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Álgebra Linear Espaço Vetorial - exercícios Álgebra Linear Espaço Vetorial - exercícios Prof. André Tiba akot@cin.ufpe.br Baia 65, ramais: 4765 ou 4338 1 exercício 1 Sejam os vetores v1 = (1,2,3), v2 = (0,1,2) e v3 = (0,0,1). a) Mostre que = {v1, v2, v3} forma uma base do R3. b) Determine o vetor-coordenada de u = (5,4,2) em relação a . c) Determine o vetor w R3, cujo vetor-coordenada em relação a vale . 4 3 2 w 2 Sejam os vetores v1 = (1,2,3), v2 = (0,1,2) e v3 = (0,0,1). a) Mostre que = {v1, v2, v3} forma uma base do R3. b) Determine o vetor-coordenada de u = (5,4,2) em relação a . c) Determine o vetor w R3, cujo vetor-coordenada em relação a vale . Letra a) Para mostrar que é uma base, precisamos mostrar que: (i) v1, v2 e v3 são LI (ii) conseguimos representar qualquer vetor u = (x,y,z) como combinação linear de v1, v2 e v3. 4 3 2 w exercício 1 (continuação) v1, v2, v3 são LI, se e somente se, a1v1+ a2v2,+ a3v3= 0 implica em a1 = a2 = a3 = 0 a1(1,2,3) + a2(0,1,2) + a3(0,0,1) = (0,0,0) a1 + 0a2 + 0a3 = 0 2a1 + a2 + 0a3 = 0 3a1 + 2a2 + a3 = 0 a1 = 0 a2 = 0 a3 = 0 v1, v2, e v3são LI 3 a1 + 0a2 + 0a3 = 0 2a1 + a2 + 0a3 = 0 3a1 + 2a2 + a3 = 0 a1 = 0 a2 = 0 a3 = 0 v1, v2, e v3são LI u = (x,y,z) = a(1,2,3) + b(0,1,2) + c(0,0,1) a = x 2a + b = y 3a + 2b + c = z a = x b = – 2x + y c = x + 2y + z Portanto, qualquer vetor u pode ser representado por uma combinação linear de v1, v2, e v3 . exercício 1 (continuação) Letra b) Devemos encontrar escalares a1, a2 e a3 tal que: a1(1,2,3) + a2(0,1,2) + a3(0,0,1) = (5,4,2) = u a1 + 0a2 + 0a3 = 5 2a1 + a2 + 0a3 = 4 3a1 + 2a2 + a3 = 2 a1 = 5 a2 = 6 a3 = 1 [u] = 5 6 1 4 a1 + 0a2 + 0a3 = 5 2a1 + a2 + 0a3 = 4 3a1 + 2a2 + a3 = 2 a1 = 5 a2 = 6 a3 = 1 5 6 1 Letra c) [w] = 2 3 4 w = 2(1,2,3) 3(0,1,2) + 4(0,0,1) = (2, 4 3, 6 6 + 4) = (2,1,4) exercício 2 Mostre se: a) U = {(x, y, z, t) R4: 2x + y – t = 0 e z = 0} é subespaço vetorial de R4; b) é subespaço vetorial de M(2,2). c) U = {(x, x+3) : x R} é subespaço vetorial de R2. d) U = {(x, 2x, 3x) : x R} é subespaço vetorial de R3. 1e,,,com, cbdcbadc baU 5 Mostre se: a) U = {(x, y, z, t) R4: 2x + y – t = 0 e z = 0} é subespaço vetorial de R4; b) é subespaço vetorial de M(2,2). c) U = {(x, x+3) : x R} é subespaço vetorial de R2. d) U = {(x, 2x, 3x) : x R} é subespaço vetorial de R3. 