𝑴
𝒌=𝟎
 (3.29) 
Onde os coeficientes ak e bk são constantes reais e a ordem N refere-se à derivada mais 
alta de y(t). 
Aplicando-se a transformada de Laplace na Equação (3.29) e usando-se a 
propriedade da diferenciação da transformada, tem-se: 
)30.3( )()(
00



M
k
k
k
N
k
k
k sXsbsYsa 
Ou, 
)31.3( )()(
00



M
k
k
k
N
k
k
k sbsXsasY
 
A função de transferência H(s) do sistema é então obtida a partir da equação 
(3.31), de modo que: 
)32.3( 
)(
)(
)(
0
0




N
k
k
k
M
k
k
k
sa
sb
sX
sY
sH 
É possível, então, obter a função de transferência de um sistema a partir da 
Equação (3.29). 
 
 
 
Exemplo 3.7 
Encontrar a função de transferência do sistema LTI descrito pela equação 
diferencial, com condições iniciais nulas. 
𝒅𝟐
𝒅𝒕𝟐
𝒚(𝒕) + 𝟑
𝒅
𝒅𝒕
𝒚(𝒕) + 𝟐𝒚(𝒕) = 𝟐
𝒅
𝒅𝒕
𝒙(𝒕) − 𝟑𝒙(𝒕) 
 
Solução: 
Aplicando a propriedade da diferenciação da transformada de Laplace na Equação 
(3.32) resulta na função de transferência: 
𝑯(𝒔) =
𝟐𝒔 − 𝟑
𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟐
 
 
 Função de Transferência e Descrição por Variáveis de Estado 
 A função de transferência de um sistema LTI tempo continuo pode ser obtida a 
partir da descrição por variáveis de estado, dada por: 
𝑑
𝑑𝑡
𝐪(𝑡) = 𝐀𝐪(𝑡) + 𝐛𝑥(𝑡) (3.33) 
𝑦(𝑡) = 𝐜𝐪(𝑡) + 𝐷𝑥(𝑡) (3.34) 
Aplicando-se, então, a transformada de Laplace a ambos os membros da 
Equação (3.33) e usando-se a propriedade de diferenciação, obtem-se: 
𝑠𝑸(𝑠) = 𝐀𝑸(𝑠) + 𝐛𝑿(𝑠) (3.35) 
Considerando-se que 𝑸(𝑠) é uma matriz coluna com N elementos e que cada 
𝑸𝒊(𝑠) é a transformada de Laplace do i-ésimo elemento de 𝐪(𝑡), tem-se: 
𝑸(𝑠) = [
𝑸1(𝑠)
⋮
𝑸𝑁(𝑠)
] (3.36) 
Neste caso, a Equação (3.35) pode ser reescrita como: 
𝑠𝑸(𝑠) − 𝐀𝑸(𝒔) = 𝐛𝑿(𝑠) (3.37) 
Ou 
(𝑠𝑰 − 𝐀)𝑸(𝑠) = 𝐛𝑋(𝑠) (3.38) 
 
Este último resultado implica que: 
𝑸(𝑠) = (𝑠𝑰 − 𝐀)−1𝐛𝑿(𝑠) (3.39) 
Tomando a transformada de Laplace da equação (3.34) resulta que: 
𝒀(𝑠) = 𝐜𝑸(𝑠) + 𝐷𝑿(𝑠) (3.40) 
Substituindo-se o valor de 𝑸(𝑠) obtido na Equação (3.39) na Equação (3.40) 
tem-se que: 
𝑌(𝑠) = [𝐜(𝑠𝐈 − 𝐀)−1𝐛 + 𝐷]𝑋(𝑠) (3.41) 
Por conseqüência a função de transferência é dada por: 
𝑯(𝒔) = 𝐜(𝑠𝐈 − 𝐀)−1𝐛 + 𝐷 (3.42) 
 
