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Cinemática Direta de Cinemática Direta de Manipuladores RobóticosManipuladores RobóticosManipuladores Robóticos Manipuladores Robóticos Prof. Edgar Amaya •• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho • Questões Cinemáticas • Representação da Orientação Sumário da AulaSumário da Aula 2/64 • Matriz de Transformação Homogênea • Equações Cinemáticas • Esquema Denavit-Hartenberg • Exercícios Recomendados • Bibliografia Recomendada Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho • Também chamado de “Envelope” Máximo Restrito Operacional 3/64 Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho Elos 4/64 Juntas Ferramenta Base do Robô 2 GDL’s Manipulador em Série com 6 GDL’s TCP Tool Center Point Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho 5/64 • Espaço de Trabalho paralelepipídico, mas Ineficiente... • Simples de programar, simples de controlar Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho 6/64 CartesianCartesiano o TTTTTT simples de controlar • Espaço de Trabalho Cilíndrico. • Alcance limitado Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho 7/64 Cilíndrico TTRCilíndrico TTR • Suporta carregamentos pesados • Freqüentemente montado em robôs móveis para operações rápidas de pick and place. • Difícil de Programar Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho 8/64 Esférico Esférico (Polar)(Polar) RRTRRT • Difícil de Programar • Muito Rápido, mas suporta pouca carga • Freqüentemente empregado em operações de montagem. Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho 9/64 SCARASCARA de montagem. • Mais difícil de ser programado Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho 10/64 Articulado RRRArticulado RRR •• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho •• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas • Representação da Orientação Sumário da AulaSumário da Aula 11/64 • Matriz de Transformação Homogênea • Equações Cinemáticas • Esquema Denavit-Hartenberg • Exercícios Recomendados • Bibliografia Recomendada Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas CINEMÁTICA DIRETA • Dados: Coordenadas generalizadas de posição das Juntas; • Procura-se: Posição do TCP e Orientação do Sist. de Coordenadas da Ferramenta; CINEMÁTICA INDIRETA (Inversa) • Dados: Posição do TCP e Orientação do Sist. de Coordenadas da Ferramenta; • Procura-se: Coordenadas generalizadas de posição das Juntas; 12/64 Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas IMPORTANTEIMPORTANTE:: Questões análogas são colocadas para relacionar as velocidades e acelerações generalizadas das articulações,velocidades e acelerações generalizadas das articulações, com a velocidade e aceleração do TCP, bem como a velocidade e aceleração angular do Sistema de Coordenadas da Ferramenta. 13/64 • Localização dos Objetos: - Elos e Juntas do manipulador, Peças, Cinemática Direta → Descrição de Posição e Orientação Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas 14/64 - Elos e Juntas do manipulador, Peças, Ferramentas, etc. - Especificação de: - Juntas e Elos - Sistemas de Referência Fixo e Móveis - Área de Trabalho Sistema de Referência da Ferramenta Sistema de Referência do Punho Ferramenta Câmera Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas Sistema de Referência do Punho Sistema de Referência do Robô Sistema de Referência da Estação Sistema de Referência da Peça 15/64 •• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho •• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas •• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação Sumário da AulaSumário da Aula 16/64 • Matriz de Transformação Homogênea • Equações Cinemáticas • Esquema Denavit-Hartenberg • Exercícios Recomendados • Bibliografia Recomendada Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação • Matriz de Rotação 3 x 3 • Cossenos Diretores – 9 parâmetros – 24 Conjuntos de Combinações [Kane et al.,– 24 Conjuntos de Combinações [Kane et al., Spacecraf Dynamics, 1983] - ANEXO Quaternions e Parâmetros de Euler (4 parâmetros) Indicador de Movimento e Tensor de Rotação Ângulos de Roll, Pitch, Yaw (X0, Y0, Z0) → 3 parâmetros Ângulos de Euler (Z0,X1,Z2)→ 3 parâmetros Ângulos de Kardan (Z0,Y1,X2)→ 3 parâmetros Web-Link 1 Web-Link 2 17/64 Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação CCCC 'B'B'EE Cossenos Diretores 18/64 CCCC 'B'B B' 'B' E B' E B = Duas interpretações possíveis : - Igualdade Final de Transformações, - não da seqüencia. Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação CCCC 'B'B B' 'B' E B' E B = Afirmação: Uma seqüência de rotações ϕ1, ϕ2 e ϕ3 no Sistema de Coordenadas Fixo ao corpo bi, bj, bk leva à mesma orientação final que uma seqüência de rotações ϕ3, ϕ2 e ϕ1 no Sistema de Coordenadas Inercial ek, ej, ei - não da seqüencia. 19/64 • Aplicado no Robô Kuka Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação 20/64 Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação CCCC 'B'B B' 'B' E B' E B = 21/64 − − −= 100 0 0 0 010 0 0 0 001 33 33 22 22 11 11 θθ θθ θθ θθ θθ θθ cs sc cs sc cs sc ++− −+−+− − = 213132131321 213132131321 23232 θθθθθθθθθθθθ θθθθθθθθθθθθ θθθθθ cccssscsccsc csccssssccss ssccc Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação Cossenos Diretores ++− −+−+− − = 213132131321 213132131321 23232 θθθθθθθθθθθθ θθθθθθθθθθθθ θθθθθ cccssscsccsc csccssssccss ssccc CEB Critérios para a Escolha dos Critérios para a Escolha dos Ângulos de Ângulos de OrientaçãoOrientação 1. Existem ângulos com correspondência física no sistema ? 2. Para quais ângulos a descrição se torna singular ? 22/64 ++− 213132131321 θθθθθθθθθθθθ cccssscsccsc •• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho •• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas •• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação Sumário da AulaSumário da Aula 23/64 •• Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea • Equações Cinemáticas • Esquema Denavit-Hartenberg • Exercícios Recomendados • Bibliografia Recomendada • Matriz 3x3 de Cossenos Diretores CC (Rotação). – Sistema de Coord. com origens coincidentes. – Não permite representar Translação ... • Matrizes 4x4 de Transformação Homogênea TT: Matriz Matriz de de TransfTransf. Homogênea. Homogênea 24/64 EscalaEscala Vetor de PosiçãoVetor de PosiçãoMatriz deMatriz de RotaçãoRotação PerspectivaPerspectiva • Matrizes 4x4 de Transformação Homogênea TT: = 1x11x3 3x13x3 i 1-i ef PR T Matriz Homogênea R o l l P i t c h Y a w • Assim: = = pasnpasn pasn T yyyy xxxx 1-i Matriz Matriz de de TransfTransf. Homogênea. Homogênea 25/64 = = 1000 pasn 1000 pasn pasn T zzzz yyyy i 1-i an s •• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho •• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas •• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação Sumário da AulaSumário da Aula 26/64 •• Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea •• Equações CinemáticasEquações Cinemáticas • Esquema Denavit-Hartenberg • Exercícios Recomendados • Bibliografia Recomendada Equações CinemáticasEquações Cinemáticas = 1000 0100 00cθsθ 00sθ-cθ T 11 11 0 1 TCP x3 TCP x3 θ3 L3 00cθsθ L0sθ-cθ 122 c: cos s: sin x0 y0 x 2 y 2 x 1y 1 y3 x0 y0 x 2 y 2 x 1y 1 y3 θ1 θ2 L 1 L 2 = 1000 0100 00cθsθ T 2212 = 1000 0100 00cθsθ L0sθ-cθ T 33 233 2 3 27/64 Equações CinemáticasEquações Cinemáticas TCP x3 TCP x3 θ3 L3 TCP TCP TCP TCP TCP rT.T.T. 1 z y x r 323 1 2 0 1 0 0 = = c: cos s: sin x0 y0 x 2 y 2 x 1y 1 y3 x0 y0 x 2 y 2 x 1y 1 y3 θ1 θ2 L 1 L 2 = 1 0 0 3L TCPr 3 28/64 Equações CinemáticasEquações Cinemáticas TCP x3 TCP x3 θ3 L3 ++ ++ = z y x 00 0 123312211 123312211 θθθ θθθ sLsLsL cLcLcL TCP TCP TCP c: cos s: sin x0 y0 x 2 y 2 x 1y 1 y3 x0 y0 x 2 y 2 x 1y 1 y3 θ1 θ2 L 1 L 2 11 z 0TCP 321123 θθθθ ++= 2112 θθθ += Onde: 29/64 •• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho •• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas •• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação Sumário da AulaSumário da Aula 30/64 •• Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea •• Equações CinemáticasEquações Cinemáticas •• Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg • Exercícios Recomendados • Bibliografia Recomendada Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Esquema genérico para a descrição da Cinemática de Robôs Limitações: • Somente para cadeias cinemáticas abertas de corpos rígidos; • Cada junta apresenta um único grau de liberdade de translação ou rotação; • Os diferentes elos do robô são numerados em ordem crescente (Base = Elo 0 e Ferramenta = Elo N); • Convenção rigorosa para a definição dos Sist. de Coord. adotados, como também para as coordenadas de posição e orientação. 