Análise Real - Livro Texto Unidade III

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Unidade III
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3 SÉRIES NUMÉRICAS INFINITAS
3.1 Introdução
Comecemos tomando uma sequência an. Se somarmos todos 
os termos dessa sequência, obtemos o seguinte:
a1 + a2 + ... + an + ...
Essa soma infinita é chamada de série infinita ou 
simplesmente série, e sua notação é an
n=
∞
∑
1
 ou simplesmente 
an∑ ; subentende-se que se inicia do número 1.
O nosso objetivo é responder quando uma soma desse tipo 
faz sentido, ou seja, quando existe essa soma infinita.
Exemplos
1) n n∑ = + + + + +1 2 3 ... ... , obviamente essa soma não 
existe, pois quanto mais termos adicionarmos, maior será sua 
soma.
2) No entanto, considere um pedaço de barbante de 1 m de 
comprimento. Digamos que cortamos esse barbante ao meio, 
guardamos uma das metades e a outra repartimos novamente 
ao meio, guardando uma de suas metades e fazendo o processo 
novamente. Se fosse possível fazer esse processo indefinidamente, 
teríamos que a soma dos pedaços guardados seria igual a:
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+ + + + +... ...n
Ora, mas é óbvio que essa soma infinita produziria o metro 
de barbante inicial, isto é:
1
2
1n =∑
3.2 Convergência de séries
Dada uma an∑ , definimos as somas parciais dessa série 
por:
s a
s a a
s a a a
s a a an n
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2
=
= +
= + +
= + + +


...
Podemos observar que as somas parciais de uma série 
constituem uma sequência.
3.2.1 Definição
Dada uma an∑ , se a sequência (sn) de suas somas parciais 
for convergente, isto é, lims sn = um número real, então a série 
an∑ é dita convergente e a sn∑ = .
Exemplos
3) Vamos estudar o comportamento da série 
1
1n n( )+∑ . 
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Tomando a soma parcial de ordem n dessa série, temos:
s
j j j jn j
n
j
n
=
+
= −
+




= −

 + −



 += =
∑ ∑1 1
1 1
1
1
1
2
1
2
1
31 1( )
....+ −
+



 = − +
1 1
1
1
1
1n n n
Assim, lim lims
nn
= −
+



 =1
1
1
1.
Portanto, 
1
1
1
n n( )+
=∑ é uma série convergente.
4) Uma série importante no estudo dessa teoria é a chamada 
série harmônica, 
1
n∑ . Vamos estudar seu comportamento.
Consideremos a seguinte subsequência da sequência de 
somas parciais:
s
s
s
s
1
2
4
8
1
1
1
2
1
1
2
1
3
1
4
1
1
4
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1
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2
1
=
= +
= + + +

 > + +



 = +
= + +
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1
8
1
8
1
8
+

 + + + +



 > + + +



 + + + +



 = +
> +
> +
> +
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Essa subsequência é divergente, isto é, lims n2
= ∞ . Logo, a 
sequência de somas parciais Sn também é divergente. Ou seja, 
não existe
1
n∑ , esta é uma série divergente.
3.2.2 Teorema
Se an∑ for convergente, então lim a an = 0.
Demonstração: temos que Sn = a1 + a2 + ... + an. Portanto, 
an = Sn + Sn-1.
Como an∑ é convergente, a sequência (Sn) é convergente, 
digamos limS Sn = . Mas limS Sn− =1 também, logo:
lim lim( ) lim lima S S s S S Sn n n n n= − = − = − =− −1 1 0.
Obs.: a recíproca desse teorema não é verdadeira, de fato 
temos que
1
n∑ é divergente e lim
1
0
n
= .
O que sempre vale é o seguinte:
3.2.3 Teorema
Teste da divergência. Se liman ≠ 0 ou não existir, então a 
série an∑ é divergente.
A demonstração desse fato foi feita no teorema anterior, já 
que esse nada mais é do que a contrapositiva daquele.
Exemplo
5) Vamos mostrar que a série 3
1
2
2
n
n +∑ é divergente.
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Temos que lim 3
1
2
2
n
n +∑ = 3 ≠ 0. Logo, pelo teorema anterior, 
3
1
2
2
n
n +∑ é divergente.
3.2.4 Teorema
Se a e bn n∑ ∑ forem ambas séries convergentes, então 
também são convergentes as séries can∑ , c constante, 
( )a bn n∑ + e ( )a bn n∑ − , e ainda tem-se que:
 
i ca c a
ii a b a b
iii a b a b
n n
n n n n
n n n n
) ;
) ( ) ;
) ( ) .
∑ ∑
∑ ∑∑
∑ ∑∑
=
+ = +
− = −
Exemplo
6) Vamos calcular, se possível, a soma da série 
5
1
1
2n n n( )+
+

