Estatística Descritiva - Livro Texto – Unidade II

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3 INTERVALO DE CONFIANÇA
Em páginas anteriores foram dados alguns exemplos de 
métodos para estimar parâmetros de uma população a partir de 
informações de uma amostra. Seja um caso comum: a média x 
de uma amostra é um estimador não polarizado para a média µ 
da população. Entretanto, a simples estimativa não dá ideia da 
proximidade ou do afastamento do valor real µ, ou melhor, da 
precisão do resultado.
Um método usual de especificar a precisão, é determinar 
um intervalo de confiança para o parâmetro da população. 
Exemplo: pode-se dizer que l1 e l2 são, respectivamente, os 
limites inferior e superior de um intervalo de confiança de 95% 
para a média µ.
Um engano conceitual comum é supor que, no exemplo 
citado, há 95% de probabilidade de a média estar entre os limites 
l1 e l2. Considerando a população estável, a média é fixa, ou seja, 
ela só pode estar dentro ou fora de um intervalo e, portanto, 
esse conceito não é válido. Desde que intervalos de confiança 
são calculados a partir de amostras, o correto é dizer que, na 
repetição de amostras dessa população, em 95% dos casos a 
média µ estará entre os valores calculados l1 e l2.
A partir de agora aprenderemos uma técnica importante de 
estatística inferencial: como aplicar amostras estatísticas para 
estimar o valor desconhecido de um parâmetro populacional. 
Nesta parte, aprenderemos a usar amostras estatísticas para 
fazer uma estimativa do parâmetro populacional µ quando 
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o tamanho da amostra for, pelo menos, trinta, ou quando a 
população tiver uma distribuição normal com desvio padrão σ 
conhecido.
Simbologia
• µ média populacional;
• x média amostral;
• σ desvio padrão populacional;
• S desvio padrão amostral.
• O erro amostral é o resultado inevitável do fato de 
trabalharmos com uma fração da população.
• Uma estimativa intervalar é um intervalo de valores usado 
para estimar um parâmetro populacional.
• Nível de confiança (C) é a probabilidade de que o intervalo 
estimado contenha o parâmetro populacional.
• Estimativa pontual é a estimativa de um único valor para 
um parâmetro populacional.
• No caso em questão, utilizaremos como estimativa pontual 
o valor da média amostral (x).
• Conforme citamos anteriormente, se n ≥ 30, a distribuição 
amostral de médias é uma distribuição normal.
• O nível de confiança (C) é a área sob a curva normal entre 
–Zc e Zc.
• A área remanescente é 1 –Zc .
Portanto, a área de cada calda é:
( 1 – C )
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Se C = 90%, então os 5% da área estão divididos à esquerda 
de Zc = -1,645 e os outros 5% estão à direita de Zc = 1,645.
(1-C)
2
(1-C)
2
Zc= – 1,645 Zc= 1,645
• Erro amostral é resultado inevitável do fato de trabalharmos 
com uma fração da população.
• A distância entre a estimativa pontual (x) e o valor do 
parâmetro real (µ)é chamada de erro de estimativa.
E Zc
n
= σ
Quando n ≥ 30, o desvio padrão S pode ser usado em 
lugar de σ.
Parâmetro é uma descrição numérica de uma 
característica da população.
Estatística é uma descrição numérica de uma 
característica da amostra.
Estimativa pontual é uma estimativa de um único valor 
para um parâmetro populacional.
Estimativa intervalar é um intervalo de valores para 
estimar um parâmetro populacional.
Nível de confiança é a probabilidade de que um intervalo 
estimado contenha o parâmetro populacional.
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Parâmetro Estatística
Média populacional (µ) _Média amostral ( X )
Variância populacional (σ2) Variância amostral (S2)
Desvio-padrão populacional (σ) Desvio-padrão amostral (S)
Estimativa pontual é uma estimativa de um único valor para 
um parâmetro populacional.
Estimativa intervalar é um intervalo de valores para estimar 
um parâmetro populacional.
Nível de confiança é a probabilidade de que um intervalo 
estimado contenha o parâmetro populacional.
Para determinarmos um intervalo de confiança para média, 
devemos seguir os seguintes passos:
• estabelecer um nível de confiança;
• calcular o erro por meio da fórmula.
E Zc
n
= σ
Zc: valor crítico (encontramos o valor crítico na tabela de 
distribuição normal reduzida)
Nível de confiança 90% 95% 99%
Zc 1,645 1,96 2,575
Onde,
σ = desvio-padrão populacional;
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n = número de elementos da amostra.
No caso de n ≥ 30, substituímos σ por S (desvio-padrão 
amostral)
A probabilidade de que o intervalo de confiança contenha µ é C.
Usando uma estimativa pontual e um erro máximo de 
estimativa, você pode construir uma estimativa intervalar de 
um parâmetro populacional como µ.
Essa estimativa intervalar é chamada de intervalo de 
confiança.
X – E < µ < X + E
A probabilidade de que o intervalo de confiança contenha µ é C.
Exemplo 1
Uma amostra aleatória de 40 elementos retirados de uma 
população aproximadamente normal forneceu média amostral 
igual a 12,45 e desvio padrão amostral igual a 2,15. Construir um 
intervalo de confiança de 95% para a média desta população.
Solução
Para encontrarmos o erro, utilizamos a fórmula E Zc
n
= σ , 
pois n≥ 30 e σ~S.
C= 95%, então, olhando na tabela Zc = 1,96.
Nível de confiança 90% 95% 99%
Zc 1,645 1,96 2,575
n=40
S=2,15
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E = =196 2 15
40
0 67,
,
,
O intervalo de confiança é dado por X – E < µ < X + E
12,45- 0,67 < µ < 12,45 + 0,67
11,78 < µ < 13,12
Portanto, com 95% de confiança, podemos dizer que a média 
populacional está entre 11,78 e 13,12.
