Apêndice+1

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APÊNDICE
UNIDADE 1
Teoria de controle 
moderno II
U1 - Introdução e análise de sistemas em espaço de estados2
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
UNIDADE 1: Introdução e análise de sistemas em espaço de 
estados
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 1.1
1. Alternativa correta: C.
Resposta comentada: Vamos analisar item por item:
I. Um modelo matemático descrito por uma equação diferencial 
de ordem n pode ser representado em espaço de estados por um 
sistema de n equações diferenciais de primeira ordem.
Esse item está correto. Geralmente um sistema dinâmico é 
representado por uma equação diferencial de ordem n.
Para representá-lo em espaço de estados é preciso desmembrar essa 
equação em n equações diferenciais de primeira ordem, de modo 
a escrever a equação de estados x Ax Bu= + , que justamente é uma 
equação diferencial de primeira ordem.
II. Apenas sistemas lineares podem ser representados por espaço de 
estados.
Esse item está incorreto, pois podemos representar em espaço de 
estados sistemas lineares, não lineares, invariantes no tempo ou 
variantes no tempo.
III. A matriz A no espaço de estados é denominada matriz de estados 
e é sempre quadrada, ou seja, de dimensão (nxn), sendo n a ordem 
do sistema.
Essa afirmativa está correta. A matriz A representa a parcela das n 
equações diferenciais que dependem das n variáveis de estados.
IV. Um sistema com p >1 entradas e q >1 saídas é um sistema 
multivariável, ou seja, SISO.
Está incorreta, pois um sistema que possui mais de uma variável de 
entrada e/ou saída, embora seja realmente multivariável, consiste em 
U1 - Introdução e análise de sistemas em espaço de estados3
um sistema MIMO: Multiple Input – Multiple Output, ou seja, Múltiplas 
Entradas – Múltiplas Saídas. 
2. Alternativa correta: C.
Resposta comentada: Vamos começar a resolução definindo as 
variáveis de estado, de entrada e saída do sistema.
C d t
dt
h t
R
t ti o
θ
θ θ0
1( ) ( ) ( ) ( )= + −( )
x t
u t
u h t
entradas
o
i
= →
=
=



→
θ
θ
( )
( )
( )
variá el de estado
 do s1
2
iistema
saÌda do sistema y to= →θ ( )
Definidas as variáveis, vamos reescrever a equação dinâmica do 
sistema:
C dx
dt
u
R
u x= + −( )2 1
1
Agora vamos escrever as equações de estado e de saída do sistema:
x dx
dt RC
x
RC
u
C
u
y x
= = − + +
=
1 1 1
1 2
Escrevendo em forma matricial, resulta:
x
RC
x
RC C
u
u
y x
A
RC
B
RC C
= −



+ 









= [ ]
∴ = − =
1 1 1
1
1 1 1
1
2
; 



= =; ; C D1 0
 
3. Alternativa correta: E.
Resposta comentada: Vamos começar a resolução definindo as 
variáveis de estado:
Equação do sistema: d r t
d t
r t dr t
dt
r t u t
2
2
21( ) ( ) ( ) ( ) ( )− −  + =µ
x r t
x dr t
dt
1
2
=
=




( )
( ) variá eis de estado
U1 - Introdução e análise de sistemas em espaço de estados4
Substituindo as variáveis de estado na equação do sistema, temos:
d x
d t
x x x u t
2
1
2 1
2
2 11− −  + =µ ( )
Agora, vamos escrever as equações de estado:
 

x r t dx t
dt
x
x d r t
dt
x x x u
f x
f
1 2
2
2
1
2
2 1
1 2
2
1
= = =
= = −  − +
∴
=
( ) ( )
( )
µ
== −  − +



 µ 1 1
2
2 1x x x u
Aplicando as equações matriciais (1.18) a (1.21) para o ponto de 
equilíbrio x x u01 02 0, ,( ) , temos:
A
f
x
f
x
f
x
f
x
x u x u
x u x u
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂




1
1
1
2
2
1
2
2
0 0 0 0
0 0 0 0
( , ) ( , )
( , ) ( , )










=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−  − +
x
x
x
x
x
x x x
x u x u
2
1
2
2
1
1
2
2 1
0 0 0 0
1
( , ) ( , )
µ uu
x
x x x u
x u x u
( ) ∂∂ −  − +( )