Exemplo 3.8 
Determinar a função de transferência de um sistema que possui matrizes de descrição 
por variáveis de estado 
𝑨 = [
1 2
3 −2
] , 𝒃 = [
0
2
] 
𝒄 = [1 1], 𝑫 = [0] 
Solução: 
Tem-se que 
𝑠𝑰 − 𝑨 = [
𝒔 − 𝟏 −𝟐
−𝟑 𝒔 + 𝟐
] 
Então, 
(𝑠𝑰 − 𝑨)−1 =
𝟏
𝒔𝟐 + 𝒔 − 𝟖
[
𝒔 + 𝟐 𝟐
𝟑 𝒔 − 𝟏
] 
Usando a equação (3.42): 
𝑯(𝒔) =
𝟏
𝒔𝟐 + 𝒔 − 𝟖
[𝟏 𝟏] [
𝒔 + 𝟐 𝟐
𝟑 𝒔 − 𝟏
] [
𝟎
𝟐
] + 𝟎 
=
𝟏
𝒔𝟐 + 𝒔 − 𝟖
[𝟏 𝟏] [
𝟒
𝟐𝒔 − 𝟐
] 
𝑯(𝒔) =
𝟐𝒔 + 𝟐
𝒛𝟐 − 𝒛 + 𝟏
 
 
12. Causalidade e Estabilidade 
 A resposta ao impulso é a transformada de Laplace Inversa da função de 
transferência de um sistema LTI. Para obter uma transformada inversa única é 
necessário conhecer a RDC ou ter algum outro conhecimento a respeito da resposta ao 
impulso. Normalmente a descrição em equação diferencial de um sistema não contém 
esta informação. As relações entre os pólos, os zeros e as características do sistema 
podem proporcionar este conhecimento adicional. 
 
 Causalidade 
Um sistema LTI, tempo continuo, é causal se a resposta ao impulso h(t) = 0 para o 
tempo 𝒕 < 0. 
Neste caso, h(t) é um sinal lateral direito e a condição correspondente é que a 
RDC de H(s) seja da forma Re(s) > máx, ou seja, a RDC é uma região do plano s à 
direita de todos os pólos do sistema. 
Caso contrário, se h(t) = 0 para 𝒕 > 0, h(t) é unilateral à esquerda e o sistema é 
anticausal. Assim, a RDC de H(s) deve ser da forma Re(s) < min, isto é, a RDC é a 
região do plano s, que está à esquerda de todos os pólos do sistema. 
 Estabilidade 
 Um sistema LTI tempo contínuo é BIBO (boundered input – boundered output) 
estável quando a resposta ao impulso for integrável em módulo, ou seja: 



dtth )(
 
A condição correspondente é que a RDC de H(s) contenha o eixo jw no plano s. 
 Sistemas Causais e Estáveis 
A condição para que um sistema seja causal e estável ao mesmo tempo é que 
todos os pólos de H(s) devem estar no semiplano esquerdo do plano s, isto é, todos têm 
partes reais negativas porque a RDC é da forma Re(s) > máx, e, como o eixo jw está 
contido na RDC tem-se máx < 0. Isto pode ser observado na Figura 3.4 do Exemplo 3.3. 
 
Exemplo 3.8 
Um sistema tem a função de transferência dada por: 
𝑯(𝒔) =
𝟐
𝒔 + 𝟑
+
𝟏
𝒔 − 𝟐
 
Encontrar a resposta ao impulso supondo que: (a) o sistema é estável e (b) o sistema é 
causal. Este sistema pode ser tanto estável como causal? 
Solução: 
Este sistema tem um pólo em 𝐬 = −𝟑 e em 𝐬 = 𝟐. Se o sistema for estável, o 
pólo em 𝐬 = −𝟑 contribuirá com um termo de lado direito para a resposta ao impulso, 
enquanto que o pólo em 𝐬 = 𝟐 contribuirá com um termo de lado esquerdo, resultando 
que: 
𝒉(𝒕) = 𝟐𝒆−𝟑𝒕𝒖(𝒕) − 𝒆𝟐𝒕𝒖(−𝒕) 
Se o sistema for causal, ambos os pólos devem contribuir com termos de lado direito 
para a resposta ao impulso, resultando: 
𝒉(𝒕) = 𝟐𝒆−𝟑𝒕𝒖(𝒕) + 𝒆𝟐𝒕𝒖(𝒕) 
Observa-se que o sistema com esta resposta ao impulso não é estável, uma vez que o 
termo 𝒆𝟐𝒕𝒖(𝒕) não é absolutamente integrável. 
Assim, o sistema dado pela função de transferência acima não pode ser estável e causal 
ao mesmo tempo, uma vez que o pólo em 𝒔 = 𝟐 está no semiplano direito do plano s. 
 