3.1 Intervalo de confiança para a média com 
amostra com menos de 30 elementos
Em muitas situações da vida real, o desvio-padrão 
populacional é desconhecido. Além disso, em função de fatores 
como tempo e custo, frequentemente não é prático colher 
amostras de tamanho 30 ou mais.
Se a variável aleatória for normalmente distribuída (ou 
aproximadamente normalmente distribuída), a distribuição 
amostral para x é uma distribuição t. A distribuição t é uma 
família de curvas, cada uma delas determinada por um parâmetro 
chamado grau de liberdade. Quando se usa uma distribuição t 
para estimar uma média populacional, o número de graus de 
liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1.
g.l. = n- 1
Os valores críticos de t são denotados por tc.
Para determinarmos um intervalo de confiança para a média, 
devemos seguir os seguintes passos:
• estabelecer um nível de confiança;
• calcular o erro por meio da fórmula.
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E tc
S
n
=
• tc: valor crítico (encontramos o valor crítico na tabela de 
distribuição t);
• S: desvio-padrão amostral;
• n: número de elementos da amostra;
• obter o intervalo de confiança c para a média populacional 
µ.
X – E < µ < X + E
Neste caso, dizemos que a probabilidade de que o intervalo 
de confiança contenha a média populacional µ é c.
Tabela de distribuição t
Graus de 
liberdade (n-1) C=90% C=95% C=99%
1 6,314 12,76 63,657
2 2,92 4,303 9,925
3 2,353 3,182 5,841
4 2,132 2,776 4,604
5 2,015 2,571 4,032
6 1,943 2,447 3,707
7 1,895 2,365 3,499
8 1,86 2,306 3,355
9 1,833 2,262 3,25
10 1,812 2,228 3,169
11 1,796 2,201 3,106
12 1,782 2,179 3,055
13 1,771 2,16 3,012
14 1,761 2,145 2,977
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17 1,74 2,11 2,898
18 1,734 2,101 2,878
19 1,729 2,093 2,861
20 1,725 2,086 2,845
21 1,721 2,08 2,831
22 1,717 2,074 2,819
23 1,714 2,069 2,807
24 1,711 2,064 2,797
25 1,708 2,06 2,787
26 1,706 2,056 2,779
27 1,703 2,052 2,771
28 1,701 2,048 2,763
29 1,699 2,045 2,756
∞ 1,645 1,96 2,576
Exemplo 2
Uma amostra de dez elementos, extraída de uma população 
com distribuição normal, forneceu média amostral igual a 3,45 
e desvio-padrão amostral igual a 0,75. Construir um intervalo de 
confiança de 90% para a média dessa população.
Para encontrarmos o erro utilizamos a fórmula:
E tc
S
n
= ;
S= 0,75;
C=90%;
n= 10 e;
g – 1 = grau de liberdade = 10-1 =9.
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Ver na tabela o tc = 1,833.
Graus de 
liberdade (n-1) C=90% C=95% C=99%
1 6,314 12,76 63,657
2 2,92 4,303 9,925
3 2,353 3,182 5,841
4 2,132 2,776 4,604
5 2,015 2,571 4,032
6 1,943 2,447 3,707
7 1,895 2,365 3,499
8 1,86 2,306 3,355
9 1,833 2,262 3,25
10 1,812 2,228 3,169
11 1,796 2,201 3,106
12 1,782 2,179 3,055
13 1,771 2,16 3,012
14 1,761 2,145 2,977
15 1,753 2,131 2,947
16 1,746 2,12 2,921
17 1,74 2,11 2,898
18 1,734 2,101 2,878
19 1,729 2,093 2,861
20 1,725 2,086 2,845
21 1,721 2,08 2,831
22 1,717 2,074 2,819
23 1,714 2,069 2,807
24 1,711 2,064 2,797
25 1,708 2,06 2,787
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E = =1833 0 75
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0 43,
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,
X – E < µ < X + E
3,45- 0,43 < µ < 3,45 + 0,43
3,02 < µ < 3,88
Portanto, com 90% de confiança, podemos dizer que a média 
populacional está entre 3,02 e 3,88.
3.2 Intervalos de confiança para a variância e 
desvio-padrão
• Na produção industrial, é necessário controlar o tamanho 
da variação de um processo. Um fabricante de peças 
automobilísticas deve produzir, por exemplo, milhares de 
peças para serem usadas no processo de fabricação.
• É importante que estas partes variem muito pouco ou 
nada.
• Como medir e controlar o tamanho da variação nas peças? 
Você pode começar por uma estimativa pontual.
• A estimativa pontual para σ2 é S2 e a estimativa pontual 
para σ é S.
• Você pode usar uma distribuição de qui-quadrado para 
construir um intervalo de confiança para variância e 
desvio–padrão.
• Se a variável aleatória x tiver uma distribuição normal, 
então, a distribuição de
x
n S2
21= −( )
σ
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• A distribuição qui-quadrado é uma família de curvas, 
cada uma delas determinada pelos graus de liberdade.
• Para formar um intervalo de confiança para σ2, use a 
distribuição χ2 com um número de graus de liberdade 
igual ao tamanho da amostra menos 1.
g.l.=n–1
Onde,
g.l. = graus de liberdade.
A tabela a seguir é uma tabela de distribuição do qui-
quadrado e será necessária para que possamos encontrar os 
valores pretendidos.