=
=
( , ) ( , )0 0 0 02
1
2
2 11
0
µ
11
2 1 1
0 1
2
1 2 1
2
01 02
0 0 0 0
− +( ) −( )








∴ =
− +
µ µ
µ
x x x
A
x x
x u x u( , ) ( , )
11 1 01
2( ) −( )







µ x
B
f
u
f
u
x
u
u
x u
x u
x u
=
∂
∂
∂
∂














=
∂
∂
∂
∂
1
1
2
1
2
0 0
0 0
0 0( , )
( , )
( , )
µµ 1
0
1
1
2
2 1
0 0
−  − +( )














∴ =






x x x u
B
x u( , )
Para obter as condições iniciais, basta igualar f1 e f2 a zero:
f x x
u
f
1 2 02
0
2
0 0
0
1
= = ⇒ =
=
=
Supondo no equilÌbrio entrada nula: 
µ −−[ ] − = ⇒ =x x x x1 2 1 010 0
U1 - Introdução e análise de sistemas em espaço de estados5
Substituindo as condições de equilíbrio em A e B, a equação de 
estados linear matricial fica:


x
x
x
x
u1
2
1
2
0 1
1
0
1





 = −











 +





µ
. 
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 1.2
1. Alternativa correta: D.
Resposta comentada: I. A partir de um sistema representado por uma 
função de transferência, a obtenção da representação por espaço de 
estados pode ter inúmeros resultados. 
CORRETA, pois existem diversas possibilidades de escolha das variáveis 
de estado, cada uma delas resultando em um conjunto vetor-matricial 
distinto.
II. Diferentes composições matriciais de um mesmo sistema em 
espaço de estados podem resultar em funções de transferência 
distintas. 
ERRADA, já que diferentes espaços estados de um único sistema 
convergem para a MESMA função de transferência, pois ela é única 
para cada sistema.
III. Em sistemas MIMO, os zeros de transmissão são os zeros das 
funções de transferência. 
ERRADA, porque, para sistemas MIMO, os zeros de transmissão 
não correspondem aos zeros das funções de transferência, sendo 
necessário utilizar a seguinte equação:
det
z A B
C D
Ι − −




 = 0
,
que pode ser aplicada a sistemas MIMO com o mesmo número de 
entradas e saídas.
IV. Os autovalores da matriz A correspondem aos polos do sistema 
dinâmico. 
CORRETA, pois s AΙ −( ) aparece no denominador de todos os 
elementos da função de transferência e consiste na mesma expressão 
utilizada para obter os autovalores da matriz A det λΙ −( ) =A 0 .
U1 - Introdução e análise de sistemas em espaço de estados6
V. A equação geral de resposta do sistema é composta por uma 
solução homogênea (entrada diferente de zero e condições iniciais 
nulas) e uma solução forçada (entrada nula e condições iniciais 
diferentes de zero). 
ERRADA, pois, observando a equação geral descrita a seguir, notamos 
que a solução homogênea apresenta o termo da condição inicial, 
enquanto a solução forçada apresenta o termo da entrada. Portanto, 
a equação geral de resposta do sistema é composta por uma solução 
homogênea (entrada nula e condições iniciais diferentes de zero) e 
uma solução forçada (entrada diferente de zero e condições iniciais 
nulas). 
x t e x e Bu dAt
soluÁ„o
ogÍnea
A tt
soluÁ„o
fo
( ) ( ) ( )
hom
= + −( )∫0 0
678
τ τ τ
rrÁada6 744 844
 
. 
2. Alternativa correta: A.
Resposta comentada: Para obter os polos do sistema, basta calcular 
os autovalores da matriz A por meio da seguinte equação:
det( )s AΙ − = 0
det dets sΙ −
− −










 =





 −
− −





20 500
1 0
1 0
0 1
20 500
1 0





 =




 −
− −










 =
+
−

det det
s
s
s
s
0
0
20 500
1 0
20 500
1



 =
+
−





 = +( ) + =
+ + =
= −
0
20 500
1
20 500 0
20 500 0
1
2 1
det
s
s
s s
s s
s 00 20
10 20
2
+
= − −



i
s i
3. Alternativa correta: D.
Resposta comentada: Para obter a função de transferência da 
dinâmica do pêndulo simples, substituiremos as matrizes do espaço 
de estados na equação (1.48):
U1 - Introdução e análise de sistemas em espaço de estados7
G s C s A B D
G s s
( )
( )
.
= −( ) +
= [ ] 