∑ .
Utilizando as propriedades anteriores, e sabendo de antemão 
que 
1
1
1
1
2
1
n n
e n( )+
= =∑ ∑ , temos:
5
1
1
2
5
1
1
1
2
5 1 1 6
n n n nn h( ) ( )
.
+
+

 = +
+ = + =∑ ∑∑ .
Obs.: um número finito de termos não afeta a convergência 
(ou divergência) de uma série, isto é, se uma dada série for 
convergente (divergente), se adicionarmos (ou subtrairmos) 
um número finito de termos, a série resultante continuará 
convergente (divergente).
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3.3 Exercícios
1. Dada a série 
n
n
2
2
1
1
−
+∑ , as cinco primeiras parcelas desta 
soma infinita são dadas pela expressão:
a) 1
3
5
8
10
15
17
17
19
+ + + +
b) 0
3
5
8
10
15
17
17
19
+ + + +
c) 0
3
5
8
10
15
17
12
13
+ + + +
d) 1
3
5
8
10
15
17
12
13
+ + + +
e) 0
3
5
8
10
15
17
25
27
+ + + +
2. Uma série é convergente se:
a) A sequência de suas somas parciais for convergente
b) A sequência de suas somas parciais for divergente
c) A sequência de suas somas parciais for ilimitada
d) A sequência de suas somas parciais for, pelo menos, 
limitada inferiormente
e) A sequência de suas somas parciais for, pelo menos, 
limitada superiormente
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3. A série harmônica 
1
n∑ é:
a) Convergente e sua soma é igual a 2
b) Convergente e sua soma é igual a 1
c) Convergente e sua soma é igual a 1/3
d) Convergente e sua soma é igual a 1/2
e) Divergente
4. A série 
1
1 2( )( )n n+ +∑ é:
a) Convergente e sua soma é igual a 2b) Convergente e sua soma é igual a 1
c) Convergente e sua soma é igual a 1/2
d) Convergente e sua soma é igual a 1/3
e) Divergente
5. Considere a proposição: Se uma série an∑ é convergente, 
então lim an=0. Essa proposição é:
a) Sempre verdadeira
b) Sempre falsa
c) Verdadeira somente se (an) for decrescente
d) Verdadeira somente se (an) for crescente
e) Verdadeira somente se (an) for limitada
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6. Assinale a alternativa verdadeira:
a) Se uma série an∑ é divergente, então lim an = 0
b) Se uma série an∑ é convergente, então lim an > 0
c) Se uma série an∑ é convergente, então lim an < 0
d) Se uma série an∑ é tal que lim an ≠ 0, então essa série é 
divergente
e) Se uma série an∑ é convergente, então lim an não 
existe.
7. A série dada por 
n n n n
n n
4 3 2
4 3
2 4 10
5 1
− + − +
+ −∑ é:
a) Convergente e sua soma vale 3
b) Convergente e sua soma vale 2
c) Convergente e sua soma vale 1
d) Convergente e sua soma vale 1/5
e) Divergente
8. Dada an∑ e sabendo–se que lim an = 0, pode-se concluir 
que a série em questão é:
a) Convergente
b) Divergente
c) Convergente somente se for uma série de termos positivos
d) Divergente somente se for uma série de termos negativos
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e) Não se pode concluir nada
9. Dadas an∑ e bn∑ , assinale a alternativa verdadeira:
a) ( )a b a bn n n n+ = +∑∑∑ , se an∑ for convergente
b) ( )a b a bn n n n+ = +∑∑∑ , se an∑ for divergente
c) ( )a b a bn n n n+ = +∑∑∑ , se bn∑ for convergente
d) ( )a b a bn n n n+ = +∑∑∑ , se bn∑ for divergente
e) ( )a b a bn n n n+ = +∑∑∑ , se an∑ e bn∑ forem 
convergentes.
10. Sobre a série 3
1 2
5
2 1( )( )n n n+ +
+