Tabela de distribuição do qui-quadrado
Graus de 
liberdade 
(n-1)
0,995 0,975 0,95 0,05 0,025 0,005
1 0,001 0,004 3,841 5,024 7,879
2 0,1 0,051 0,103 5,991 7,378 10,597
3 0,72 0,216 0,352 7,815 9,348 12,838
4 0,207 0,484 0,711 9,488 11,143 14,86
5 0,412 0,831 1,145 11,071 12,833 16,75
6 0,676 1,237 1,635 12,592 14,449 18,548
7 0,989 1,69 2,167 14,067 16,013 20,278
8 1,344 2,18 2,733 15,507 17,535 21,955
9 1,735 2,7 3,325 16,919 19,023 23,589
22 8,643 10,982 12,338 33,924 36,781 42,796
23 9,262 11,689 13,091 35,172 38,076 44,181
24 9,886 12,401 13,848 36,415 39,364 45,559
25 10,52 13,12 14,611 37,652 40,646 46,928
26 11,16 13844 15,379 38,885 41,923 48,29
27 11,808 14573 16,151 40,113 43,194 49,645
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29 13,121 16047 17,708 42,557 45,722 52,336
30 13,787 16791 18,493 43,773 46,979 53,672
40 20,707 24433 26,509 55,758 59,342 66,766
50 27,991 32,257 34,764 67,505 71,42 79,49
60 35,534 40,482 43,188 79,082 83,298 91,952
70 43,275 48,758 51,739 90,531 95,023 104,215
80 51,172 57,153 60,391 101,819 106,629 116,321
90 59,196 65,647 69,126 113,145 118,136 128,299
100 67,328 74,222 77,929 124,342 129,561 140,169
Para encontrarmos um intervalo de confiança para variância, 
devemos encontrar, na tabela de distribuição qui-quadrado, os 
valores de:
X e Xα α1
2
2
2
Calculamos:
α1 1
2
= − c
E, conforme o grau de liberdade, encontramos na tabela o 
valor de:
Xα1
2
Calculamos:
α2 1
2
= + c
E, conforme o grau de liberdade, encontramos na tabela o 
valor de:
Xα2
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Após encontrarmos os valores de:
X e Xα α1
2
2
2
Utilizamos as fórmulas:
n S
X
n S
X
−( )⋅ 〈 〈 −( )⋅1 1
2
1
2
2
2
2
2
α α
α (Variância populacional)
n S
X
n S
X
−( )⋅ 〈 〈 −( )⋅1 1
2
1
2
2
2
2
α α
α (Desvio-padrão populacional)
Exemplo 3
Uma amostra de 15 elementos,extraída de uma população 
com distribuição normal, forneceu desvio-padrão de 0,89. 
Construir intervalos de confiança de 95% para a variância 
populacional e desvio-padrão populacional.
Para um nível de confiança de 95% (c-=95%) e amostra 
n=15, temos:
α α1 1
2
1
1 0 95
2
0 025= − = − =c , ,
Grau de liberdade n-1 = 15-1 = 14.
Logo, vamos na tabela do qui-quadrado, cruzamos os g.l. 
com o C (em decimal, ou seja, 95
100
% e obtemos o valor de 0,95):
Xα1
2 26 119= ,
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Tabela de distribuição do qui-quadrado
Graus de 
liberdade 
(n-1)
0,995 0,975 0,95 0,05 0,025 0,005
11 2,603 3,816 4,575 19,675 21,92 26,757
12 3,074 4,404 5,226 21,026 23,337 28,299
13 3,565 5,009 5,892 22,362 24,736 29,819
14 4,075 5,629 6,571 23,685 26,119 31,139
15 4,601 6,262 7,261 24,996 27,488 32,801
Da mesma maneira,
α α2 1
2
2
1 0 95
2
0 975= + = + =c , ,
Grau de liberdade n-1 = 15-1 = 14.
Logo, vamos na tabela do qui-quadrado, cruzamos os g.l. com 
o C (em decimal, ou seja, 95
100
% e obtemos o valor de 0,95):
Xα2
2 5 629= ,
Tabela de distribuição do qui-quadrado
Graus de 
liberdade 
(n-1)
0,995 0,975 0,95 0,05 0,025 0,005
11 2,603 3,816 4,575 19,675 21,92 26,757
12 3,074 4,404 5,226 21,026 23,337 28,299
13 3,565 5,009 5,892 22,362 24,736 29,819
14 4,075 5,629 6,571 23,685 26,119 31,139
15 4,601 6,262 7,261 24,996 27,488 32,801
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Para encontrarmos um intervalo de classe para variância, 
utilizamos a fórmula:
n S
X
n S
X
−( )⋅ 〈 〈 −( )⋅1 1
2
1
2
2
2
2
2
α α
α
n=15
S=0,89
Xα1
2 26 119= ,
Xα2
2 5 629= ,
15 1 15 12 2
2−( ) 〈 〈 −( ). .S S
26, 119 5,629
σ
0 42 1972, ,〈 〈σ .
Portanto, com 95% de confiança, podemos dizer que a 
variância populacional está entre 0,42 e 1,97.
Para encontrarmos um intervalo de classe para o desvio-
padrão populacional, utilizamos a fórmula:
n S n S−( ) 〈 〈 −( )1 1
2
1
2
2
2
2
. .
χ
σ
χσ σ
0 42 197, ,〈 〈σ
0 65 140, ,〈 〈σ .
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
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Portanto, com 95% de confiança, podemos dizer que o 
desvio-padrão populacional está entre 0,65 e 1,40.
4 ANÁLISE DE GRÁFICOS
A partir de agora, faremos uma viagem pelo mundo dos 
gráficos. Veremos alguns tipos mais utilizados de gráficos e 
aprenderemos a lê-los e interpretá-los.
Vamos começar conhecendo alguns tipos de gráficos.
Gráfico de linhas
Objetivos: simplicidade, clareza e veracidade.
Os gráficos de linhas geralmente mostram dados contínuos 
ao longo de determinado período, a partir de uma escala comum. 
São muito úteis para visualizar tendências em dados a intervalos 
iguais. Em um gráfico de linha, as categorias são dispostas 
uniformemente ao longo do eixo horizontal que deverá estar 
espaçado de maneira uniforme, como meses, trimestres e anos 
fiscais. Os dados de valores são distribuídos no eixo vertical.
Mês
Número 
de filmes 
locados
Janeiro 300
Fevereiro 220
Março 100
Abril 150
Maio 250
Junho 110
Nú
m
er
o 
de
 fi
lm
es
 lo
ca
do
s 350
300
250
200
150
100
50
0
Jan fev Mar Abr Mai Jun
meses
$70,000
$60,000
$50,000
$40,000
$30,000
$20,000
$10,000
$
1º Trim. 2º Trim. 3º Trim. 4º Trim.
