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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Luciana Maria Margoti Araujo Operações com números reais e intervalos numéricos Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Reconhecer o conjunto dos números reais. Identificar as propriedades e operações com números reais. Associar os três tipos de intervalos numéricos. Introdução Neste capítulo, você aprenderá sobre o conjunto dos números reais e verificará que ele é uma reunião de vários subconjuntos numéricos. Dessa maneira, é possível utilizar as notações da teoria de conjuntos para relacionar o conjunto dos números reais com os demais conjuntos. Dentro dos números reais, podemos estabelecer relações de igual- dade ou desigualdade entre seus elementos, facilitando o entendimento da representação no eixo real. Os conjuntos numéricos podem ser re- presentados em notação de conjuntos utilizando chaves e colchetes, ou sobre a reta ordenada, em que os números ficam dispostos em ordem crescente. Conjunto dos números reais O conjunto dos números reais (R) é formado por todos os números racionais e irracionais. Por sua vez, os conjuntos dos números racionais e irracionais abrangem outros conjuntos que podem ser verificados a seguir. O conjunto dos números naturais é aquele formado pelos números 0, 1, 2, ... ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Na sequência, observe o conjunto dos números inteiros, representado por Z, formado por números inteiros, positivos e negativos. ℤ = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} O conjunto dos números racionais (ℚ) é composto por números que tam- bém podem assumir valores positivos e negativos. Porém, nesse conjunto, as frações numéricas são incorporadas. Esses números podem estar representados na forma de fração ou decimal. No conjunto dos números racionais, estão também presentes as dízimas periódicas simples e compostas, sendo esses originados de uma fração possível de ser reescrita na forma a/b, em que a e b são números inteiros, e b ≠ 0. ℚ = {..., –2, ..., –1,25, ..., –1, ... –0,33, ... 0, ...1, ... , ..., 2, ...}15 13 Por fim, vem o conjunto dos números irracionais (𝕀), que são os decimais que não podem ser representados em forma de uma fração. Por exemplo, o número π, √p , sendo p um número positivo, sem raiz quadrada exata, etc. � = {..., –√2, ..., √2, ... �, ...} Podemos dizer que todos esses conjuntos descritos são subconjuntos do conjunto dos números reais. A relação desses subconjuntos, entre si, está demonstrada na Figura 1. Todos eles estão contidos em R: ℝ = 𝕀 ∪ ℚ Figura 1. Representação dos conjuntos dos números racionais e irracionais. � ℤ ℕ ℚ Operações com números reais e intervalos numéricos2 Para o conjunto dos números reais, também são válidas todas as notações da teoria de conjuntos. Você pode verificar, de acordo com a Figura 1, que o conjunto Q está contido no conjunto R, ou simplesmente: ℚ ⊂ ℝ ou, ainda, que o conjunto dos números irracionais, I, unido ao conjunto dos números racionais, Q, resulta no conjunto dos números reais: 𝕀 ∪ ℚ = ℝ Essas mesmas relações da teoria de conjuntos podem ser utilizadas com os elementos que compõem o conjunto dos números reais, R. Considerando as opções a seguir, quais são verdadeiras? a) ℕ ⊂ 𝕀 b) ℝ ∪ ℚ= ℝ c) (–7) ∉ ℝ d) ℝ ∩ 𝕀 = 𝕀 As alternativas (b) e (d) estão corretas. Em (b), a união entre o conjunto dos números reais com o conjunto dos números racionais é o próprio conjunto dos números reais. Já em (d), a interseção, ou o que há de comum, entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos números irracionais é o próprio conjunto dos números irracionais. Do exercício anterior, reescreva as relações que você julgou como falsas de forma a torná-las verdadeiras. Transformando as opções (a) e (c) em afirmações verdadeiras: ℕ ⊂ ℚ (–7) ∈ ℝ Propriedades e operações com números reais a) Propriedades dos números reais 3Operações com números reais e intervalos numéricos Ao realizar operações matemáticas com os números reais, as proprieda- des básicas utilizadas com qualquer outro conjunto numérico também se aplicam. Na sequência, você relembrará e exercitará um pouco cada uma dessas propriedades e verá alguns exemplos. Não existe divisão de um número real por zero: a 0 = ∄, ∀ a ∈ ℝ –4 0 = ∄ Zero dividido por qualquer número real será sempre zero: 0 a = 0, ∀ a ∈ ℝ 0 7 = 0 ; = 0 0 –10 Qualquer número real, diferente de zero e elevado a zero, valerá 1: a0 = 1, ∀ a ∈ ℝ 50 = 1 ; (–9)0 = 1 