+∑ , podemos afirmar que:
a) É convergente e sua soma é igual a 4
b) É convergente e sua soma é igual a 8
c) É convergente e sua soma é igual a 8/2
d) É convergente e sua soma é igual a 13/2
e) Divergente
Resolução dos exercícios
1. A alternativa correta é a C.
Basta fazer n = 1, 2, 3, 4, 5 na expressão do termo geral da 
série (um de cada vez).
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1 1
1 1
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2
0
2 1
2 1
4 1
4 1
3
5
3 1
3 1
9
= −
+
= −
+
= =
= −
+
= −
+
=
= −
+
= −11
9 1
8
10
4 1
4 1
16 1
16 1
15
17
5 1
5 1
25 1
25 1
24
2
4
2
2
5
2
2
+
=
= −
+
= −
+
=
= −
+
= −
+
=
a
a
66
12
13
=
Segue que a série resulta em: 0
3
5
8
10
15
17
12
13
+ + + +
Estude bem os procedimentos deste exercício!
2. A alternativa correta é a A.
Conforme a teoria apresentada no item 3.2.1 Definição do 
livro-texto. Estude-o com aplicação!
Definição: dada uma an∑ , se a sequência (sn) de suas 
somas parciais for convergente, isto é, lims sn = um número 
real, então a série an∑ é dita convergente e a sn∑ = .
Em síntese: dada uma série qualquer, se a sequência 
de suas somas parciais for convergente , então a série é 
convergente.
3. A alternativa correta é a E.
Conforme exemplo 4) do item 3.2.1 Definição do livro-texto. 
Estude-o com dedicação!
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Veja e analise a tabela a seguir. Veja que embora an tende a 
zero, a série será sempre crescente e ilimitada. Logo, a série será 
divergente.
n an=1/n série
1 1 1
2 0,5 1,5
3 0,3333 1,8333
4 0,25 2,0833
5 0,2 2,2833
6 0,1667 2,45
7 0,1429 2,5929
8 0,125 2,7179
9 0,1111 2,829
10 0,1 2,929
11 0,0909 3,0199
12 0,0833 3,1032
13 0,0769 3,1801
14 0,0714 3,2516
15 0,0667 3,3182
16 0,0625 3,3807
4. A alternativa correta é a C. Convergente e sua soma é 
igual a 1/2
Dada a série 
1
1 2( )( )n n+ +∑ , vamos primeiro desenvolver 
o termo geral em frações parciais, então temos:
Fazendo m.m.c.:
1
1 2 1 2( ) * ( )n n
A
n
B
n+ +
=
+
+
+
 
1
1 2
2 1
1 2( ) * ( )
( ) ( )
( ) * ( )n n
A n B n
n n+ +
= + + +
+ +
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Fazendo a distributiva:
1
1 2
2
1 2( ) * ( ) ( ) * ( )n n
An A Bn B
n n+ +
= + + +
+ +
Agrupando quem tem n e os termos independentes:
0 1
1 2
2
1 2
n
n n
A B n A B
n n
+
+ +
= + + +
+ +( ) * ( )
( ) ( )
( ) * ( )
Aplicando a igualdade, respeitando o grau de n na 
comparação:
0 1 2
0 0
2 1
n A B n A B
A B n n A B A B
A B substituin
+ = + + + ⇒
⇒
+ = ⇒ + = ⇒ = −
+ =
( ) ( )
( )
( ) ddo A B B B B B
segue que A A e B
= − ⇒ − + = ⇒ − = ⇒ = −
= − − ⇒ = = −




∴
2 1 1 1
1 1 1
1
( )
( )
(( ) * ( )n n n n+ +
=
+
+ −
+1 2
1
1
1
2
Portanto:
1
1 2
1
1
1
2
1
1
1
21
( ) * ( )
:
n n n n
segue que
S
n nn
+ +
=
+
+ −
+




=
+
+ −
+


∑ ∑
−

 =
= + −

 + − + −



 +
=
−
∑
i
n
n
a a
S
1
1
1 2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
4
     
−− + −

 + + − + − +













−
1
5
1 1
1
3 1a an
n n
  

  

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S
n n
= + − +

 + − +



 + − +



 + + − +




1
2
1
3
1
3
1
4
1
4
1
5
1
5
1 1





= + + + + =S 1
2
0 0 0 0
1
2

Estude bem os procedimentos deste exercício!
5. A alternativa correta é a A.
A proposição é verdadeira: se uma série an∑ é convergente, 
então lim an = 0. Veja o Teorema 3.2.2 do livro-texto e 
estude-o!
Teorema: se an∑ for convergente, então lim an= 0.
Demonstração: temos que Sn = a1 + a2 + ... +an. Portanto, 
an = Sn + Sn-1.
Como an∑ é convergente, a sequência (Sn) é convergente, 
digamos limS Sn = . Mas limS Sn− =1 também, logo:
lim lim( ) lim lima S S s S S Sn n n n n= − = − = − =− −1 1 0 .
Observação importante: a recíproca desse teorema não é 
verdadeira. A recíproca seria: se lim an = 0 então, a série an∑ 
é convergente. Isso é falso!!!!!!!
6. A alternativa correta é a D.
Se uma série an∑ é tal que liman ≠ 0 ou não existe, então 
essa série é divergente.
Conforme o item 3.2.3 Teorema do livro-texto: (teste da 
divergência). Estude-ocom aplicação!
50
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 T
at
ia
ne
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
5/
03
/0
9 
 //
 2
ª R
ev
is
ão
: A
na
 M
ar
ia
 -
 C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
10
7. A alternativa correta é a E.
A série 
n n n n
n n
4 3 2
4 3
2 4 10
5 1
− + − +
+ −∑ tem termo geral 
a
n n n n
n n
n =
− + − +
+ −
4 3 2
4 3
2 4 10
5 1
 preparando para calcular o limite 
 