13. Resposta em Freqüência a Partir de Pólos e Zeros 
A resposta em freqüência de um sistema LTI pode ser obtida a partir dos pólos e zeros 
da função de transferência H(s), dada matematicamente por: 
)43.3( 
))...()((
))...()((
)(
21
21
n
m
pspsps
zszszs
GsH



 
 Onde: 𝒛𝟏, 𝒛𝟐 … 𝒛𝒎 são os zeros e 𝒑𝟏, 𝒑𝟐, 𝒑𝒏,são os pólos do sistema, e G é o 
fator de ganho.Neste caso, s é substituído por 𝒋𝝎, conforme descrito na Equação (3.33) de modo que a 
função de transferência é avaliada ao longo do eixo 𝒋𝝎 no plano s, considerando-se que 
o eixo 𝒋𝝎 está na região de convergência. 
)44.3( 
)()...(.)(
)(...)(.)(
)(
21
21
n
m
pjwpjwpjw
zjwzjwzjw
GjwH



 
Inicialmente é feita a análise do módulo de
)( jwH
 com 𝝎 = 𝝎𝟎, de modo que: 
)45.3( 
)()...(.)(
)(...)(.)(
)(
02010
02010
0
n
m
pjwpjwpjw
zjwzjwzjw
GjwH



 
 
Na Equação (3.34) tem-se uma razão de produtos da forma |𝒋𝝎𝟎 − 𝒈|, onde 𝒈 é um 
pólo ou um zero. Além disso, o fator (𝒋𝝎𝟎 − 𝒈) é um número complexo que pode ser 
representado no plano s como um vetor que parte do ponto 𝒈 para um ponto 𝝎𝟎 no eixo 
𝒋𝝎𝟎, como apresentado na Figura 3.8. O comprimento deste vetor é dado por |𝒋𝝎𝟎 − 𝒈| 
e à medida que 𝝎𝟎 se modifica pode-se avaliar a contribuição de cada pólo ou zero para 
a resposta global em módulo. 
 
Figura 3.8 Representação do vetor 𝒋𝝎𝟎 − 𝒈 que parte de 𝒈 para 𝒋𝝎𝟎 no plano s. 
Verifica-se que se 𝒈 for um zero, então, para freqüências próximas de zero o módulo de 
)( jwH
tende a decrescer. Se o zero estiver no eixo 𝒋𝝎, então 
)( jwH
tende ao zero na 
freqüência correspondente à localização do zero. Em freqüências distantes de um zero, 
ou seja, |𝒘| ≫ |𝒈|, tem-se |𝒋𝒘 − 𝒈| aproximadamente igual ao |𝒘|. Por outro lado, um 
pólo que está próximo ao eixo 𝒋𝝎, produz um grande pico no 
)( jwH
. 
Conseqüentemente, os zeros próximos ao eixo 𝒋𝝎 atenuam o módulo de 
)( jwH
, 
enquanto os pólos próximos ao eixo amplificam o módulo de 
)( jwH
. 
Exemplo 3.9 
Traçar a resposta em módulo de um sistema que possui a função de transferência dada 
por: 
𝑯(𝒔) =
(𝒔 − 𝟎, 𝟓)
(𝒔 + 𝟎, 𝟏 − 𝟓𝒋)(𝒔 + 𝟎, 𝟏 + 𝟓𝒋)
 
Solução: 
Verifica-se que o sistema tem um zero em 𝐬 = 𝟎, 𝟓 e pólos em 𝐬 = −𝟎, 𝟏 ± 𝟓𝐣, como 
mostrado na Figura 3.10 (a). 
Fazendo-se, então, uma análise nos pontos críticos tem-se que para 𝛚 = 𝟎: 
|𝑯(𝒋𝟎)| =
𝟎, 𝟓
|𝟎, 𝟏 − 𝟓𝒋||𝟎, 𝟏 + 𝟓𝒋|
 
≈ 𝟎, 𝟎𝟐 
 
E para 𝛚 = 𝟓: 
|𝑯(𝒋𝟓)| =
|𝒋𝟓 − 𝟎, 𝟓|
|𝟎, 𝟏||𝒋𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟏|
 
≈ 𝟓 
Conseqüentemente, a resposta tende a decrescer nas proximidades de 𝛚 = 𝟎 e crescer 
nas proximidades de 𝛚 = ±𝟓. 
Para 𝛚 ≫ 𝟓, o comprimento do vetor que vai de 𝐣𝛚 a um dos pólos é 
aproximadamente igual ao comprimento do vetor que vai de jω ao zero, dessa forma, o 
zero é cancelado por um dos pólos. A distância de jω ao pólo restante aumenta à medida 
que a freqüência se eleva e, dessa forma, a resposta em módulo tende a zero. A resposta 
em módulo está esboçada na Figura 3.10 (b). 
 