Existe raiz de índice par somente para os números reais positivos: √b, ∀ b ∈ ℝ+n n sendo um número par: √16 = 2 ; √–16 = ∄ em ℝ √–81 = ∄ em ℝ 4 2 4 Operações com números reais e intervalos numéricos4 Qualquer número real, positivo ou negativo, elevado a um expoente par, sempre resultará em um número real positivo: (a)n > 0, ∀ a ∈ ℝ, sendo n um número par” (5)4 = 625 ; (–9)2 = 81 No conjunto dos números reais, uma multiplicação de potências de mesma base apresentará como resultado na conservação da base, com a soma dos expoentes: am × an = am+n (–3)5 × (–3)3 = (–3)5+3 = (–3)8 = 6.561 No conjunto dos números reais, uma divisão de potências de mesma base apresentará como resultado na conservação da base, com a subtração dos expoentes: 27 ÷ 24 = 27–4 = 23 = 8 Sempre que um número real estiver representado com uma potência de potência, conserve a base e multiplique os expoentes: (am)n = am×n [(–17)3]3 = (–17)3×3 = (–17)9 = –118.587.876.497 Potência de sinal negativo inverte o número que está sob a potência, caso mude o sinal: ( )ab( ) –m b a m = , A a, b ≠ 0 = = (–3)2 = 9 –3 9( ) ( ) –2 29 –3 5Operações com números reais e intervalos numéricos É possível transformar uma operação de radiciação em uma de poten- ciação, da seguinte maneira: √an = an/m √(–6)2 = (–6)2/4 ≈ 2,4495 m 4 Existe raiz de índice ímpar, cujo radicando é um número real negativo: √–7.776 = –65 b) Operações com números reais Para realizar as operações matemáticas, inclusive no uso das proprieda- des que você acabou de verificar, algumas regras devem ser seguidas. Acompanhe, a seguir, como operar em relação aos sinais (positivo e negativo) dos números reais. Nas operações de adição e subtração, quando os sinais que acompa- nham os números que estão sob a operação forem iguais, o resultado permanecerá com o mesmo sinal: +4 +7 = +11 –9 –2 = –11 Nas operações de adição e subtração, quando os sinais que acompanham os números que estão sob a operação forem diferentes, o resultado apresentará o mesmo sinal do número com maior módulo: +7 –2 = +5 –11 + 4 = –7 –2,35 + 8 = +5,65 Operações com números reais e intervalos numéricos6 Nas operações de multiplicação e divisão, quando os sinais que acom- panham os números que estão sob a operação forem iguais, o resultado apresentará sinal positivo (+): (–7) × (–3,7) = +25,9 (+6,3) × (+9) = +56,7 (–50) ÷ (–2,5) = 20 (+50) ÷ (+5) = +10 Nas operações de multiplicação e divisão, quando os sinais que acompa- nham os números que estão sob a operação forem diferentes, o resultado apresentará sinal negativo (–): (–7) × (+3,7) = –25,9 (–6,3) × (+9) = –56,7 (+50) ÷ (–2,5) = –20 (+50) ÷ (–5) = –10 Em operações com números reais (R), a prioridade continua sendo da expressão que está entre parênteses; após, a que está entre colchetes; por fim, aquela expressão que se encontra dentro das chaves. Segue, também, a ordem prioritária de operações, que é primeiro a multiplicação e divisão e, depois, a adição e subtração. 7Operações com números reais e intervalos numéricos Tipos de intervalos numéricos Assim como em qualquer outro conjunto, os números reais(R) podem ser representados sobre uma reta orientada. Esta reta tem como origem o ponto 0 (zero) e orientação para a direita, indicando o sentido crescente da sequência numérica, conforme mostrado na Figura 2. Figura 2. Reta numérica, com a representação da origem e orientação. 0 Sobre essa reta, a representação numérica será realizada unidade à unidade, pelo conjunto dos inteiros (Z), a fim de facilitar a representação numérica. A partir do ponto de origem, para o lado direito, serão colocados os números positivos e, para o esquerdo, os negativos, como mostrado na Figura 3. Figura 3. Eixo real. Fonte: Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3). –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 Ainda sobre essa reta, caso seja necessário, é possível representar os demais números racionais e irracionais, complementando o conjunto dos números reais (R), conforme a Figura 4. Figura 4. Eixo real. Fonte: Safier (2012, p. 3). l –5 –pi –1,5 0 2/3 √5 3 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Operações com números reais e intervalos numéricos8 Sendo necessário referir-se aos números reais positivos, excluindo-se o zero, a notação R+* deverá ser utilizada. De maneira análoga, os números reais negativos, excluindo-se o zero, podem ser representados pela notação R-*. Definimos, assim, os conjuntos: R+* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} R–* = {..., –5, –4, –3, –2, –1} Desse modo, para qualquer a pertencente a R+*, dizemos que a é maior que zero: a > 0, ∀ a ∈ ℝ+* Também de forma semelhante: a < 0, ∀ a ∈ ℝ–* A partir daí, você já consegue definir o conjunto dos números reais maiores que zero (positivos) sobre a reta real. Figura 5. Números reais positivos. Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3). –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 Na Figura 5, um círculo aberto sobre o zero indica que o mesmo não está dentro do intervalo numérico representado. O mesmo pode ser observado na Figura 6, a seguir, com a representação dos números reais negativos, ou menores que zero. Figura 6. Números reais negativos. Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3). –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 9Operações com números reais e intervalos numéricos O intervalo da Figura 5 pode ser, ainda, representado como: ]0, ∞[ em que o colchete aberto, ou os parênteses, indica que o número que vem após não pertence ao intervalo. Já o intervalo da Figura 6, em que o número que precede o colchete não pertencerá ao intervalo, pode ser expresso por: ]–∞, 0[ ou: (–∞, 0) Sempre que for necessário representar conjuntos numéricos em uma reta, caso o primeiro número da sequência a ser representada pertença ao conjunto desejado, o círculo deverá ser preenchido, o que também deverá ocorrer com o último número da sequência a ser representada. Como exemplo, verifique que, na Figura 7, está representado o intervalo entre o número 2, inclusive, até o número 4, que também pertencerá ao conjunto da expressão: [2 ,4] ou: {x ∈ ℝ│2 ≤ x ≤ 4} Figura 7. Intervalo [2,4] representado no eixo real. Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3). –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 Verifique, agora, este outro intervalo: ]–3, 2] Operações com números reais e intervalos numéricos10 O colchete aberto em –3 indica que esse número não pertence ao intervalo que iremos representaremos. Por outro lado, o número 2 ainda está dentro desse conjunto. Assim, queremos representar na reta real o conjunto de todos os x, maiores que –3 e menores ou iguais a 2 (Figura 8), ou pela expressão: {x ∈ ℝ│–3 < x ≤ 2} Figura 8. Intervalo ]-3,2] representado no eixo real. Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3). –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 Quando nenhum dos dois extremos do intervalo que queremos representar pertencer ao conjunto, os dois colchetes ficarão abertos, e, consequentemente, na reta, os círculos sobre os números também. Veja o exemplo a seguir: ]–1, +3[ Temos um intervalo entre -1 e +3, em que esses dois números não pertencem ao intervalo: {x ∈ ℝ│–1 < x < +3} ou na reta representada na Figura 9, a seguir. Figura 9. Intervalo ]-1,+3[ representado no eixo real. Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3). –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 11Operações com números reais e intervalos numéricos Sejam três números, a, b e c. Estando a à direita de b na reta real, temos a garantia que a é maior que b; e estando c à esquerda de b, temos a garantia que c é menor que b, o que pode ser representado pelas expressões a seguir, respectivamente: a > b; c < b Ainda sobre os números a, b e c, podemos escrever as relações entre eles em uma única expressão: c < b < a em que você lerá que b é menor que a e maior que c. Assim, você também pode verificar que c é menor que a: c < a Com exemplo numérico, seguindo a mesma ordem apresentada nas relações acima, sejam os números –7, –3 e 2: 2 > –3 –7 < –3 – 7< –3 < 2 e ainda: –7 < 2 Além dos operadores "maior que" (>) e "menor que" (<), podemos utilizar o operador diferente (≠). Por exemplo, os números 3 e 7 são diferentes, ou 3≠7. Operações com números reais e intervalos numéricos12 ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDIL, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2015. SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. (Coleção Schaum). Leituras recomendadas CHAMBERS, P. Ensinando matemática para adolescente. Porto Alegre: Penso, 2015. SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; MILANI, E. Cadernos de mathema – ensino fundamental: jogos de matemática de 6º ao 9º ano. Porto Alegre: Artmed, 2006. v. 2. SMOLE, K. S.; MUNIZ, C. A. A matemática em sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2013. 13Operações com números reais e intervalos numéricos Conteúdo:
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