2.2 Lista de Exercícios Transformações Lineares e Matrizes

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios – Transformações Lineares 
 
1) Encontrar um operado linear 𝑇: ℝ3 → ℝ3 cujo núcleo é gerado por (1,2, −1) e (1, −1,0) 
(STEINBRUCH & WINTERLE, 1995). 
 
2) Encontrar uma transformação linear 𝑇: ℝ3 → ℝ2 tal que 𝑁(𝑇) =
[(1,0, −1)] (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995). 
 
3) Encontrar uma transformação linear 𝑇: ℝ3 → ℝ4 cuja imagem é grado por (1,3, −1,2) e 
(2,0,1, −1) (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995). 
 
4) Consideremos a transformação linear 𝑇: ℝ3 → ℝ2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 −
𝑧, 𝑥 + 2𝑦) e as bases 𝐴 = {(1,0,0), (2, −1,0), (0,1,1)} do ℝ3 e 𝐵 = {(−1,1), (0,1)} do ℝ2. 
Determinar a matriz [𝑇]𝐵
𝐴 (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995). 
 
5) Seja a transformação linear 𝑇: ℝ2 → ℝ3, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 3𝑦, −2𝑦) e as bases 𝐴 =
{(−1,1), (0,1)} do ℝ2 e 𝐵 = {(0,0,1), (0,1, −1), (1,1,0)}. Determinar a matriz [𝑇]𝐵
𝐴. Qual a 
matriz [𝑇]𝐶
𝐴, onde 𝐶 é a base canônica do ℝ3v(STEINBRUCH & WINTERLE, 1995):? 
 
6) Sabendo que a matriz de uma transofmação linear 𝑇: ℝ2 → ℝ3 nas bases 𝐴 =
{(−1,1), (1,0)} do ℝ2 e 𝐵 = {(1,1, −1), (2,1,0), (3,0,1)} do ℝ3 é: 
[𝑇]𝐵
𝐴 = [
3 1
2 5
1 −1
] 
Encontrar a expressão de 𝑇(𝑥, 𝑦) e a matriz [𝑇] (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995). 
 
7) Sejam 𝑅, 𝑆 e 𝑇 três transformações lineares de ℝ3 em ℝ3 (BOLDRINI et al., 1980). 
Se [𝑅] = [
1 0 1
2 1 1
0 −1 1
] e [𝑆] = [
−2 1 −1
3 1 2
1 −2 0
], ache 𝑇 tal que 𝑅 = 𝑆 ∘ 𝑇. 
 
8) Sejam 𝛼 = {(1, −1), (0,2)} e 𝛽 = {(1,0, −1), (0,1,2), (1,2,0)} bases de ℝ2 e ℝ3 
respectivamente e 
[𝑇]𝛽
𝛼 = [
1 0
1 1
0 −1
] (BOLDRINI et al., 1980) 
a) Ache 𝑇. 
b) Se 𝑆(𝑥, 𝑦) = (2𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥), ache [𝑆]𝛽
𝛼 
c) Ache uma base 𝛾 de ℝ3 tal que [𝑇]𝛽
𝛼 = [
1 0
0 0
0 1
] 
 
 
Soluções: 
 
1) Um dele é 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0, 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧). 
2) Uma delas é 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑧, 𝑦). 
3) Uma dela é 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦, 3𝑥, −𝑥 + 𝑦, 2𝑥 − 𝑦). 
4) [
−2 −3 0
3 3 2
] 
5) [
3 0
5 2
−3 3
] e [
−3 3
2 5
−2 −2
] 
6) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (8𝑥 + 18𝑦, 6𝑥 + 11𝑦, −2𝑥 − 4𝑦) 
[𝑇] = [
8 18
6 11
−2 4
] 
8) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (
𝑥−𝑦
2
,
𝑥−𝑦
2
, 2𝑥 + 𝑦) 
 
Referências 
 
■ BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra linear. 3.ed. ampl. e rev. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1980. 411p. 
■ STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1995. 583p