31/64 32/64 • 1o Passo: – Numerar as corpos do mecanismo, à partir da base → 0, 1° Corpo Móvel → 1; ... etc. – Identificar os eixos de movimento e representá-los como Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg Para cada corpo um sistema de coordenadas Para cada corpo um sistema de coordenadas linhas inf.; – Determinar o sentido de movimento positivo e nomeá-lo como eixo zi-1; Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1 zi-1 zi 33/64 2o Passo: – Encontrar o eixo perpendicular a zi e zi-1 (em vermelho); – O eixo xi-1 encontra-se na direção deste eixo; Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg Para cada corpo um sistema de coordenadas Para cada corpo um sistema de coordenadas Corpo i-1 xi-1 Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1 zi-1 zi 34/64 Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg Para cada corpo um sistema de coordenadas Para cada corpo um sistema de coordenadas 3o Passo: – O eixo yi-1 é obtido por produto vetorial (regra da mão direita); Corpo i-1 xi-1 Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1 zi-1 zi yi-1 35/64 4o Passo: • ai-1: distância ao longo de xi-1, de zi-1 a zi; Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg Posição e orientação relativa entre dois eixosPosição e orientação relativa entre dois eixos Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: aHartenberg: aii--11, , ααααααααii--11 Corpo i-1 xi-1 Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1 zi-1 zi ai-1 yi-1 36/64 Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg Posição e orientação relativa entre dois eixosPosição e orientação relativa entre dois eixos Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: aHartenberg: aii--11, , ααααααααii--11 5o Passo: • αi-1: ângulo entre zi e zi-1, com orientação positiva baseada no sentido anti-horário; Corpo i-1 xi-1 Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1 zi-1 zi ai-1 yi-1 αi-1 37/64 6o Passo: • di: distância entre xi a xi-1 ao longo de zi, . Orientação (+ ou -) dada por zi; Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg Posição e orientação relativa entre dois corposPosição e orientação relativa entre dois corpos Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: dHartenberg: dii, , θθθθθθθθii Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1 xi-1 Eixo i-1 Corpo i-1 zi-1 zi ai-1 yi-1 ααααi-1 xi Corpo i yi θθθθi aidi 38/64 Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg Posição e orientação relativa entre dois corposPosição e orientação relativa entre dois corpos Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--Hartenberg: dHartenberg: dii, , θθθθθθθθii 7o Passo: • θi: ângulo entre xi e xi-1 em torno de zi com orientação positiva baseada no sentido anti-horário; Eixo i-1 Eixo iCorpo i-1 xi-1 Eixo i-1 Corpo i-1 zi-1 zi ai-1 yi-1 ααααi-1 xi Corpo i yi θθθθi aidi 39/64 Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--HartenbergHartenberg 1. z0 = z1; x0 = x1 Convenções adicionais para o primeiro e o último elo da cadeia cinemática quando d1 = 0 (junta de translação), rsp. quando θ1 = 0 (junta de rotação) 2. xN só precisa ser perpendicular a zN 3. α0 = 0 4. a0 = 0 5. d1 = 0 caso a junta 1 seja rotativa 6. θ1 = 0 caso a junta 1 seja de translação 40/64 Esquema DenavitEsquema Denavit--HartenbergHartenberg Parâmetros de DenavitParâmetros de Denavit--HartenbergHartenberg • Para cada junta articulada é possível definir dois sentidos Ambigüidades da descrição de Denavit- Hartenberg • Para cada junta articulada é possível definir dois sentidos para zi • Caso zi e zi+1 se cruzem, existem dois sentidos possíveis para xi • No caso de juntas de translação as ambigüidades aumentam. ���� ATENÇÃO: Diferentes autores adotam diferentes convenções para D.H. 41/64 8o Passo: • Obter a matriz de transformação rT.r i1-i i 1-i = Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Matriz Matriz Genérica Genérica de Transformação de Transformação Homogênea Homogênea T.H.T.H. ),z).Rot(d,zTrans(),x).Rot(a,xTrans(T iiii1-i1-i1-i1-i 1-i i θα .