Sequência +Progressão Aritmética

Prévia do material em texto

��������
	Progressão Aritmética (P.A)
Sequência
Definição
Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função definida em N* 5 {1, 2, 3, ..., n, ...} e tomando valores no conjunto dos números reais. f: N* ( R , que pode ser finita ou infinita.
Exemplos:
a) A sequência dos números ímpares positivos é infinita: (1, 3, 5, 7, 9, …), na qual
a1 5 1, a2 5 3, a3 5 5, a4 5 7, a5 5 9, etc.
b) A sequência dos quatro primeiros múltiplos de 5 é finita: (0, 5, 10, 15). 
Nesse caso, a1 5 0, a2 5 5, a3 5 10 e a4 5 15.
Determinação de uma sequência por recorrência
Exemplos:
Exiba os 5 primeiros termos da sequência dada pela fórmula abaixo.
2) Observe os triângulos abaixo e escreva a fórmula de recorrência.
 
Progressão aritmética
Definição
Progressão aritmética é uma sequência de números reais cuja diferença entre um termo e seu antecedente, a partir do segundo, é uma constante. Essa diferença constante é chamada razão da progressão e é representada pela letra r.
	
Fórmula do Termo Geral
 
onde, 
an _ termo geral
a1 _ 1° termo
n _ número de termos (até an)
r _ razão da PA
Representações especiais
i)Eventualmente podemos recorrer a algumas representações especiais para uma PA, principalmente quando a soma dos termos for conhecida. A vantagem das representações especiais é diminuir a quantidade de cálculos exigidos em algumas situações.
As principais representações especiais são:
- três termos em PA:
 (x _ r, x, x _ r);
- quatro termos em PA:
(x - 3r, x - r, x + r, x + 3r);
- cinco termos em PA:
(x _ 2r, x _ r, x, x _ r, x _ 2r).
ii)Decompor os termos em função do 1º termo e da razão.
Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo, , é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.
Assim, utiliza-se  no lugar de  no lugar de .
Classificação das progressões aritméticas
Dependendo da razão r, uma PA pode ser:
• Crescente: se cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior, isto é, quando a razão r é positiva.
Exemplo: (3, 7, 11, 15, 19, ...) é uma PA crescente, pois r = 4 > 0.
• Decrescente: se cada termo, a partir do segundo, é menor que o seu anterior, isto é, quando a razão r é negativa.
Exemplo: (16, 10, 4, _2, _8, ...) é uma PA decrescente, pois r= -6 < 0
• Constante ou estacionária: se todos os seus termos são iguais, isto é, a razão r é nula.
Exemplo: (5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PA constante ou estacionária, pois r = 0.
Propriedades
1ª propriedade: soma dos termos equidistantes.
Numa PA, os termos opostos, ou equidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.
	
2ª propriedade: média aritmética.
Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmos três de seus termos:
	 
e fizermos , ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos 10
	
que é o termo do meio.
E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.
No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:
 
Soma dos termos de uma PA finita
	
Exercícios
1) Em uma PA, o 5° termo vale 30 e o 20° vale 50. Quanto vale o 8° termo dessa progressão?
Quantos números inteiros compreendidos
entre 1 e 5 000 são divisíveis por 9?
Três números estão em PA; o produto deles é 66 e a soma é 18. Calcule os três números.
Se os quadrados dos números x - 2, x + 4 e
x + 6 são, nessa ordem, termos consecutivos de uma PA, calculem o valor de x e a razão dessa PA.
Dada uma PA a3 + a7 = 2, qual é o valor de
a1 + a9?
A produção de uma indústria cresceu em PA nos meses de janeiro a dezembro. A produção no mês de outubro foi de 190 máquinas e a diferença de produção nos meses de agosto e de março foi de 50 máquinas. Quantas máquinas foram produzidas em novembro?
Marcelo criou uma conta em uma rede social.
Nesse mesmo dia, três pessoas começaram a
segui-lo. Após 1 dia, ele já tinha 20 seguidores e após 2 dias, já eram 37 seguidores. Marcelo percebeu que, a cada novo dia, ele ganhava 17 seguidores. Considerando que o crescimento dos seguidores permaneça constante, após quantos dias ele ultrapassará 1 000 seguidores?
8) O número mensal de passageiros de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33000 passagens; em fevereiro, 34500; em março, 36000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
9) Inserindo nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da PA?
10) Um teatro possui 12 poltronas na primeira
fileira, 14 na segunda e 16 na terceira; as demais fileiras se compõem na mesma sequência. Quantas fileiras são necessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas?
11) A soma das medidas dos ângulos internos de
um triângulo é 180°. Em um triângulo, as medidas dos ângulos estão em PA e o menor desses ângulos mede 40°. Calculem as medidas dos outros dois ângulos.
12) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora; 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas?
13) Obter uma PA em que a soma dos n primeiros termos é n²+2n para todo n natural. 
��