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Gráfico de barras horizontal e vertical
Objetivo: mostrar a representação gráfica dos dados 
através de retângulos, com a intenção de poder fazer 
análises das projeções no período determinado.
No gráfico de barras, no qual as barras se encontram na 
vertical, as categorias são geralmente organizadas ao longo 
do eixo horizontal, e os valores são relacionados no eixo 
vertical.
O exemplo abaixo mostra o consumo de energia elétrica de 
uma família no decorrer do ano de 2005.
Mês Consumo em kWh
Janeiro 380
Fevereiro 300
Março 280
Abril 290
Maio 270
Junho 260
Julho 370
Agosto 310
Setembro 305
Outubro 315
Novembro 330
Dezembro 390
Co
ns
um
o 
em
 k
W
h
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
meses
380
300
280 290 270 260
370
310 305 315
330
390
Quando as barras se encontram na horizontal, as categorias 
são geralmente organizadas ao longo do eixo vertical, e os 
valores são relacionados no eixo horizontal.
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
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Consumo em kWh
1000
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
m
es
es
390
330
200 300 400 500
315
305
310
370
260
270
290
280
300
380
Gráfico de setores
Objetivos: expressar as informações em uma 
circunferência fracionada; é um gráfico muito usado na 
demonstração de dados percentuais.Também chamado de 
gráfico de pizza.
O gráfico a seguir mostra a preferência dos clientes de 
uma locadora quanto ao gênero dos filmes locados durante a 
semana.
Vendas no almoço
15%
9%
15%
21%
40%
Sanduíches
Saladas
Sopa
Bebidas
Sobremesas
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Gênero Frequência 
absoluta
Frequência 
relativa
Ficção 88 22%
Aventura 76 19%
Comédia 100 25%
Terror 60 15%
Guerra 56 14%
Outros 20 5%
400 100%
Outros 
5%Guerra
14%
Terror
15%
Comédia
25%
Aventura
25%
Ficção
22%
Ficção
Aventura
Comédia
Terror
Guerra
Outros
Este tipo de gráfico mostra o tamanho de itens em uma série 
de dados, de modo proporcional à soma dos itens, ou seja, sua 
frequência relativa.
Os pontos de dados em um gráfico de pizza são exibidos 
como um percentual de toda a pizza.
Este tipo de gráfico é utilizado quando se tem no máximo 
sete tipos de categoria.
Observação: o material a seguir foi adaptado a partir 
de material produzido pela professora Christiane Mazur 
Lauricella.
5
10
Pontos de dados: valores 
individuais plotados em um gráfico 
e representados por barras, colunas, 
linhas, fatias de pizza ou rosca, pontos 
e diversas outras formas chamadas de 
marcadores de dados, os marcadores 
de dados da mesma cor constituem 
uma série de dados.
37
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
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América 
do Norte
Oceania Europa América 
Central
América 
do Sul
Ásia África
Continentes
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)
25
20
15
10
5
0
Verificamos uma escala decrescente de emissão anual de CO2 
per capita dos continentes (do maior emissor per capita para o 
menor emissor per capita). Lemos da seguinte maneira:
1º emissor anual per capita: América do Norte.
2º emissor anual per capita: Oceania.
3º emissor anual per capita: Europa.
4º emissor anual per capita: América Central.
5º emissor anual per capita: América do Sul.
6º emissor anual per capita: Ásia.
7º emissor anual per capita: África.
Como se trata de emissão per capita, essa escala não 
considera a população de cada continente.
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Ásia América 
do Norte
Europa África América 
do Sul
Oceania América 
Central
Continentes
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)
9000
0
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
A escala decrescente de emissão anual de CO2 dos continentes 
(do maior emissor para o menor emissor) é a seguinte:
1º emissor: Ásia.
2º emissor: América do Norte.
3º emissor: Europa.
4º emissor: África.
5º emissor: América do Sul.
6º emissor: Oceania.
7º emissor: América Central.
Como se trata de emissão total, essa escala considera a 
população de cada continente.
Gráficos
Os gráficos permitem que sejam:
• lidos valores em pontos;
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• estudados intervalos de crescimento e decrescimento.
Exemplo 1: Médias anuais de alunos
Os gráficos a seguir mostram a evolução das médias de três 
alunos (Marcos, Rita e Ana) no conjunto de disciplinas cursadas 
em Administração nos anos de 2005, 2006, 2007 e 2008.
Média de três alunos do curso de Administração
m
éd
ia
ano
10
9,5
9
8,5
8
7,5
7
6,5
6
5,5
5
2005 2006 2007 2008
Ana
Rita
Marcos
Qual é o maior valor do gráfico?
Por leitura direta do gráfico: o maior valor do gráfico é 10 
(média do Marcos em 2005).
Qual é o menor valor do gráfico?
Por leitura direta do gráfico: o menor valor do gráfico é 5 
(média da Ana em 2005).
Qual foi o aluno com a maior variação de média de 2005 
para 2008?
Por análise do gráfico: Ana teve a maior variação de média, 
passou de média 5, em 2005, para média 8, em 2008.
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Quais foram as variações percentuais das médias de Ana, 
Rita e Marcos?
Ana passou de média 5, em 2005, para média 8, em 2008. 
Variação na média da Ana = 8-5 = 3.
Por regra de três temos: 5 – 100%3 – X .
Ou seja, 5.x=3x100 → x = 300/5 = 60%.
Ou podemos calcular a fração 
3
5
100 60⋅ =% % .
A média de Ana aumentou 60%, de 2005 para 2008.
Rita “passou” de média 6, em 2005, para média 6, em 2008.
Variação na média da Rita = 6-6 = 0.
A média de Rita não sofreu variação.
Marcos passou de média 10, em 2005, para 8,5, em 2008.
Variação na média do Marcos = 8,5-10 = -1,5.
Por regra de três temos: 10 – 100%–1,5 – X .
Ou seja, 10.x=-1,5x100 → x = -150/10 = -15%.