Figura 3.10 Solução para o Exemplo 3.9.(a) Gráfico de pólos e zeros. (b) Gráfico da 
resposta em módulo aproximada. 
De modo semelhante, a fase de 𝑯(𝒋𝝎) também pode ser avaliada em termos da fase 
associada com cada pólo e zero. A partir da equação (3.32) pode-se determinar o 
𝐚𝐫𝐠{𝑯(𝒋𝝎)}, conforme mostrado na Equação 3.35. 
𝐚𝐫𝐠{𝑯(𝒋𝝎)} = 𝐚𝐫𝐠{𝐆} + ∑ 𝐚𝐫𝐠 {𝒋𝝎 −
kZ
} − ∑ 𝐚𝐫𝐠 {𝒋𝝎 −
kp
}
𝑵
𝒌=𝟏
𝑴
𝒌=𝟏
 (3.46) 
Neste caso, a fase de 𝑯(𝒋𝝎) é a soma dos ângulos de fase devidos a todos os zeros 
menos a soma dos ângulos de fase devidos a todos os pólos. O termo 𝐚𝐫𝐠{𝑮} é 
independente da freqüência. A fase, associada com cada zero e pólo, é avaliada 
considerando-se um termo da forma 𝐚𝐫𝐠 {𝒋𝝎𝟎 − 𝒈}. Este é o ângulo de um vetor que 
aponta de g para 𝒋𝝎𝟎 no plano s. O ângulo do vetor a partir de g é medido em relação à 
linha horizontal, como ilustra a Figura 3.11. Examinando a fase deste vetor à medida 
que 𝝎 se modifica, pode-se avaliar a contribuição de cada pólo ou zero para a resposta 
em fase global. 
 
 
Figura 3.11 Vetor 𝒋𝝎𝟎 − 𝒈 que vai de g a 𝒋𝝎𝟎 no plano s. O ângulo de fase do vetor 
com relação à linha horizontal que passa por g é ∅. 
 
Exemplo 3.10 
Traçar a resposta em fase de um sistema que possui a função de transferência dada por: 
𝑯(𝒔) =
(𝒔 − 𝟎, 𝟓)
(𝒔 + 𝟎, 𝟏 − 𝟓𝒋)(𝒔 + 𝟎, 𝟏 + 𝟓𝒋)
 
Solução: 
As localizações dos pólos e zeros deste sistema no plano s são descritas na Figura 
3.10(a). A resposta em fase do sistema é obtida subtraindo-se as contribuições de fase 
dos pólos da contribuição do zero. O resultado é mostrado na Figura 3.12(d) 
 
 
Figura 3.12 Resposta em fase do sistema do Exemplo 3.10.(a) Fase do zero em 𝑠 = 0,5. 
(b) Fase do pólo em 𝑠 = −0,1 + 𝑗5. (c) Fase do pólo em 𝑠 = −0,1 − 𝑗5. (d) Resposta 
em fase do sistema. 
A localização de pólos e zeros de H(s) no plano s como também a obtenção dos 
gráficos do módulo e da fase correspondente a resposta em frequência podem ser 
realizados de forma mais simples utilizando-se o programa MATLAB. 
 