1e,,,com, cbdcbadc baU exercício 2 (continuação) Para que U seja subespaço de W, devemos mostrar que: (i) dados u1 e u2 U, então u1 + u2 U (ii) dados u1 U e k R com k 0, então ku1 U 6 Para que U seja subespaço de W, devemos mostrar que: (i) dados u1 e u2 U, então u1 + u2 U (ii) dados u1 U e k R com k 0, então ku1 U exercício 2 (continuação) Letra a) U = {(x, y, z, t) R4: 2x + y – t = 0 e z = 0} é subespaço vetorial de R4? v = (x, y, 0, 2x + y) U 7 Sejam u1 = (x1, y1, 0, 2x1 + y1), u2 = (x2, y2, 0, 2x2 + y1), e k R, k 0. u1 + u2 = (x1 + x2 , y1 + y2 , 0, 2x1 + y1 + 2x2 + y2 ) u1 + u2 = (x3 , y3, 0, 2(x1 + x2) + (y1+ y2) ) u1 + u2 = (x3 , y3, 0, 2x3 + y3) = u3 onde x3 = x1 + x2 e y3 = y1 + y2 Observe que u3 U, portanto u1 + u2 U. exercício 2 (continuação) xv= kx1 e yv= ky1 ku1 = (kx1, ky1, k0, k2x1 + ky1) ku1 = (kx1, ky1, 0, k(2x1 + y1) ) = (xv, yv, 0, 2xv + yv) = v onde Como v U, então ku1 U. 8 Portanto U é um subespaço vetorial de R4. Letra b) é subespaço vetorial de M(2,2)? 1e,,,com, cbdcbadc baU exercício 2 (continuação) Sejam u1 e u2 U e k R, k 0, onde: 1 11 11 1 dc cau 1 22 22 2 dc cau Udc ca 1v 9 1 11 11 1 dc cau 1 22 22 2 dc cau 11 2121 2121 21 ddcc ccaauu 3 33 33 21 2 uuu dc ca mas u3 U, portanto U não é subespaço vetorial de M(2,2). exercício 2 (continuação) Letra c) U = {(x, x+3): x R} é subespaço vetorial de R2? Sejam u1 = (x1, y1+ 3), u2 = (x2, y2 + 3), e k R, k 0. u1 + u2 = (x1 + x2 , y1 + 3 + y2 + 3) u1 + u2 = (x3 , y3 + 6) = u3 onde x3 = x1 + x2 e y3 = y1 + y2 10 u1 + u2 = (x3 , y3 + 6) = u3 onde x3 = x1 + x2 e y3 = y1 + y2 Observe que u3 U, portanto u1+ u2 U. Dessa forma U não é subespaço vetorial de R2. exercício 2 (continuação) Letra d) U = {(x, 2x, 3x): x R} é subespaço vetorial de R3? Sejam u1 = (x, 2x, 3x), u2 = (y, 2y , 3y), e k R, k 0. u1 + u2 = (x+y , 2x+2y, 3x+3y) = (x+y , 2(x+y), 3(x+y)) u1 + u2 = (z , 2z, 3z) = u3 onde x + y = z 11 u1 + u2 = (z , 2z, 3z) = u3 onde x + y = z Como u3 U, então u1 + u2 U. ku1 = (kx, 2kx, 3kx) = (t, 2t, 3t) = v onde kx = t Como v U, então ku1 U. Portanto U é um subespaço vetorial de R3. exercício 3 Sejam os vetores v1 = (a,b) e v2 = (c,d) mostre que se ad = bc, então [v1 v2] são LD e que se ad bc, então [v1 v2] são LI. v1+ v2 = 0 onde e são constantes reais (a,b) + (c,d) = (0,0) (a + c, b + d) = (0,0) a = c d b 12 (a + c, b + d) = (0,0) a = cb = d o sistema é LD se 0 e/ou 0 d b se ad = bc , então d bca cbda como não é explicitamente zero, então [v1 v2] é LD. exercício 3 (continuação) do item anterior sabemos que: o sistema é LI se ad bc e = = 0 cbda mas ad bc, portanto da = cd se e somente se = 0 se = 0, então como c = a = 0 13 se = 0, então como c = a = 0 Neste caso [v1 v2] é LI. exercício 4 Calcule o [x] para cada uma das bases abaixo: a) x = (3,2) e = {v1 = (1,1), v2 = (-1,2)}; b) x = (2,-3,1) e = {v1 = (0,1,1), v2 = (-1,0,1), v3 = (1,1,0)}; c) 14 Calcule o [x] para cada uma das bases abaixo: a) x = (3,2) e = {v1 = (1,1), v2 = (-1,2)}; b) x = (2,-3,1) e = {v1 = (0,1,1), v2 = (-1,0,1), v3 = (1,1,0)}; c) 10 10,01 11,00 11,10 01,10 21 4321 vvvvx exercício 4 (continuação) Letra a) Assuma que o vetor x possa ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . x = (3,2) = a1v1 + a2v2 = a1(1,1) + a2(1,2) (3,2) = (a1 a2, a1 +2a2) 15 (3,2) = (a1 a2, a1 +2a2) 3 = a1 a22 = a1 +2a2 1 = 3a2 a2 = 1/3a1 = 8/3 [x] = 8/31/3 exercício 4 (continuação) Letra b) a1 a2 + a3= 2a1 +a3 = 3a1 +a2 = 1 x = (2,3,1) = a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(1,1,0) (2,3,1) = (a1 a2+ a3, a1+ a3, a1+ a2) 1 3 2 011 101 111 16 a1 a2 + a3= 2a1 +a3 = 3a1 +a2 = 1 1 3 2 011 101 111 L3 = L3 – L1 L2 = L2 – L1 1 5 2 120 010 111 L3 = L3 – 2L2 L1 = L1 + L2 9 5 3 100 010 101 L3 = – L3 exercício 4 (continuação) Letra b) L1 = L1 – L3 9 5 3 100 010 101 9 5 6 100 010 001 17 x = (2,3,1) = 6(1,1,1) 5(1,0,1) + 9(1,1,0) [x] = 6 5 9 exercício 4 (continuação) Letra c) 10 10 01 11 00 11 10 01 11 21 4321 aaaax 413 432321 11 21 aaa aaaaaa 18 a1+ a2 + a3= 1a2 + a3+ a4= 2a3 = 1a1 + a4= 1 413432321 11 21 aaa aaaaaa 1 1 2 1 1001 0100 1110 0111 L4 = L4 – L1 exercício 4 (continuação) Letra c) L1 = L1 – L2 0 1 2 1 1110 0100 1110 0111 L4 = L4 + L2 2 1 2 1 2000 0100 1110 1001 L4 = L4/2 1 1 3 1 1000 0100 1010 1001 L1 = L1 + L4 1 1 2 0 1000 0100 0010 0001 L2 = L2 L3 19 L2 = L2 – L4 1 1 3 1 1000 0100 1010 1001 L1 = L1 + L4 1 1 2 0 1000 0100 0010 0001 1 1 2 0 x 10 10101 11100 11210 01011 21x exercício 5 Sejam as bases = {v1 = (2,1), v2 = (3,4)}, ’ = {e1 = (1,0), e2 = (0,1)} e = {u1 = (1,1), u2 = ( 1,1)} do R2. Calcule: a) Amatriz de mudança de base de para ’ . b) Amatriz de mudança de base de ’ para . c) Amatriz de mudança de base de para . d) Para o vetor v = (2, 4), qual é o seu vetor de coordenadas na bases e , ou seja [v] e [v] . 'I 'I 20 Sejam as bases = {v1 = (2,1), v2 = (3,4)}, ’ = {e1 = (1,0), e2 = (0,1)} e = {u1 = (1,1), u2 = ( 1,1)} do R2. Calcule: a) Amatriz de mudança de base de para ’ . b) Amatriz de mudança de base de ’ para . c) Amatriz de mudança de base de para . d) Para o vetor v = (2, 4), qual é o seu vetor de coordenadas na bases e , ou seja [v] e [v] . 'I I exercício 5 (continuação) Letra a) Vamos escrever os vetores e1 e e2 da base ’ como combinaçõeslineares dos vetores v1 e v2 da base . e1 = (1, 0) = a1v1 + b1v2 = a1(2, 1) + b1(3,4) (2a1+ 3b1 , a1 + 4b1) = (1, 0) 21 0 1 41 32 1 1 b a a1 = 4/11b1 = 1/11 e2 = (0, 1) = a2v1 + b2v2 = a2(2, 1) + b2(3,4) (2a2+ 3b2 , a2 + 4b2) = (0, 1) 1 0 41 32 2 2 b a a2 = 3/11b2 = 2/11 exercício 5 (continuação) Então, 212 211 11 2 11 3 11 1 11 4 vve vve As linhas tornam-se colunas ! 