Ou podemos calcular a fração 
− = −15
10
100 15
,
. % % . O sinal 
negativo indica diminuição.
A média do Marcos diminuiu 15%, de 2005 para 2008.
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Exemplo 2: Projeções de produção, consumo e exportação 
de soja
O gráfico a seguir mostra projeções para a produção, o 
consumo e a exportação de soja feitas pela Assessoria da Gestão 
Estratégica (AGE) do Ministério da Agricultura, Pecuária e 
Abastecimento.
Produção, consumo e exportação de soja
(em milhões de toneladas)
90
Produção
Consumo
Exportação
80
70
60
50
40
30
20
10
0
20
07
/0
8
20
08
/0
9
20
09
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0
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10
/1
1
20
11
/1
2
20
12
/1
3
20
13
/1
4
20
14
/1
5
20
15
/1
6
20
16
/1
7
20
17
/1
8
20
18
/1
9
60,07
35,05
25,75
80,91
44,41
36,46
Fonte: AGE/MAPA
Quais serão as variações percentuais das projeções da 
produção, do consumo e da exportação de soja de 2007/08 a 
2018/19, segundo a projeção da AGE?
Por cálculos feitos a partir do gráfico:
Produção da soja: passará de 60,07 milhões de ton. em 
2007/08, para 80,91 milhões de ton. em 2018/19.
Variação na produção = 80,91 - 60,07 = 20,84 milhões de ton.
Por regra de três temos: 60,07 – 100%20,84 – X .
Ou seja, 60,07.x=20,84x100 → x = 2084/60,07 = 35%.
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Ou podemos calcular a fração 
20 84
60 07
100 35
,
,
. % %= .
Pela projeção feita pela AGE, haverá aumento de 35% na 
produção de soja de 2007/08 para 2018/19.
Consumo de soja: passará de 35,05 milhões de ton. em 
2007/08, para 44,41 milhões de ton. em 2018/19.
Variação no consumo = 44,41 - 35,05 = 9,36 milhões de ton.
Por regra de três temos: 35,05 – 100%9,36 – X .
Ou seja, 35,05.x=9,36x100 → x = 936/35,05 = 27%.
Ou podemos calcular a fração 
9 36
35 05
100 27
,
,
. % %= .
Pela projeção feita pela AGE, haverá aumento de 27% no 
consumo de soja de 2007/08 para 2018/19.
Exportação de soja: passará de 25,75 milhões de ton. em 
2007/08, para 36,46 milhões de ton. em 2018/19.
Variação na exportação = 36,46 - 25,75 = 10,71 milhões de ton.
Por regra de três temos: 25,75 – 100%10,71 – X .
Ou seja, 25,75.x=10,71x100 → x = 2575/10,71 = 42%.
Ou podemos calcular a fração 
10 71
25 75
100 42
,
,
. % %= .
Pela projeção da AGE, haverá aumento de 42% na exportação 
de soja de 2007/08 para 2018/19.
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Conclusão: pela projeção da AGE, a exportação de soja 
observará maior crescimento percentual do que o consumo e a 
produção de soja de 2007/08 para 2018/19.
Exemplo 3: Consumo de energia elétrica
Imagine que o gráfico a seguir mostre o consumo médio de 
energia elétrica (em kWh) nas residências de uma cidade em 
cada mês do ano de 2008.
500
Consumo (kWh)
450
400
350
300
250
200
jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
meses (2008)
4.1 Maiores e menores valores nos períodosde janeiro a abril, de abril a junho e de junho 
a dezembro
Por leitura direta do gráfico:
Período: janeiro a abril
Maior valor no período: 450 kWh (abril).
Menor valor no período: 300 kWh (janeiro).
Período: abril a junho
Maior valor no período: 450 kWh (abril, maio e junho).
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Menor valor no período: 450 kWh (abril, maio e junho).
Os consumos foram iguais no período de abril a junho.
Período: junho a dezembro
Maior valor no período: 450 kWh (junho).
Menor valor no período: 300 kWh (dezembro).
4.2 Intervalos de crescimento e decrescimento
Período: janeiro a abril
O consumo passou de 300 kWh em janeiro para 450 kWh 
em abril.
Variação no consumo = 450 - 300 = 150 kWh.
Por regra de três temos: 300 – 100%150 – X .
Ou seja, 300.x=150x100 → x = 15000/300 = 50%.
Ou podemos calcular a fração 
150
300
100 50. % %= .
O consumo de energia teve crescimento de 50% de janeiro 
a abril.
Período: abril a junho
O consumo passou de 450 kWh em abril para 450 kWh em 
junho.
O consumo de energia elétrica não teve variação de abril a 
junho.
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
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Período: junho a dezembro
O consumo passou de 450 kWh em junho para 300 kWh em 
dezembro.
Variação no consumo = 300 - 450 = -150 kWh.
Por regra de três temos: 450 – 100%150 – X .
Ou seja, 450.x= -150x100 → x = -15000/450 = -33%.
Ou podemos calcular a fração 
− = −150
450
100 33. % %. 
 
O consumo de energia teve diminuição de 33% de junho a 
dezembro.
Exemplo 4: Intenção de votos
O gráfico a seguir mostra a intenção de votos para três 
candidatos a presidente do Clube Esporte Total.
pe
rc
en
tu
al
 d
e 
vo
to
s
José Carlos
Luis
Marcelo
40
35
30
25
20
15
10
5
0
jan/09 fev/09 mar/09 abr/09 mai/09
período
• Maior percentual de intenção de votos: 35% (José Carlos, 
em janeiro de 2009).
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• Menor percentual de intenção de votos: 10% (Marcelo, 
em janeiro de 2009).
• O percentual de intenção de votos de Marcelo ultrapassou 
a intenção de votos de José Carlos a partir de março de 
2009.
• O percentual de intenção de votos do Marcelo cresceu no 
período de janeiro a maio de 2009.
• O percentual de intenção de votos do José Carlos decresceu 
no período de janeiro a maio de 2009.