14. Aplicações do MATLAB na transformada de Laplace 
A control System Toolbox do MATLAB contém vários comandos (rotinas) que são 
úteis para solucionar problemas com transformadas de Laplace e sistemas LTI de tempo 
contínuo. Alguns comandos básicos são apresentados nesta seção. 
 Pólos e zeros 
Os pólos e os zeros da transformada de Laplace correspondente a um sistema LTI 
podem ser determinados usando o comando 𝒓 = 𝒓𝒐𝒐𝒕𝒔(𝒂), onde 𝒂 é o vetor que 
contém os coeficientes de cada polinômio. 
Por outro lado, os coeficientes do polinômio correspondente aos zeros ou do 
polinômio correspondente aos pólos podem ser determinados com o uso do comando 
𝒑𝒐𝒍𝒚(𝒓), onde r é o vetor que contém os zeros ou os pólos em cada caso. 
A localização dos pólos e zeros no plano s pode ser realizada através do comando 
𝒑𝒛𝒎𝒂𝒑. 
Exemplo 3.11 
Use o comando 𝒓𝒐𝒐𝒕𝒔 do MATLAB para determinar os pólos e zeros do sistema 
representado por: 
𝑯(𝒔) =
𝟓𝒔𝟐 + 𝟏𝟑
𝒔𝟑 + 𝟒𝒔𝟐 + 𝟏𝟑
 
Solução 
 
Temos o seguinte bloco de programa Resultado obtido na saída 
a=[5 0 13]; 
r=roots(a); 
disp('Zeros'); 
b=[1 4 0 13]; 
p=roots(b); 
disp('Pólos'); 
Zeros 
-0.00 + (1.61i) 
 0.00 + (-1.61i) 
Pólos 
-4.61 
 0.30 + (1.65i) 
 0.30 + (-1.65i) 
 
Neste caso, temos um par de zeros complexos conjugados em 𝒔 = ±𝒋𝟏. 𝟔𝟏, um pólo em 
𝒔 = −𝟒. 𝟔𝟏, e um par de pólos complexos conjugados em 𝒔 = 𝟎. 𝟑𝟎 ± 𝒋𝟏. 𝟔𝟓 
 
 
 
Exemplo 3.12 
Use o comando 𝒑𝒛𝒎𝒂𝒑 do MATLAB para plotar os pólos e zeros do seguinte sistema: 
 
𝑯(𝒔) =
𝒔𝟑 + 𝟔𝒔 + 𝟕
𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟐
 
Solução 
Código do programa: 
𝑯 = 𝒕𝒇([𝟏 𝟎 𝟔 𝟕], [𝟏 𝟑 𝟐]); 
𝒑𝒛𝒎𝒂𝒑(𝑯); 
Gráfico obtido no MATLAB: 
 
 
Figura 3.13 Localização dos pólos e zeros do sistema dado no Exemplo 3.12 
No gráfico da Figura 3.13 observamos pólos em s = -2 e em s = -1. Observamos 
também zeros em s = -1 e s = 𝑠 = 0.5 ∓ 2.5𝑗 
 
 Resposta em freqüência 
A resposta em freqüência de um sistema LTI tempo continuo, em módulo e fase, 
pode ser avaliada a partir da função de transferência usando o comando 𝒇𝒓𝒆𝒒𝒓𝒆𝒔𝒑 
do MATLAB. 
 
 
 
Exemplo 3.13 
Use o comando 𝒇𝒓𝒆𝒒𝒓𝒆𝒔𝒑 p do MATLAB para avaliar e plotar as respostas em 
módulo e em fase do sistema definido por: 
𝑯(𝒔) =
𝒔
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟏𝟎𝟏
 
Solução 
Temos o seguinte bloco de programa 
H=tf([1 0],[1 2 101]); 
pzmap(H); 
grid; 
w=[0:499]*20/500; 
H1=freqresp(H,w); 
H2= abs(squeeze(H1)); 
plot(w,H2); 
xlabel('w (rad/s)'),ylabel('|H(w)|'), title('Resposta 
modular'); 
grid; 
numerador=[1 0]; % coeficiente do numerador 
denominador=[0 1 2 101]; %coeficiente do denominador 
[modulo,fase,w]=bode(numerador,denominador),margin (modulo, fase, w); %gráfico de fase 
 
Gráfico obtido no MATLAB: 
 
 
 
 
 
 Expansão em Frações Parciais 
A expansão em frações parciais pode ser determinada através do comando residue. 
A sintaxe é [𝒓, 𝒑, 𝒌] = 𝒓𝒆𝒔𝒊𝒅𝒖𝒆(𝒃, 𝒂), em que b representa o polinômio do 
numerador, a representa o polinômio do denominador e r representa os coeficientes 
ou resíduos da expansão em frações parciais, p representa os pólos e k é um vetor 
que descreve qualquer termo em potencias de s. Se a ordem do numerador for menor 
que a ordem do denominador, então k será uma matriz vazia. 
 