11 2 11 1 11 3 11 4 ][ 'I 22 Letra b) Solução 1: idéia análoga ao do item a), mas agora vamos escrever os vetores v1 e v2 da base como combinações lineares dos vetorese1 e e2 da base ’. Pode ser feito por duas maneiras. exercício 5 (continuação) v1 = (2, 1) = a1e1 + b1e2 = a1(1, 0) + b1(0, 1) (a1, b1) = (2, 1) a1 = 2b1 = 1 v2 = (3, 4) = a2e1 + b2e2 = a2(1, 0) + b2(0, 1) a2 = 3 23 (a2, b2) = (3, 4) a2 = 3 b2 = 4 Então, 212 211 43 12 eev eev As linhas tornam-se colunas ! 41 32][ 'I exercício 5 (continuação) Solução 2: um teorema relaciona as matrizes e :'][ I '][I 1'' ][][ II ou 1'' ][][ II Do item a), tem-se que: 24 11 2 11 1 11 3 11 4 ][ 'I 1'' ][][ II 10 0111/211/1 11/311/4 L1 = (11/4)L1L2 = 11L2 110 04/11 21 4/31 L2 = L2 L1 114/11 04/11 4/110 4/31 L2 = (4/11)L2 exercício 5 (continuação) Letra c) 41 04/11 10 4/31 L1 = L1+ (3/4)L2 41 32 10 01 41 32][ 'I 25 Letra c) Escrever os vetores u1 e u2 da base como combinações linearesdos vetores v1 e v2 da base . v1 = (2, 1) = a1u1 + b1u2 = a1(1, 1) + b1(1, 1) (a1 b1, a1+ b1) = (2, 1) a1 = 1/2b1 = 3/2 exercício 5 (continuação) v2 = (3, 4) = a2u1 + b2u2 = a2(1, 1) + b2( 1, 1) (a1 b1, a1+ b1) = (3, 4) a2 = 7/2 b2 = 1/2 Então, 212 211 2 1 2 7 2 3 2 1 uuv uuv 26 212 211 2 1 2 7 2 3 2 1 uuv uuv As linhas tornam-se colunas ! 2/12/3 2/7/21][ 'I exercício 5 (continuação) Letra d) v = (2, 4) [v]’ = 24 11/6 11/20 4 2 11/211/1 11/311/4][][][ '' vIv 27 v = (2, 4) = 20/11(2, 1) 6/11(3,4) = (22/11, 44/11) = (2, 4) 3 1 11/6 11/20 2/12/3 2/72/1][][][ vIv v = (2, 4) = 1(1, 1) 3(1,1) = (2, 4) exercício 6 Verifique se os conjuntos abaixo formam uma base. Em caso negativo, inclua ou exclua o número de elementos necessários de maneira a formar uma base. a) = {v1 = (1,0), v2 = (2,1), v3 = (1,1), v4 = (1,3)}, base do R2. b) = {v1 = (1,1,0), v2 = (2,1,1), v3 = (1,1,1)}, base do R3. c) = base de M(2,2). 28 Verifique se os conjuntos abaixo formam uma base. Em caso negativo, inclua ou exclua o número de elementos necessários de maneira a formar uma base. a) = {v1 = (1,0), v2 = (2,1), v3 = (1,1), v4 = (1,3)}, base do R2. b) = {v1 = (1,1,0), v2 = (2,1,1), v3 = (1,1,1)}, base do R3. c) = base de M(2,2). 11 11,00 11,12 01 321 vvv exercício 6 (continuação) Para que um conjunto de vetores seja uma base, ele deve satisfazer duas condições: i. Devem ser LI; ii. [v1, v2, ..., vn ] = V, ou seja, deve ser capaz de gerar qualquer outro vetor de V por combinação linear. 