• O percentual de intenção de votos do Luís manteve-se 
constante no período de janeiro a março de 2009, cresceu 
no período de março a abril de 2009 e decresceu no 
período de abril a maio de 2009.
Conclusão: segundo os dados apresentados, se a eleição 
ocorresse em junho de 2009 o candidato vencedor seria o 
Marcelo (com aproximadamente 30% dos votos), considerando 
eleição em turno único.
Diagramas de barras
Exemplo 1: Cargos em uma empresa
O diagrama 1.1 mostra, para a empresa ABC Informática, em 
valores absolutos o número de mulheres em três tipos de cargos: 
cargos de supervisão, cargos de gerência e cargos de direção.
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30
cargos de supervisão
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
cargos de gerência cargos de direção
Diagrama 1.1: Número de mulheres em três cargos.
O diagrama 1.2 mostra o número de mulheres, para a 
empresa ABC Informática, nos cargos descritos acima a cada 
dez trabalhadores.
cargos de supervisão
8
7
6
5
4
3
2
1
0
cargos de gerência cargos de direção
Diagrama 1.2: Número de mulheres nos cargos a cada dez trabalhadores.
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Valores absolutos (leitura no diagrama 1.1):
• número de mulheres em cargos de supervisão = 30;
• número de mulheres em cargos de gerência = 4;
• número de mulheres em cargos de direção = 6.
Conclusão: na empresa ABC Informática há mais 
trabalhadoras em cargos de supervisão e menos trabalhadoras 
em cargos de gerência.
Valores relativos (leitura do diagrama 1.2):
• dos trabalhadores em cargos de supervisão, 70% são 
mulheres (7 a cada 10);
• dos trabalhadores em cargos de gerência, 50% são 
mulheres (5 a cada 10);
• dos trabalhadores em cargos de direção, 20% são mulheres 
(2 a cada 10).
Conclusão: na empresa ABC Informática, o maior 
percentual de mulheres está em cargos de supervisão e o 
menor percentual de mulheres está em cargos de direção.
Podemos afirmar que na empresa ABC Informática há dez 
funcionários em cargos de direção?
Exemplo 2: Número de internautas1
Nos dias atuais, as novas tecnologias se desenvolvem 
de forma acelerada e a Internet ganha papel importante na 
dinâmica do cotidiano das pessoas e da economia mundial. Os 
diagramas a seguir mostram o total de internautas em milhões 
(2004) e o número de internautas a cada dez habitantes 
(2003).
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1 Adaptado do Enade, 2005.
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Estados Unidos 
(1º)
200
140
120
100
80
60
40
20
0
China (2º) Japão (3º) Brasil (10º)
160
180
185
100
78
22,2
Total de internautas em milhões (2004)
Diagrama 2.1: Total de internautas, em milhões (2004).
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Islândia (1º) Coréia do Sul (2º) Suécia (3º) Brasil (76º)
6,7
6
5,7
0,8
Internautas a cada 10 habitantes (2003)
Diagrama 2.2: Internautas a cada dez habitantes (2003).
Valores absolutos (leitura direta no diagrama 2.1):
• número de internautas nos Estados Unidos = 185 
milhões;
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• número de internautas na China = 100 milhões;
• número de internautas no Japão = 78 milhões;
• número de internautas no Brasil = 22,2 milhões.
Em 2004, o país do diagrama 2.1 com maior número absoluto 
de internautas foi os Estados Unidos.
Valores relativos (leitura no diagrama 2.2):
• dos habitantes da Islândia, 67% são internautas (6,7 a 
cada 10);
• dos habitantes da Coréia do Sul, 60% são internautas (6 a 
cada 10);
• dos habitantes da Suécia, 57% são internautas (5,7 a 
cada 10);
• dos habitantes do Brasil, 8% são internautas (0,8 a cada 10).
Dos países citados no diagrama 2.2, o país com o maior 
percentual de internautas foi a Islândiae o país com menor 
percentual de internautas foi o Brasil.
Ou seja, valor absoluto e valor relativo são conceitos 
distintos.
Gráfico de setores (pizza)
Exemplo 1: Produção de grãos no Brasil
O diagrama a seguir mostra a produção de grãos (soja, milho, 
trigo, arroz e feijão) no Brasil no período de 2007/08.
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Produção de grãos 2007/08
(em milhões de toneladas)
3,5
12,1
5,4
58,6
soja
milho
trigo
arroz
feijão
60,1
Fonte: Assessoria da Gestão Estratégica (AGE), Ministério da Agricultura, Pecuária 
e Abastecimento (MAPA).
1.1 Valores absolutos de produção de grãos em ordem 
decrescente (leitura direta no diagrama):
• produção de soja = 60,1 milhões de ton;
• produção de milho = 58,6 milhões de ton;
• produção de arroz = 12,1 milhões de ton;
• produção de trigo = 5,4 milhões de ton;
• produção de feijão = 3,5 milhões de ton.
Conclusão: no período de 2007/08 a maior produção foi a 
de soja (maior região representada no diagrama).
Valores relativos de produção de grãos em ordem 
decrescente (cálculos feitos a partir do diagrama):
Produção total de grãos no Brasil (2007/08) =60,1+58,6+12,1
+5,4+3,5=139,7 milhões de ton.
• Produção de soja → 
60 1
139 7
100 43
,
,
% %x = → 43 ton. de 
 
soja a cada 100 ton. de grãos.
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• Produção de milho → 
58 6
139 7
100 42
,
,
% %× = → 42 ton. 
 
de milho a cada 100 ton. de grãos.
• Produção de arroz → 
12 1
139 7
100 9
,
,
% %× = → 9 ton. de 
 
arroz a cada 100 ton. de grãos.
• Produção de trigo → 
5 4
139 7
100 4
,
,
% %× = → 4 ton. de 
 
trigo a cada 100 ton. de grãos.
• Produção de feijão → 
3 5
139 7
100 3
,
,
% %× = → 3 ton. de 
 
feijão a cada 100 ton. de grãos.