 − − −











−Ι 1
1 0
1 0
0 1
0 1
40 2 5







= [ ] 




 − − −












−
−
1
1
0
80
1 0
0
0
0 1
40 2 5
0
8
G s
s
s
( )
. 00
1 0
1
40 2 5
0
80
1 0
1






= [ ] −
+


















= [
−
G s
s
s
G s
( )
.
( ) ]]
+ +
+
−












= [ ]
+
+
1
2 5 40
2 5 1
40
0
80
1 0
2 5
22
s s
s
s
G s
s
s
( . )
.
( )
.
.55 40
1
2 5 40
40
2 5 40 2 5 40
0
80
2
2 2
s s s
s s
s
s s
+ + +
−
+ + + +














.
. .




=
+
+ + + +










=
G s s
s s s s
G s
( )
.
. .
( )
2 5
2 5 40
1
2 5 40
0
80
80
2 2
ss s2 2 5 40+ +.
Portanto, a alternativa correta é a letra D. 
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 1.3
1. Alternativa correta: D.
Resposta comentada: A alternativa correta é a letra d) tf(ss(A,B,C,D)), 
pois o comando sys=ss(A,B,C,D) declara o sistema em espaço de 
estados e o comando tf(sys) transforma um sistema de espaço 
de estados para função de transferência. Assim, compactando a 
aplicação, temos: tf(ss(A,B,C,D)).
Sobre os outros itens, ss(A,B,C,D) é um comando que apenas declara 
o sistema na forma de espaço de estados, eig(A), autovalores da matriz 
A, que são os polos do sistema, lsim(sys,u,t,x0) simula o sistema linear 
para uma dada entrada u e condição inicial x0 e, por fim tf(A,B,C,D), 
que se encontra com aplicação incorreta. O correto seria tf(num,den) 
U1 - Introdução e análise de sistemas em espaço de estados8
para declarar um sistema em forma de função de transferência através 
do seu numerador e denominador, ou tf(ss(A,B,C,D)), conforme o item 
d, para transformar o modelo de espaço de estados para função de 
transferência. 
2. Alternativa correta: B.
Resposta comentada: A correspondência correta seria: 
A. ss(A,B,C,D) – V. Declara o modelo em espaço de estados.
B. tfdata(sys) – II. Obtém os dados da função de transferência de um 
sistema em espaço de estados.
C. ssdata(sys) – IV. Obtém os dados do espaço de estados de um 
sistema em função de transferência.
D. lsim (sys,u,t,x0) – I. Simula a resposta dinâmica do sistema a uma 
determinada entrada e condição inicial.
E. damp (A) – III. Calcula os polos, frequência natural e amortecimento 
de sistemas.
3. Alternativa correta: E.
Resposta comentada: Vamos analisar cada uma das afirmações:
I. Só é possível simular sistemas na forma de função de transferência.
Falsa, pois podemos simular espaço de estados através do bloco 
pronto ou através de blocos de ganho configurados como 
matrizes e um bloco integrador.
II. O bloco consiste em um osciloscópio no qual é possível ver 
o gráfico da simulação.
Verdadeiro, o bloco chama-se scope e corresponde a um osciloscópio.
III. O Simulink® possui interação com as variáveis do Workspace 
declaradas via script ou linhas de comando no Command Window.
Verdadeiro, o Simulink® possui essa interatividade com o Matlab® 
permitindo importar/exportar variáveis e dados de/para o Workspace. 
U1 - Introdução e análise de sistemas em espaço de estados9
IV. Os blocos que compõem o diagrama em Simulink® não podem ser 
personalizados.
Falsa, cada um dos blocos pode ser personalizado ao se clicar duas 
com o mouse sobre ele.
V. Para simular o sistema em espaço de estados podemos utilizar 
apenas o bloco .
Falsa, pois é possível simular o espaço de estados também através de 
blocos de ganho, configurados como matrizes, um bloco integrador 
e blocos somadores.