4 Produto Escalar

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PROF: Paulo Henrique 
Escola de Ciências e Tecnologia 
UNIDADE 01 
04 – PRODUTO ESCALAR 
DISCIPLINA: VGA 
TURMA 03. 2016.2 
• NOTAÇÃO DOS VETORES 
• Nos slides, os vetores estarão representados de duas formas: 
1) Com letras encimadas por uma seta: 𝑣 , 𝑢 . 
2) Em negrito: 𝒗, 𝒖. 
• No quadro, sempre serão representados com uma seta acima 
da letra. 
• Nas provas, os vetores deverão ser escritos com seta acima da 
letra: 𝑣 ! 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
• INTRODUÇÃO 
• Vetores podem ser ‘multiplicados’ através de duas operações 
principais: o PRODUTO ESCALAR e o PRODUTO VETORIAL 
• Diferença: 
1) O produto escalar resulta em um escalar, ou seja, um número. 
2) O produto vetorial resulta em outro vetor. 
• Antes, estudaremos o Produto Escalar e suas formas 
1) Algébrica e 2) Geométrica. 
Observação: não existe 𝒖 𝒗 , nem 
𝒗
𝒖 
 
PRODUTO ESCALAR 
PRODUTO ESCALAR – FORMA ALGÉBRICA 
• DEFINIÇÃO: 
Dados dois vetores em R3 (ou em R2) 
𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 e 𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 . 
Denota-se por 𝒖 ∙ 𝒗 e, chama-se PRODUTO ESCALAR, ao 
número real obtido por: 
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢1𝑣1+ 𝑢2𝑣2+ 𝑢3𝑣3 
• EXEMPLO 01: 
Calcule o produto escalar entre os vetores 
a) 𝒖 = 1,−3,4 e 𝒗 = 1,5,2 
b) 𝒖 = 3𝑖 + 5𝑘 e 𝒗 = −𝑖 − 2𝑗 + 5𝑘 
 
 
 
 
 
• PROPRIEDADES ALGÉBRICAS 
 
 
 
 
 
 
• Prova das Propriedades 1) e 4). 
 
PRODUTO ESCALAR – FORMA ALGÉBRICA 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
𝐯 2 
PRODUTO ESCALAR – FORMA ALGÉBRICA 
• EXEMPLO 02: 
Dados os vetores 𝑢 = 1, 𝑥, −2𝑥 − 1 , 𝑣 = 𝑥, 𝑥 − 1,1 e 
𝑤 = 𝑥,−1,1 , determinar x de modo que 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑤 
R: x=2 
 
• EXEMPLO 03: 
Mostre que: 
𝑣 − 𝑢 2 = 𝑣 2 − 2 𝑣 ∙ 𝑢 + 𝑢 2 
Mostre, também, que: 
𝑣 + 𝑢 2 = 𝑣 2 + 2 𝑣 ∙ 𝑢 + 𝑢 2 
 
 
 
 
ÂNGULO ENTRE VETORES 
• Dados dois vetores 𝒖 e 𝒗 em R³ (ou em R² ). O ângulo 
entre eles é o menor ângulo 𝜽 no sentido anti-horário. 
 
PRODUTO ESCALAR – FORMA GEOMÉTRICA 
• Suponha dois vetores 𝒖 e 𝒗 e o ângulo 𝜃 entre eles. 
 
 
 
 
• Segue da Lei dos Cossenos que 
𝑣 − 𝑢 2 = 𝑢 2+ 𝑣 2 − 2 𝑢 𝑣 cos 𝜃 
• Além disso, usando o resultado do EXEMPLO 03, chegamos a: 
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃 
Lados = 
𝑢 
𝑣 
𝑣 − 𝑢 
 
PRODUTO ESCALAR – FORMA GEOMÉTRICA 
• DEFINIÇÃO: 
Dados dois vetores 𝒖 e 𝒗 não nulos e o ângulo 𝜃 entre eles, 
então: 
𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃 
• EXEMPLO 04 
Sabendo que 𝑢 = 2, 𝑣 = 3 e 120° o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 , 
calcular: 
a) 𝑢 ∙ 𝑣 
b) 𝑢 + 𝑣 
PRODUTO ESCALAR – FORMA GEOMÉTRICA 
• EXEMPLO 05 
 
Sabendo que o ângulo entre os vetores 𝑣 = 2,1,−1 e 𝑢 =
1,−1, 𝑥 + 2 é 𝜋/3, determinar x. 
R: x=-4 
 