Exemplo 3.14 
Determinar os resíduos, os pólos e o vetor k para um sistema LTI representado pela 
transformada de Laplace 
𝑯(𝒔) =
𝟑𝒔 + 𝟒
𝒔𝟑 + 𝟓𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟒
 
Solução 
Temos o seguinte comando Resultado obtido na saída 
[𝒓, 𝒑, 𝒌] = 𝒓𝒆𝒔𝒊𝒅𝒖𝒆([𝟑, 𝟒], [𝟏, 𝟓, 𝟖, 𝟒]) 
 
r = 
 -1.0000 
 2.0000 
 1.0000 
p = 
 -2.0000 
 -2.0000 
 -1.0000 
k = 
 [ ] 
 
Podemos usar o seguinte comando: 
 
Resultado obtido na saída: 
 
Verifica-se que: 
 O resíduo r(1) = -1 corresponde ao pólo em s = -2 dado por p(1); 
 O resíduo r(2) = 2 corresponde ao pólo duplo em s = -2 dado por p(2); 
 O resíduo r(3) = 1 corresponde ao pólo em s = -1 dado por p(3). 
Então, a expansão em frações parciais é dada por: 
𝑯(𝒔) =
−𝟏
𝒔 + 𝟐
+
𝟐
(𝒔 + 𝟐)𝟐
+
𝟏
𝒔 + 𝟏
 
 
 Cálculo da Transformada de Laplace 
Para calcular a transformada de Laplace 𝑿(𝒔) de um sinal 𝒙(𝒕) é necessário 
especificar inicialmente as variáveis 𝒕 e 𝒔 através do comando 𝒔𝒚𝒎𝒔 𝒕 𝒔. 
Posteriormente definimos a função 𝒙(𝒕) e executamos o comando 
𝑿 = 𝒍𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆(𝒙, 𝒕, 𝒔). Para simplificar o resultado de 𝑿(𝒔) e torná-lo mais fácil de 
visualizar usamos os comandos 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒚 e 𝒑𝒓𝒆𝒕𝒕𝒚. 
 
Exemplo 3.15 
Determinar a transformada de Laplace de 𝒙(𝒕) = −𝟏. 𝟐𝟓 + 𝟑. 𝟓𝒕𝒆−𝟐𝒕 + 𝟏. 𝟐𝟓𝒆−𝟐𝒕 
Solução 
Temos o seguinte bloco de programa: Resultando na seguinte saída 
𝒔𝒚𝒎𝒔 𝒕 𝒔 
𝒙 = −𝟏. 𝟐𝟓 + 𝟑. 𝟓 ∗ 𝒕 ∗ 𝒆𝒙𝒑(−𝟐 ∗ 𝒕) + 𝟏. 𝟐𝟓𝒆𝒙𝒑(−𝟐 ∗ 𝒕); 
𝑿 = 𝒍𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆(𝒙, 𝒕, 𝒔) 
𝑿 = 
−𝟓/𝟒/𝒔 + 𝟕/𝟐/(𝒔 + 𝟐)^𝟐 + 𝟓/𝟒/(𝒔 + 𝟐) 
 
𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒚(𝒙) 𝒂𝒏𝒔 = 
 (𝒔 − 𝟓)/𝒔/(𝒔 + 𝟐)^𝟐 
𝒑𝒓𝒆𝒕𝒕𝒚(𝒂𝒏𝒔) 
 
 𝒔 − 𝟓 
------ 
(𝒔 + 𝟐)𝟐 
Que corresponde a: 
𝑿(𝒔) =
(𝒔 − 𝟓)
(𝒔 + 𝟐)𝟐
 
Podemos também determinar a transformada de Laplace escrevendo o comando: 
𝑿 = 𝒍𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆(−𝟏. 𝟐𝟓 + 𝟑. 𝟓 ∗ 𝒕 ∗ 𝒆𝒙𝒑(−𝟐 ∗ 𝒕) + 𝟏. 𝟐𝟓𝒆𝒙𝒑(−𝟐 ∗ 𝒕)) 
 