= Rotação em Xi-1 Translação em Xi-1 Rotação em Zi Translação em Zi PP rT.r 1-i i= 42/64 c: cos s: sin Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Matriz Matriz Genérica Genérica de Transformação de Transformação Homogênea Homogênea T.H.T.H. 8o Passo: (continuação...) PP rT.r i1-i i 1-i = = 1000 0100 00cθsθ 00sθ-cθ 1000 d100 0010 0001 1000 0cs0 0s-c0 0001 1000 0100 0010 a001 T ii ii i1-i1-i 1-i1-i 1-i 1-i i αα αα Rotação em Xi-1Translação em Xi-1 Rotação em ZiTranslação em Zi 43/64 − 0 asc θθ Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Matriz Matriz Genérica Genérica de Transformação de Transformação Homogênea Homogênea T.H.T.H. PP rT.r i1-i i 1-i = −− − = −−−− −−−− − − 1000 0 1111 1111 1 1 iiiiiii iiiiiii iii i i dccscss dsscccs asc T αααθαθ αααθαθ θθ 44/64 Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Exemplos de AplicaçãoExemplos de AplicaçãoA matriz de transformação do sistema de coordenadas inercial “0” para o sistema de coordenadas da “mão”do robô “n” TCPTCP rT.r 50 5 0 = Exemplo: Cálculo das coordenadas do Tool Center Position para um robô com 5 eixos 45/64 robô “n” TT...T.T.T 1-n n 2 3 1 2 0 1 0 n = Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação Parâmetros de Denavit-Hartenberg Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi range 46/64 1 2 3 4 5 Parâmetros de Denavit-Hartenberg Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi Range 1 0 0 d1 θ1M Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação 1 2 -90o 0 0 θ2= θ2M - 90o 3 0 a2 d3 θ3= θ3M + 90o 4 0 a3 d4 θ4= θ4M + 90o 5 90o 0 0 θ5M 47/64 Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação −− − = −−−− −−−− − − 1000 0 1111 1111 1 1 iiiiiii iiiiiii iii i i dccscss dsscccs asc T αααθαθ αααθαθ θθ − = 1000 0100 00 0 33 233 2 3 θθ θθ cs lsc T 48/64 − = 1000 0100 00 00 11 11 0 1 θθ θθ cs sc T −− − = 1000 00 0100 00 22 22 1 2 θθ θθ cs sc T − = 1000 0100 00 0 44 344 3 4 θθ θθ cs lsc T −− − − = 1000 00 0100 00 55 55 4 5 θθ θθ cs sc T Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação − − −− − −−− −− −−− − + − −−− − − −−− −− − −−− − )...( )( )...( )...( )...( )...( )...( )...( )( )...( )...( )...( )...( )...( 321321332132143213215432132154 212 3213213 3213214 3213214 54 32132154 32132154 54 32132154 32132154 csl sssccsl cssscsc sssccss cssscsss sssccssc cssscscs sssccscc ccl ssccccl cscsccc ssccccs cs cscsccss ssccccsc ss cscscccs sscccccc 49/64 − −− −− −− −− −−− −+ −− −−− − −−− − −−− = 1000 )...( )( )...( )( )...( )( )...( )()...()...( 22 32323 32324 32324 323254 323254 323254 323254 2123213214 54 32132154 54 32132154 0 5 sl sccsl ccssc sccss ccssss sccssc ccsscs sccscc cslcssscsc cc cssscsss cs cssscscs T Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação 50/64 Robô PUMA 560 Parâmetros de Denavit-Hartenberg Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi Range 1 0 0 0 θ1M -160o ~ 160o 2 -90o 0 0 θ2M -225o ~ 45o Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação θ2M 3 0 a2 d3 θ3M -45o ~ 255o 4 -90o a3 d4 θ4M -110o ~ 170o 5 90o 0 0 θ5M -100o ~ 100o 6 -90o 0 0 θ6M -266o ~ 266o 51/64 Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação 52/64 ABB IRB 2400 Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg Exemplos de AplicaçãoExemplos de Aplicação Parâmetros de Denavit-Hartenberg Junta ααααi-1 ai-1 di θθθθi range 53/64 1 2 3 4 5 Quando faz sentido utilizar a Representação de Quando faz sentido utilizar a Representação de D.H.D.H. ?? • Muito útil para programas genéricos de simulação, nos quais, qualquer cinemática de robôs possa ser representada de forma simples e prática. Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg ComentáriosComentários • Útil para análises cinemáticas (numéricas) e simulações de movimentos de um determinado robô caso o tempo de calculo não seja importante (off-line). • Impróprio para cálculo da cinemática em tempo real para sistemas embarcados, devido a ineficiência numérica. 54/64 Comentários sobre a Ineficiência NuméricaComentários sobre a Ineficiência Numérica 1. Equações analíticas menores e mais simples (influenciados freqüentemente pela escola dos Sistemas de Coordenadas e do algoritmo/procedimento de dedução); Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg ComentáriosComentários 2. Nenhuma multiplicação por 0 e por 1 (constantes); 3. Cálculo de uma coluna / linha (resp. um elemento) como produto vetorial das outras colunas / linhas; 4. Introdução de variáveis intermediárias; 5. Providências relacionadas com a escolha da linguagem de programação: Linguagem, Cálculo vs. Tabelas, Inteiros vs. Pontos Flutuantes. 55/64 Relativo ao Ponto 1Relativo ao Ponto 1 Matriz de Transformação Completa com θ23 = θ2 + θ3 e θ234 = θ2 + θ3 + θ4 c23 = cos θ23 c234 = cos θ234ci = cos θi Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg ComentáriosComentários −−− +−−− +−−− = 1000 )( )( 2332223452345234 233221234151523415152341 233221234151523415152341 0 5 sLsLcsscs cLcLsssccscsscccc cLcLcsccssccssccc T s23 = sen θ23 s234 = sen θ234si = sen θi 56/64 Relativo ao Ponto 4Relativo ao Ponto 4 z3 = L2 c2 z4 = L3 c23z2 = s1 c234z1 = c1 c234 z5 = z3 + z4 Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg ComentáriosComentários −−− −−− −−− = 1000 2332223452345234 51234151525152 51234151515151 0 5 sLsLcsscs zsssccszsccz zcsccsszsscz T 57/64 •• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho •• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas •• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação Sumário da AulaSumário da Aula 58/64 •• Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea •• Equações CinemáticasEquações Cinemáticas •• Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg •• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados • Bibliografia Recomendada Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados • Exercícios: – Ex. 3.5 Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 93 – Acrescente a representação gráfica do volume de trabalho do robô; – Ex. 3.8 Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 94; – Exercício Matlab 3 - Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 100, uso do– Exercício Matlab 3 - Livro do Craig, J.J. (2005): pg. 100, uso do Toolbox de Robótica (Peter Corke); – Usando o Toolbox de Robótica (Peter Corke), desenvolva a representação de D.H. para o Robo Kuka KR16. Apresente a matriz de T. Homogênea para o punho do robô. As dimensões do Robô podem ser encontradas em arquivos CAD do proprio fabricante na Web . 59/64 •• Espaço de TrabalhoEspaço de Trabalho •• Questões CinemáticasQuestões Cinemáticas •• Representação da OrientaçãoRepresentação da Orientação Sumário da AulaSumário da Aula 60/64 •• Matriz de Transformação HomogêneaMatriz de Transformação Homogênea •• Equações CinemáticasEquações Cinemáticas •• Esquema Esquema DenavitDenavit--HartenbergHartenberg •• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados •• Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada • Craig, J.C., 2005, Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 3rd Edition, Pearson Education Inc., ISBN 0-201-54361-3 • Fu, K.S., Gonzales, R.C., and Lee, C.S.G., 1987, Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence, 61/64 Robotics: Control, Sensing,Vision, and Intelligence, McGraw-Hill Int. Editions, ISBN 0-07-100421-1. • Paul, R. P., 1981, Robot Manipulators. Mathematics, Programming and Control, The MIT Press. • Hartenberg, R. S. and Denavit, J., 1964, Kinematic Synthesis of Linkages, McGraw Hill, ISBN 64-23251. • Corke, P., Robotics Toolbox for MatLab (Release 7).
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