do termo geral.
a
n n n n
n
n n
n
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
− + − +
+ −
=
=
− + − +
4 3 2
4
4 3
4
4
4
3
4
2
4 4
2 4 10
5 1
2 4 10
1
nn
n
n
n
n n
a n n n n
n n
n
4
4
4
3
4 4
2 3 4
4
5
1
1 2
1 1
4
1
10
1
5
1 1
+ −
=
=
− + − +
+ −
Passando o limite em ambos os lados, temos:
lim lima n n n n
n n
n =
− + − +
+ −
1 2
1 1
4
1
10
1
5
1 1
2 3 4
4
Lembre-se, o limite de 
1
n
e suas potências é zero.
51
ANÁLISE REAL
Re
vi
sã
o:
 T
at
ia
ne
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
5/
03
/0
9 
 //
 2
ª R
ev
is
ão
: A
na
 M
ar
ia
 -
 C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
10
liman =
1
5
Sabendo que o limite do termo geral é diferente de zero 
(igual a 1/5), utilizando o teorema da divergência podemos 
concluir que se trata de uma série divergente.
Obs.: lembre-se de que se o limite for igual a zero não 
significa que a série é convergente, ou seja, não basta que o 
limite seja igual a zero para a série convergir.
Estude bem os procedimentos desse exercício!
8. A alternativa correta é a E.
Apenas com as informações do enunciado nada podemos 
concluir.
Sabemos que se o limite do termo geral é diferente de 
zero, pelo teorema da divergência podemos concluir que se 
trata de uma série divergente, porém, se o limite for igual 
a zero não significa que a série é convergente, ou seja, 
não basta que o limite seja igual a zero para a série 
convergir.
Estude o item 3.2.2 Teorema do livro-texto. Estude-o com 
aplicação!
9. A alternativa correta é a E.
Dadas an∑ e bn∑ , temos que ( ) ,a b a bn n n n+ = +∑∑∑
somente se an∑ e bn∑ forem convergentes.
Conforme o item 3.2.4 Teorema do livro-texto. Estude-o 
com aplicação!
52
Unidade III
Re
vi
sã
o:
 T
at
ia
ne
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
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io
 -
 0
5/
03
/0
9 
 //
 2
ª R
ev
is
ão
: A
na
 M
ar
ia
 -
 C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
10
Aqui vai o teorema novamente.
Teorema: se a e bn n∑ ∑ forem ambas séries convergentes, 
então também são convergentes as séries can∑ , c constante, 
( )a bn n∑ + e ( )a bn n∑ − , e ainda tem-se que:
 
i ca c a
ii a b a b
iii a b a b
n n
n n n n
n n n n
) ;
) ( ) ;
) ( ) .
∑ ∑
∑ ∑∑
∑ ∑∑
=
+ = +
− = −
10. A alternativa correta é a D.
Sobre a série 
3
1 2
5
2 1( )( )n n n+ +
+


+∑ , sabemos que:
Parte 1) 
Vamos mostrar que: 
3
1 2( )( )n n+ +∑ é convergente.
Veja por que:
Sabemos que 
1
1 2( )( )n n+ +∑ é convergente pelo exercício 
4 desta unidade e que
1
1 2
1
2( )( )n n+ +
=∑ ainda, sabemos que
ca c a quando a for convergente o
n n
converge e
n n n=
+ +
∑∑
∑
log
( )( ) (
3
1 2
3
nn n n n+ +
=
+ +
= =∑∑ 1 2 3
1
1 2
3
1
2
3
2)( )
*
( )( )
*
Parte 2) 
Vamos mostrar que: 
5
2 1n+
∑ também é convergente e qual 
seu resultado.
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ANÁLISE REAL
Re
vi
sã
o:
 T
at
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ne
 -
 D
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gr
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 0
5/
03
/0
9 
 //
 2
ª R
ev
is
ão
: A
na
 M
ar
ia
 -
 C
or
re
çã
o:
 M
ár
ci
o 
- 
14
/1
2/
10
Sabemos que 
1
2
1
5
2
5
1
2
5 1 5n n ne que∑ ∑ ∑= = = =*
Das partes (1) e (2) temos que:
3
1 2
5
2
3
1 2
5
2
3
2
5
3 10
2
1
1
1
( )( )
( )( )
n n
n n
n
n
+ +
+



=
=
+ +
+ = + = +
=
+
+
∑
∑∑
33
2
É convergente e sua soma é igual a 13/2.