 Cálculo da Transformada inversa de Laplace 
Para calcularmos a transformada inversa de Laplace, ou seja, o sinal 𝒙(𝒕) a partir de 
𝑿(𝒔) é necessário especificar inicialmente as variáveis 𝒕 e 𝒔 através do comando 
𝒔𝒚𝒎𝒔 𝒕 𝒔. Posteriormente definimos a função 𝑿(𝒔) e executamos o comando é usado 
o comando 𝒊𝒍𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆(𝑿) 
 
Exemplo 3.16 
Determinar a transformada inversa de Laplace a partir da função 𝑿(𝒔), dada por: 
𝑿(𝒔) =
(𝒔 − 𝟓)
(𝒔 + 𝟐)𝟐
 
 
 
 
Solução 
Temos o seguinte bloco de programa: Resultando na seguinte saída 
𝒔𝒚𝒎𝒔 𝒕 𝒔 
𝑿 = (𝒔 − 𝟓)/𝒔 ∗ (𝒔 + 𝟐)^𝟐 
i𝒍𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆(𝑿) 
𝒂𝒏𝒔 = 
− 𝟓 𝟒⁄ + (𝟕 𝟐⁄ ∗ 𝒕 + 𝟓 𝟒)⁄ ∗ 𝒆𝒙𝒑(−𝟐 ∗ 𝒕); 
 
𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒚(𝒙) 𝒂𝒏𝒔 = 
− 𝟓 𝟒⁄ + 𝟕 𝟐⁄ ∗ 𝒕 ∗ 𝒆𝒙𝒑(−𝟐 ∗ 𝒕) + 𝟓 𝟒⁄ ∗ 𝒆𝒙𝒑(−𝟐 ∗ 𝒕); 
𝒑𝒓𝒆𝒕𝒕𝒚(𝒂𝒏𝒔) 
 
 − 𝟓 𝟒⁄ + 𝟕 𝟐⁄ 𝒕 𝒆𝒙𝒑(−𝟐 𝒕) + 𝟓 𝟒⁄ 𝒆𝒙𝒑(−𝟐 𝒕) 
 
Que corresponde a 𝒙(𝒕) = −𝟏. 𝟐𝟓 + 𝟑. 𝟓𝒕𝒆−𝟐𝒕 + 𝟏. 𝟐𝟓𝒆−𝟐𝒕 
Podemos também determinar a transformada inversa de Laplace apenas escrevendo logo 
após 𝒔𝒚𝒎𝒔 𝒕 𝒔 o comando: 
𝒊𝒍𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆((𝒔 − 𝟓)/𝒔 ∗ (𝒔 + 𝟐)^𝟐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Propostos 
1. Determinar a transformada de Laplace unilateral para cada um dos sinais abaixo 
usando a equação de definição. Esquematizar a RDC em cada caso. 
a) 
)(.2)(.3)( 2 tuetuetx tt  
 b) 
)().3(cos)()( 2 tutetuetx tt  
 
c) 
)(.3/1)(.3/4)()( 2 tuetuettx tt   d) )]4()([)( 2  tutuetx t 
e) 
)3().cos()( 0  tutwtx
 e) 
)2().()( 0  tutwsentx 
2. Determinar a transformada de Laplace bilateral para cada um dos sinais abaixo 
usando a equação de definição. Esquematizar a RDC em cada caso. 
a) 
)()()( 2 tuetuetx tt  
 b) 
)()()()2cos()( 2 tuetuetutetx ttt  
 
c) 
)()()()( 2 tuetuetuetx ttt  
 d) 
)()()( 2 tuetuetx tt  
 
3. Utilizar as propriedades da transformada de Laplace e a Tabela 1 para determinar a 
transformada de Laplace unilateral de cada um dos seguintes sinais: 
a) 
)(.)( tuttx 
 b) 
)().(cos)( 0 tutwtx 
 c) 
)(.)( tuettx at
 
d) 
)()( tuetx at e) )(.)( 22 tuettx t a) )().3(*)(.)( tutsentutetx t  
3. Determinar a função de transferência do sistema da Figura 3.13, considerando-se 
que os subsistemas são LTI´s e que as respectivas respostas ao impulso são dadas 
por )()( e )()( 221 tuthtueth t   
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.13 Sistema LTI constituído de dois subsistemas. 
4. Seja um sistema LTI descrito pela equação diferencial: 
 
