Prova 2 equações diferenciais (2)

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1. O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma 
combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. O 
que é realizado é a soma das derivadas parciais em cada direção dada na função de várias 
variáveis. Dada a função f(x,y) = 1/xy, analise as sentenças a seguir: 
 
I- O diferencial total de f é xy. 
II- O diferencial total de f é 1/xy. 
III- O diferencial total de f é 1/y² + 1/x². 
IV- O diferencial total de f é x² + y². 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a sentença I está correta. 
 b) Somente a sentença III está correta. 
 c) Somente a sentença II está correta. 
 d) Somente a sentença IV está correta. 
 
2. As funções delimitam os espaços que serão analisados pelo conceito de integral. Deste 
modo, calcule a área da região limitada pelas funções y = x, y = 3x e x + y = 4. 
 a) Área = 3. 
 b) Área = 1. 
 c) Área = 2. 
 d) Área = 0. 
 
3. O cálculo de área de figuras irregulares também pode ser analisado pelo conceito de 
integral. Deste modo, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) A opção I está correta. 
 b) A opção IV está correta. 
 c) A opção II está correta. 
 d) A opção III está correta. 
 
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4. No cálculo, a diferenciação implícita é um meio de derivar equações implícitas, ou seja, 
funções onde y não está definido como função explícita de x. Em outras palavras, são 
equações onde não temos de um modo explícito uma relação entre as duas variáveis pela 
qual possamos escrever y = f(x). Baseado na função f(x,y) = x² + 5y², assinale a opção que 
apresenta o resultado correto para dy/dx: 
 a) -x/2y 
 b) x/y 
 c) -x/5y 
 d) 2x/10y 
 
5. Para retomar o processo de cálculo utilizando integrais duplas, calcule a integral iterada a 
seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) A opção IV está correta. 
 b) A opção II está correta. 
 c) A opção III está correta. 
 d) A opção I está correta. 
 
6. O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo 
Diferencial e Integral para duas dimensões, para o espaço tridimensional. Com isto, 
podemos generalizar vários casos existentes e que antes não eram acessados. Baseado 
nisto, dada a função f(x,y) = 3x²y, analise as sentenças a seguir: 
 
I- f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano. 
II- A soma de suas derivadas parciais é x.(6y + 3x). 
III- A soma de suas derivadas parciais é 6xy² + y². 
IV- O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As sentenças II e III estão corretas. 
 b) As sentenças I e III estão corretas. 
 c) As sentenças III e IV estão corretas. 
 d) As sentenças I, II e IV estão corretas. 
 
7. Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de 
uma direção. Baseado nisto, calcule a taxa que está crescendo a área de um retângulo se 
seu comprimento é de 10 cm e está crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s enquanto que sua 
largura é de 8 cm e está crescendo 0,2 cm/s. Em seguida, assinale a alternativa CORRETA: 
 a) 9 cm²/s. 
 b) 6 cm²/s. 
 c) 6,6 cm²/s. 
 d) 0,7 cm²/s. 
 
8. A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis. Além de 
calcular áreas e volumes definidos por funções de mais de uma variável, este conceito 
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também possui aplicações na área da física, como, por exemplo, no cálculo do centro de 
massa de um corpo. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para 
as falsas sobre as integrais abaixo quanto a sua relação com a região compreendida entre y 
= 5 - x² e y = x + 3. Em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência 
CORRETA: 
 
 a) F - F - F - V. 
 b) V - F - F - F. 
 c) F - F - V - F. 
 d) F - V - F - F. 
 
9. Calculando por integral dupla, a área da região limitada pelas curvas y=x² e y=4, obtemos: 
 a) Área igual a 11/3 u.a. 
 b) Área igual a 16 u.a. 
 c) Área igual a 20/3 u.a. 
 d) Área igual a 32/3 u.a. 
 
10. Leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) O valor é 4. 
 b) O valor é 6. 
 c) O valor é 7. 
 d) O valor é 2. 
 
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