Exemplo 2: Número de alunos matriculados no Ensino 
Médio e população do Brasil
Os diagramas que seguem mostram o nº de alunos 
matriculados no Ensino Médio e a população do Brasil em 
2007.
Número de alunos matriculados no Ensino Médio
(Brasil, 2007)
3.353.266
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
1.147.062
612.231 730.499
2.526.311
Diagrama 2.1: Números de alunos matriculados no 
Ensino Médio no Brasil em 2007.
Fonte: MEC/Inep/Deed.
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População brasileira , 2007
77.873.120
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
26.733.595
13.222.854 14.623.316
51.534.406
Diagrama 2.2: População Brasileira em 2007. 
Fonte: IBGE, contagem da população, 2007.
Valores absolutos do número de alunos matriculados por 
região do Brasil, 2007 (leitura do diagrama 2.1):
• número de alunos matriculados no Ensino Médio na 
região Norte = 730.499;
• número de alunos matriculados no Ensino Médio na 
região Nordeste = 2.526.311;
• número de alunos matriculados no Ensino Médio na 
região Sudeste = 3.353.266;
• número de alunos matriculados no Ensino Médio na 
região Sul = 1.147.062;
• número de alunos matriculados no Ensino Médio na 
região Centro-Oeste = 612.231;
• número total de alunos matriculados no Ensino Médio no 
Brasil = 8.369.369.
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Valores absolutos da população por região do Brasil, 2007 
(leitura no diagrama 2.2):
• população da região Norte = 14.623.316;
• população da região Nordeste = 51.534.406;
• população da região Sudeste = 77.873.120;
• população da região Sul = 26.733.595;
• população da região Centro-Oeste = 13.222.854;
• população total do Brasil = 183.987.291 (soma das 
populações de cada região).
Matriculados por região em relação ao total de alunos 
matriculados no Ensino Médio no Brasil (%)
• Percentual de matriculados na região Norte em relação ao 
total de alunos:
730 499
8 369 369
100 9
.
. .
% %× = .
• Percentual de matriculados na região Nordeste em relação 
ao total de alunos:
2 526 311
8 369 369
100 30
. .
. .
% %× = .
• Percentual de matriculados na região Sudeste em relação 
ao total de alunos:
3 353 266
8 369 369
100 40
. .
. .
% %× = .
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• Percentual de matriculados na região Sul em relação ao 
total de alunos:
1 147 062
8 369 369
100 14
. .
. .
% %× = .
• Percentual de matriculados na região Centro-Oeste em 
relação ao total de alunos:
612 231
8 369 369
100 7
.
. .
% %x = .
População de cada região em relação à população total 
do Brasil (%)
• Percentual da população no Norte em relação à população 
total do Brasil:
14 623 316
183 987 291
100 8
. .
. .
% %× = .
• Percentual da população no Nordeste em relação à 
população total do Brasil:
51 534 406
183 987 291
100 28
. .
. .
% %× = .
• Percentual da população no Sudeste em relação à 
população total do Brasil:
77 873 120
183 987 291
100 42
. .
. .
% %× = .
• Percentual da população no Sul em relação à população 
total do Brasil:
26 733 595
183 987 291
100 15
. .
. .
% %× =
.
5
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• Percentual da população no Centro-Oeste em relação à 
população total do Brasil
13 222 854
183 987 291
100 7
. .
. .
% %× = .
Matriculados no Ensino Médio por região em relação à 
sua população (%)
• Percentual de matriculados (Ensino Médio) na região 
Norte em relação à sua população:
730 499
14 623 316
100 5
.
. .
% %× = .
• Percentual de matriculados (Ensino Médio) na região 
Nordeste em relação à sua população:
2 526 311
51 534 406
100 5
. .
. .
% %× = .
• Percentual de matriculados (Ensino Médio) na região 
Sudeste em relação à sua população:
3 353 266
77 873 120
100 4
. .
. .
% %× = .
• Percentual de matriculados (Ensino Médio) na região Sul 
em relação à sua população:
1 147 062
26 733 595
100 4
. .
. .
%× = .
• Percentual de matriculados (Ensino Médio) na região 
Centro-Oeste em relação à sua população:
612 231
13 222 854
100 5
.
. .
% %× = .
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Questões
Questão 1 (Fuvest 2009 -1ª Fase). O Índice de 
Desenvolvimento Humano (IDH) é um indicador do nível do 
desenvolvimento socioeconômico de um dado país que leva em 
conta, simultaneamente, diversos aspectos, tais como expectativa 
de vida, índice de mortalidade infantil, grau de escolaridade e 
poder de compra da população. A relação entre o consumo anual 
de energia per capita (TEP) e o IDH, em vários países, está indicada 
no gráfico abaixo, no qual cada ponto representa um país.
Países com alto desenvolvimento
Países com médio desenvolvimento
Países com baixo desenvolvimento
1,0
0,8
0,6
0,5
0,4
0,2 0 4 8 12
Consumo anual de energia per capita 
em toneladas equivalentes de petróleo (TED)
ID
H
Fontes: Agência Internacional de Energia – consumo de energia de 2003; 
Organização das Nações Unidas – IDH de 2005.
Com base nesse conjunto de dados, pode-se afirmar que:
a. o IDH cresce linearmente com o consumo anual de energia 
per capita.
b. o IDH aumenta, quando se reduz o consumo anual de 
energia per capita.
c. a variação do IDH entre dois países é inferior a 0,2 dentre 
aqueles cujo consumo anual de energia per capita é maior 
que 4 TEP.
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d. a obtenção de IDH superior a 0,8 requer consumo anual 
de energia per capita superior a 4 TEP.
e. o IDH é inferior a 0,5 para todos os países com consumo 
anual de energia per capita menor que 4 TEP.
Resposta correta: Alternativa C.
Justificativa: O gráfico indica que todos os países com IDH 
entre 0,8 e 1 apresentam consumo anual de energia per capita 
maior que 4 TEP.