29 Para que um conjunto de vetores seja uma base, ele deve satisfazer duas condições: i. Devem ser LI; ii. [v1, v2, ..., vn ] = V, ou seja, deve ser capaz de gerar qualquer outro vetor de V por combinação linear. Letra a) = {v1 = (1,0), v2 = (2,1), v3 = (1,1), v4 = (1,3)}. Este conjunto deve ser LD pois é composto por 4 vetores, e uma base do R2, precisa de dois vetores apenas (mesmo número que a dimensão de R2). Vamos mostrar explicitamente que o sistema é LD e em seguida selecionar os vetores que formarão uma base do R2. exercício 6 (continuação) O conjunto será LI se a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0 implicar explicitamente em a1 = a2 = a3 = a4 = 0. a1(1, 0) + a2(2, 1) + a3 (1, 1) + a4 (1, 3) = (0, 0) (a1 + 2a2 + a3 + a4, a2 + a3 + 3a4) = (0, 0) 30 a1 + 2a2 + a3 + a4= 0 a2 + a3 + 3a4 = 0 conjunto LD, como esperado Para escolher quais vetores formarão a base, devemos escolher dois vetores e testar as propriedades i) e ii). Vamos fazer o teste para os vetores v1 e v4. Veja que esta escolha foi ao acaso, poderíamos ter escolhido qualquer outro par de vetores. exercício 6 (continuação) a(1, 0) + b (1, 3) = (0, 0) (a + b, a + 3b) = (0, 0) a + b= 0 a + 3b = 0 a = b a = 3b se e somente se a = b = 0 Portanto {v1,v4} é LI Seja um vetor qualquer do R2 v = (x,y), v pode ser escrito como combinação linear de v1 e v4, em outras palavras, [v1 v4] = R2 ? 31 Seja um vetor qualquer do R2 v = (x,y), v pode ser escrito como combinação linear de v1 e v4, em outras palavras, [v1 v4] = R2 ? a(1, 0) + b (1, 3) = (x, y) = v ( a + b, 3b) = (x, y) b = y/3 a = y/3 x x , y R Assim, [v1 v4] = R2 e portanto{v1,v4} éuma base do R2. Observe que {v1,v4} nãoé a única base possível, teste por exemplo {v1,v2} ou {v3,v2} e verifique que ambostambém são bases do R2. exercício 6 (continuação) Letra b) av1 + bv2 + cv3= 0 (1,1,0), v2 = (2,1,1), v3 = (1,1,1)}. a(1,1,0) + b(2,1,1) + c (1,1,1) = (0,0,0) ( a+2b + c, a + b + c, b + c) = (0,0,0) 32 0 0 0 110 111 121 c b a 0 0 0 121 110 111 L3 = L3 + L1 L1 = L1 L2 0 0 0 230 110 111 L3 = L3 3L2 0 0 0 100 110 001 L3 = L3 exercício 6 (continuação) {v1, v2, v3} é LI L2 = L2 L3 0 0 0 100 110 001 0 0 0 100 010 001 a = b = c = 0 Seja um vetor qualquer do R3 v = (x, y, z), v pode ser escrito como combinação linear de v1, v2 e v3, em outras palavras, [v1 v2 v3] = R3 ? 33 a(1,1,0) + b(2,1,1) + c (1,1,1) = (x, y, z) ( a+2b + c, a + b + c, b + c) = (x, y, z) av1 + bv2 + cv3= (x, y, z) Seja um vetor qualquer do R3 v = (x, y, z), v pode ser escrito como combinação linear de v1, v2 e v3, em outras palavras, [v1 v2 v3] = R3 ? z y x c b a 110 111 121 z y x 121 110 111 L3 = L3 + L1 exercício 6 (continuação) L1 = L1 L2 xz y x 230 110 111 L2 = L2 L3 yxz y yx 3100 110 001 L3 = L3 yxz y yx 3)(100 110 001 yxz yxz yx 3)( )2( 100 010 001 34 [v1 v2 v3] = R3 a = x y b= (x+2y+z) c = (x 3y+z) Portanto = {v1 = (1,1,0), v2 = (2,1,1), v3 = (1,1,1)}, base do R3. L2 = L2 L3 yxz y yx 3)(100 110 001 yxz yxz yx 3)( )2( 100 010 001 x, y, z R exercício 6 (continuação) Letra c) av1 + bv2 + cv3= 0 00 00 11 11 00 11 12 01 cba 00 00 2 caca cbcba a = b c b = c c = 2a c = a 35 00 00 2 caca cbcba a = b c b = c c = 2a c = a a = b = c = 0 é LI tz yxcba 11 11 00 11 12 01 x, y, z, t R 33 11 tz yxSuponha exercício 6 (continuação) a = 2 c = 1 b = 2 33 11 2 caca cbcba 33 11 33 11 )1(2122 1)2(122 Portanto [v1 v2 v3] M(2,2) = {v1, v2,v3} não é base de M(2,2). 36 Portanto [v1 v2 v3] M(2,2) = {v1, v2,v3} não é base de M(2,2). Seja . Vamos inserir v4 no conjunto e verificaremos se agora forma uma base de M(2,2). 01 00 4v av1 + bv2 + cv3 + dv4= 0 00 00 10 00 11 11 00 11 12 01 dcba exercício 6 (continuação) 00 00 2 dcaca cbcba 0 0 0 0 1101 0102 0110 0111 d c b a 0 0 0 0 1101 0102 0110 0111 L3 = L3 2L1 37 0 0 0 0 1101 0102 0110 0111 d c b a 0 0 0 0 1101 0102 0110 0111 L3 = L3 2L1 L4 = L4 L1 0 0 0 0 1210 0120 0110 0111 L2 = L2 0 0 0 0 1210 0120 0110 0111 L3 = L3 + 2L2 L4 = L4 + L2 L1 = L1 L2 exercício 6 (continuação) L1 = L1 2L3 L4 = L4 + 3L3 L3 = L3 /3 0 0 0 0 1300 0300 0110 0201 0 0 0 0 1300 0100 0110 0201 L2 = L2 + L3 38 L4 = L4 + 3L3 0 0 0 0 1300 0300 0110 0201 0 0 0 0 1300 0100 0110 0201 0 0 0 0 1000 0100 0010 0001 {v1, v2, v3, v4} é LI a = b = c = d = 0 exercício 6 (continuação) Seja v um vetor qualquer de M(2,2), deve-se verificar se pode ser representado por = {v1, v2, v3, v4} . tz yxdcba 10 00 11 11 00 11 12 01 x, y, z, t R tz yx dcaca cbcba 2 39 tz yx dcaca cbcba 2 t z y x d c b a 1101 0102 0110 0111 t z y x 1101 0102 0110 0111 L3 = L3 2L1 L4 = L4 L1 exercício 6 (continuação) xt xz y x 2 1210 0120 0110 0111 L2 = L2 xt xz y x 2 1210 0120 0110 0111 L3 = L3 + 2L2 L4 = L4 + L2 L1 = L1 L2 40 L3 = L3 /3 yxt yxz y yx 22 1300 0300 0110 0201 yxt yxz y yx 3/)22( 1300 0100 0110 0201 L1 = L1 2L3 L4 = L4 + 3L3 L2 = L2 + L3 exercício 6 (continuação) tzyx zyx zyx zyx 3/)22( 3/)2( 3/)2( 1000 0100 0010 0001 tz yx 33 11v 00 113/)3112(12 013/)3211(v 41 00 113/)3112(12 013/)3211(v 33 11 10 00)3311(11 113/)31212( Como = {v1, v2, v3, v4} é LI, e [v1 v2 v3 v4] = M(2,2), então é uma base de M(2,2). exercício 7 Se ache a) [v] onde b) [v]’ onde 1 1 2 'v 102 012 003 ' I 42 Se ache a) [v] onde b) [v]’ onde 1 1 2 'v 2 1 1 v exercício 7 Letra a) 5 3 6 1 1 2 102 012 003 ' ' vIv Letra b) 43 Letra b) 1'' II 100 010 001 102 012 003 L1 = L1/3 L2 = L2 2L1 100 010 003/1 102 012 001 L2 = L2 2L1 exercício 7 103/2 013/2 003/1 100 010 001 103/2 013/2 003/1 ][ 'I 44 3/1 3/7 3/2 1 1 2 103/2 013/2 003/1 '' vIv
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