)(
)(
)(2
)(
3
)(
2
2
tx
dt
tdx
ty
dt
tdy
dt
tyd

 
a. Encontrar a função de transferência H(s) do sistema 
b. Determinar a resposta ao impulso h(t) para os seguintes casos: 
i. O sistema é causal e estável 
ii. O sistema não é causal nem estável 
y(t) 
+ 
x(t) 
 h1(t) 
 h2(t) 
+ 
5. Determinar a função de transferência de um sistema LTI que possui a descrição por 
variáveis de estado 
(a) 𝑨 = [
−1 0
0 −3
] , 𝒃 = [
1
2
] 
 𝒄 = [1 − 1], 𝑫 = [0] 
(b) 𝑨 = [
1 2
1 −6
] , 𝒃 = [
1
2
] 
 𝒄 = [0 1], 𝑫 = [0] 
6. Provar as seguintes propriedades da transformada de Laplace unilateral: 
a) Linearidade; b) Mudança de escala; c) Deslocamento no tempo; 
d) Deslocamento no domínio s e) Convolução; f) Diferenciação no domínio s 
 
7. Usando transformada de Laplace bilateral, determinar a saída y(t) para um sistema 
LTI cuja resposta ao impulso é dada por: 
)(3)( 3 tueth t
 e o sinal de entrada é 
dado por: 
)()( tuetx t  
 
 
8. Determinar os sinais no tempo, correspondentes às seguintes transformadas de 
Laplace unilaterais, usando o método das frações parciais. 
a) 
23
4
)(
2 


ss
s
sX
 b) 
65
)(
2 

ss
s
sX
 
c) 
12
12
)(
2 


ss
s
sX
 d) 
sss
s
sX
23
45
)(
23 


 
e) 
)52)(2(
1084
)(
2
2



sss
ss
sX
 f) 
422
2
)(
2
2


ss
s
sX
 
 
9. Determinar os sinais no tempo, correspondentes às seguintes transformadas de 
Laplace bilaterais, usando o método das frações parciais. 
a) 
23
3
)(
2 


ss
s
sX
 
i. Com RDC Re (s) < - 2 
ii. Com RDC Re (s) > - 1 
iii. Com RDC -2< Re (s) < -1 
b) 
)42)(1(
4
)(
2
2



sss
s
sX
 
i. Com RDC Re (s) < - 1 
ii. Com RDC Re (s) > 1 
iii. Com RDC -1< Re (s) < 1 
 
 
Problemas propostos com MATLAB 
 
10. Determinar os pólos e zeros da função 
)(sX
 em todos os itens do problema 8, 
usando o comando 𝒓𝒐𝒐𝒕𝒔. 
 
11. Plotar os pólos e no plano s para cada 
)(sX
 do problema 8, usando o comando𝒑𝒛𝒎𝒂𝒑 
 
12. Plotar e avaliar as respostas em módulo e em fase de um sistema definido por 
)()( sXsH 
, para cada 
)(sX
do problema 8, usando o comando 𝒇𝒓𝒆𝒒𝒓𝒆𝒔𝒑. 
 
13. Determinar os resíduos, os pólos e o vetor k para um sistema LTI representado pela 
transformada de Laplace no problema 9: itens (a) e (b), com 
)()( sXsH 
, usando o 
comando [𝒓, 𝒑, 𝒌] = 𝒓𝒆𝒔𝒊𝒅𝒖𝒆(𝒃, 𝒂). 
 
14. Determinar a transformada de Laplace de todos os itens do problema 1, usando os 
comandos: 𝒔𝒚𝒎𝒔 𝒕 𝒔 e 𝑿 = 𝒍𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆(𝒙, 𝒕, 𝒔). 
 
15. Determinar a transformada inversa de Laplace a partir da função 𝑿(𝒔), dada por: 
Usando o MATLAB. 
 
 
 
Referências 
[1] HAYKIN, S. Sinais e Sistemas. Porto Alegre: Bookman. 2001. 
[2] HSU, H. W. Sinais e Sistemas. Bookman. 2004. 
[3] LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. Bookman. 2006. 
[4] OPPENHEIM, A. V. WILLSKY, A. S. Signals & Sistems. Prentice Hall. 1997.