 
PRODUTO ESCALAR – FORMA GEOMÉTRICA 
• EXEMPLO 06 
 
Seja o triângulo 𝐴 = −1,−2,4 , 𝐵 = −4,−2,0 e 𝐶 = 3,−2,1 . 
Determinar o ângulo interno ao vértice B. 
R: 45° 
 
PRODUTO ESCALAR – FORMA GEOMÉTRICA 
• DEFINIÇÃO: 
Dados dois vetores 𝒖 e 𝒗 não nulos e o ângulo 𝜃 entre eles. 
• Se 𝑢 ∙ 𝑣 = 0, então 𝜃 é um ângulo reto. 𝒖 e 𝒗 são ortogonais. 
• Se 𝑢 ∙ 𝑣 > 0, então 𝜃 é agudo. Se 𝑢 ∙ 𝑣 < 0, então 𝜃 é obtuso. 
• Se 𝑢 ∙ 𝑣 = 1, então 𝒖 e 𝒗 são paralelos. 
 
• Se 𝑢 ∙ 𝑣 = −1, então 𝒖 e 𝒗 são paralelos e opostos. 
 
 
 
𝑢 𝑣 
𝑣 
𝑢 
• EXEMPLO 07 
O vetor 𝑣 é ortogonal aos vetores 𝑢 = 1,2,0 e 𝑤 = 1,4,3 . 
Sabendo que 𝑣 = 14 e que 𝑣 forma um ângulo agudo com o eixo 
x, determine 𝑣 . 
 
PRODUTO ESCALAR – FORMA GEOMÉTRICA 
PRODUTO ESCALAR – PROJEÇÃO 
• Em muitas aplicações é desejável “DECOMPOR” um vetor em 
uma soma de dois vetores ortogonais com suas direções 
convenientemente especificadas. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
• De forma que: 
𝐹 = 𝐹1+ 𝐹2 
 
• A força 𝑭 da gravidade puxa o bloco 
contra a rampa e ao longo da rampa 
para baixo. 
 
• 𝐹1 𝑒 𝐹2 são obtidas após “decompor” 
o vetor força 𝑭 . 
PRODUTO ESCALAR – PROJEÇÃO 
• Podemos “decompor” um vetor, digamos 𝑣 , tal que 
𝑣 = 𝑣𝑝 + 𝑣𝑜 
• De forma que: 
𝑣𝑝 =𝑣1𝑖 e 𝑣𝑜=𝑣2𝑗 
 
 
• Sempre que 𝑣 faz um ângulo 𝜃 com o eixo x, vale a seguinte relação 
(usando as relações trigonométricas do triângulo retângulo): 
 
𝑣 = 𝑣1 cos 𝜃 𝑖 + 𝑣2 sin 𝜃 𝑗 
• EXEMPLO 08 – COSSENOS DIRETORES 
 
 
• EXEMPLO 08 – COSSENOS DIRETORES 
 
 
PRODUTO ESCALAR – PROJEÇÃO 
• Dados dois vetores em R2 𝑢 e 𝑣 não nulos e o ângulo 𝜃 entre 
eles. A figura abaixo mostra duas situações possíveis. 
 
 
 
 
 
• O vetor 𝑣𝑝 é chamado de Projeção de 𝑣 sobre 𝑢 
𝑣𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢 
𝑣 
PRODUTO ESCALAR – PROJEÇÃO 
• O vetor 𝑣𝑝 é chamado de Projeção de 𝑣 sobre 𝑢 
𝑣𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢 
𝑣 
• Como 𝑣𝑝 //𝑢 chegamos a: 
𝑝𝑟𝑜𝑗 
𝑢 
𝑣 =
𝑣 ∙ 𝑢 
𝑢 2
𝑢 
 
• 𝑣𝑜 é chamado de componente vetorial de 𝑣 ortogonal a 𝑢 . 
 
• EXEMPLO 09 
Determine a projeção escalar de 𝑣 = 1,1,2 sobre 𝑢 = −2,3,1 . 
 
 
TRABALHO FÍSICO 
• Um uso de projeções ocorre em FÍSICA, no cálculo do trabalho. 
• Suponha que uma força constante está agindo sobre um corpo, 
de tal forma que ele viaja entre dois pontos P e Q, numa reta. 
• O trabalho realizado é definido como o produto da componente 
do vetor força 𝐹 (ao longo da reta que passa por 𝑃𝑄 ) pela 
distância entre P e Q. 
𝑊 = ( 𝐹 cos 𝜃). 𝑃𝑄 = 𝐹 ∙ 𝑃𝑄 
Observe que o vetor força 𝑭 é projetado 
sobre o vetor deslocamento 𝑷𝑸 . 
• EXEMPLO 10 
a) 
 
 
 
 
b) 
TRABALHO FÍSICO