Questão 2 (Fuvest 2009 - 1ª fase).
Figura 1: Densidade demográfica em 15 cidades – 1995
Atlanta
Nova York
Perth
Vancouver
Zurique
Munique
Bangkok
Tóquio
São Paulo
Curitiba
Hong Kong
Cracóvia
Bogotá
Xangai
Cidade de Ho 
Chi Minh 400350300250200150100500
Habitantes por hectare
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Figura 2: Consumo de gasolina em transporte particular de 
passageiros em 15 cidades – 1995
Atlanta
Nova York
Perth
Vancouver
Zurique
Munique
Bangkok
Tóquio
São Paulo
Curitiba
Hong Kong
Cracóvia
Bogotá
Xangai
Cidade de Ho 
Chi Minh 300025002000150010005000
Litros por pessoa por ano
Fonte: O estado do mundo em 2007. Nosso futuro urbano (2007 State of the 
world. Our Urban Future). Linda Starke (ed.). Nova Iorque e Londres. W.W. Norton 
& Company, 2007, pg. 69 e 70. Adaptado.
Com base nesses gráficos sobre 15 cidades, pode-se concluir 
que, no ano de 1995,
a. as três cidades com menor número de habitantes, por 
hectare, são aquelas que mais consomem gasolina no 
transporte particular de passageiros.
b. nas três cidades da América do Sul, vale a regra: maior 
população, por hectare, acarreta maior consumo de 
gasolina no transporte particular de passageiros.
c. as cidades mais populosas, por hectare, são aquelas que 
mais consomem gasolina no transporte particular de 
passageiros.
d. nas três cidades da América do Norte, vale a regra: maior 
população, por hectare, acarreta maior consumo de 
gasolina no transporte particular de passageiros.
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e. as três cidades da Ásia mais populosas, por hectare, estão 
entre as quatro com menor consumo de gasolina no 
transporte particular de passageiros.
Resposta correta: Alternativa A.
Justificativa: Os gráficos mostram que quanto maior é a 
densidade demográfica menor é o consumo de gasolina no 
transporte particular de passageiros.
Questão 3. Análise conjunta de dois gráficos.
Os gráficos a seguir ilustram situações referentes à locadora 
de vídeos “Cinema em Casa”.
5000
5000
5000
5000
5000
5000
5000
5000
5000
5000
5000
janeiro fevereiro março abril maio junho
meses (1º semestre de 2009)
nú
m
er
o 
de
 v
íd
eo
s 
al
ug
ad
os
outros
9% romance 
16%
suspense 
30%
terror 
20%
infantil 
25%
Número de locações de vídeos no 1º semestre de 2009 e 
distribuição de filmes alugados por gênero durante o mês de 
junho de 2009.
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• Número de filmes alugados pela locadora “Cinema em 
Casa” em janeiro de 2009: 2.500.
• Número de filmes alugados pela locadora “Cinema em 
Casa” em fevereiro de 2009: 3.000.
• Número de filmes alugados pela locadora “Cinema em 
Casa” em março de 2009: 2.000.
• Número de filmes alugados pela locadora “Cinema em 
Casa” em abril de 2009: 3.500.
• Número de filmes alugados pela locadora “Cinema em 
Casa” em maio de 2009: 4.500.
• Número de filmes alugados pela locadora “Cinema em 
Casa” em junho de 2009: 4.000.
Mês de junho: total de filmes alugados no mês de junho 
de 2009 = 4000.
Locações de “romance” (junho de 2009): 16% de 4000 = 
16
100
4000 640× = .
Locações de “suspense” (junho de 2009): 30% de 4000 = 
30
100
4000 1200× = .
Locações de “terror” (junho de 2009): 20% de 4000 = 
20
100
4000 800× = .
Locações de “infantil” (junho de 2009): 25% de 4000 = 
25
100
4000 1000× = .
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Locações de “outros” (junho de 2009): 9% de 4000 = 
9
100
4000 360× = .
Variação percentual do número de filmes alugados de 
janeiro a junho de 2009: no período de janeiro a junho de 
2009 o número de locações passou de 2500 para 4000.
Variação no número de locações no período = 4000 - 2500 
= 1500.
Por regra de três temos: 2.500 – 100%1.500 – X .
Ou seja, 2.500.x=1.500x100 → x = 150.000/2.500 = 60%.
Ou podemos calcular a fração 
1 500
2 500
100 60
.
.
. % %= .
O número de locações teve aumento de 60% de janeiro a 
junho de 2009.
Variação percentual do número de filmes alugados de 
fevereiro a março de 2009: no período de fevereiro a março 
de 2009 o número de locações passou de 3000 para 2000.
Variação no número de locações no período = 2000 - 3000 
= -1000.
Por regra de três temos: 3.000 – 100%1.000 – X .
Ou seja, 3000.x=-1000x100 → x = -100000/300 = -33,3%.
Ou podemos calcular a fração 
− = −1000
3000
100 33 3. % , % .
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O número de locações teve diminuição de 33,3% de fevereiro 
a março de 2009.
Referências bibliográficas
BUSSAB, Wilton; MORETTIN, Pedro. Estatística básica. 5. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2004.
CRESPO, Antonio A. Estatística fácil. 19. ed. São Paulo: Saraiva, 
2009.
GRÁFICOS. Disponíveisem: < http://office.microsoft.com/pt-br/
help/HA012337371046.aspx#ColumnCharts>. 
LARSON, Farber. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2004.
LAURICELLA, Christiane Mazur. Apostila, tabelas, gráficos e 
diagramas. Material cedido (23/04/2010).
MONTEIRO, Eduardo Ferreira. Interpretação de gráficos: 
atividade social e conteúdo de ensino. Disponível em: 
<http://www.seed.pr.gov.br/portals/roteiropedagogico/
publicacao/4357_Texto_Monteiro.pdf>.
SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; 
GONÇALVES, Valter; et alli. Estatística para os cursos de: 
Economia, Administração, Ciências Contábeis. 2. ed. São Paulo: 
Atlas, 1997.
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