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MAT01167 - Lista de Exercícios no. 1 - Equações dif. ordinárias de 1
a
 ordem - parte 1 
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"Na vida não há prêmios nem castigos, mas sim consequências." (Robert G. Ingersoll) 
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Nos problemas desta lista de exercícios, você deve verificar se a equação diferencial envolvida 
é a variáveis separáveis (e em caso afirmativo, usar o método de resolução deste tipo de 
equação diferencial), e também deve verificar se é linear de 1ª ordem não homogênea (e em 
caso afirmativo, usar o método de resolução deste tipo de equação diferencial). Faça os 
gráficos de suas soluções e, se a equação diferencial for autônoma, faça também o estudo 
qualitativo do comportamento das soluções, antes de resolver a equação diferencial. 
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1. Seja 𝑄(𝑡), o saldo em $ de uma caderneta de poupança, ao final de 𝑡 anos, e suponha que 
satisfaça a equação diferencial 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 0,05𝑄 − 10.000 
 
(a) Faça um gráfico de 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
× 𝑄. 
 
(b) Sabendo que, após um ano, o saldo será de $ 150.000, o saldo estará crescendo ou 
decrescendo nesse momento? Com qual taxa estará crescendo ou decrescendo? 
 
(c) Sem resolver a equação diferencial, esboce o gráfico do comportamento do saldo desta 
poupança, para 𝑡 ≥ 1 ano. 
 
(d) Mostre que se trata de uma equação diferencial a variáveis separáveis, e use o método de 
resolução das equações diferenciais a variáveis separáveis, para determinar 𝑄(𝑡) que satisfaz a 
equação diferencial dada, juntamente com a condição especificada em (b). 
 
(e) Mostre que se trata de uma equação diferencial linear de 1ª ordem não homogênea,e use o 
método de resolução das equações diferenciais lineares de 1ª ordem não homogêneas, para 
determinar 𝑄(𝑡) que satisfaz a equação diferencial dada, juntamente com a condição 
especificada em (b). 
 
(f) O saldo desta poupança poderá vir a zerar após certo número de anos 𝜏? Em caso afirmativo, 
determine o valor de 𝜏. 
 
 
2. Seja 𝑃(𝑡), o tamanho de uma população após 𝑡 dias, e suponha que satisfaça o seguinte 
problema de valor inicial: 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0,05𝑃;
𝑃 0 = 1.000.
 
 
(a) Descreva, em palavras, este problema de valor inicial. 
 
(b) Faça um gráfico de 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
× 𝑃. 
 
(c) Marque, neste gráfico, o valor de 𝑃(0) e explique como irá variar 𝑃(𝑡), com o passar do 
tempo. 
 
(d) Sem resolver a equação diferencial, faça um esboço do gráfico da solução, 𝑃(𝑡) em função 
de 𝑡, deste problema de valor inicial. 
 
(e) Com que rapidez a população estará crescendo quando contiver 3.000 indivíduos? 
 
(f) Resolva o problema de valor inicial estabelecido acima. 
3. Uma pessoa faz um empréstimo de $ 100.000 em um banco que cobra 7,5% de juros anuais 
compostos continuamente. Qual deverá ser a taxa anual de pagamentos, para que o empréstimo 
seja pago exatamente em 10 anos? (Suponha que os pagamentos sejam efetuados continuamente 
ao longo do ano.) 
 
 
 
4. Planejando sua aposentadoria, uma pessoa efetua depósitos contínuos em uma conta de 
poupança, à taxa de $ 3.600 por ano. Sabendo que a conta de poupança rende 5% de juros 
anuais, compostos continuamente, e sendo zero o saldo inicial, determine quanto dinheiro 
haverá na conta ao final de 25 anos. 
 
 
 
5. De acordo com o relatório do Federal House Finance Board, o preço médio nacional de 
residências familiares, em outubro de 2001, era de $ 219.600. Nesta mesma época, a taxa média 
de juros anuais pré-fixada de uma hipoteca convencional de 30 anos era de 6,76% compostos 
continuamente. Uma pessoa comprou uma casa pelo preço médio, pagou 10% do preço no 
momento da compra, e financiou o restante com uma hipoteca de 30 anos com taxa pré-fixada. 
Suponha que a pessoa efetuou pagamentos contínuos, a uma taxa anual constante A. 
 
(a) Determine a taxa de pagamento anual requerida para quitar o empréstimo em 30 anos. 
 
(b) Determine o total de juros pagos durante a hipoteca. 
 
 
 
6. Vinte anos antes de sua aposentadoria, Kelly abriu uma conta de poupança com rendimentos 
de 5% ao ano compostos continuamente, e contribuiu para essa conta a uma taxa anual de $ 
1.200 durante 20 anos. Por outro lado, dez anos antes de sua aposentadoria, John abriu uma 
conta de poupança que também rendia a uma taxa anual de 5% compostos continuamente, e sua 
taxa anual de contribuição foi de $ 2.400 durante 10 anos. Pergunta-se: No momento da 
aposentadoria, quem tinha mais dinheiro na conta? (Suponha que as contribuições eram feitas 
continuamente.) 
 
 
 
7. Depois de depositar um montante de $ 10.000 em uma conta de poupança que rende 4% de 
juros anuais compostos continuamente, uma pessoa continuou efetuando depósitos durante um 
certo tempo, e, depois, começou a fazer retiradas. Representando por 𝑡, o número de anos 
depois que a conta foi aberta, tem-se que a taxa anual de depósitos era de (3.000 – 500 𝑡) 
dólares por ano. (Taxas negativas de depósito correspondem a retiradas.) 
 
(a) Faça um gráfico da taxa anual de depósitos em função do tempo. 
 
(b) A partir do gráfico traçado em (a), determine durante quanto tempo a pessoa contribuiu para 
a conta, antes de começar a retirar dinheiro. 
 
(c) Determine a quantidade 𝑄(𝑡) de dinheiro na conta, 𝑡 anos após o depósito inicial. (Suponha 
que tanto os depósitos quanto as retiradas tenham sido feitos continuamente.) 
 
(d) Faça um gráfico da solução determinada em (c) e, a partir daí, determine aproximadamente 
após quantos anos, o saldo da conta estará zerado. 
 
 
8. Considere uma lagoa que contém, inicialmente, 10 milhões de galões de água fresca. Água 
contendo um produto químico indesejável flui para a lagoa a uma taxa de 5 milhões de 
galões/ano e a mistura sai da lagoa à mesma taxa. A concentração 𝛾(𝑡) do produto químico na 
água que entra varia periodicamente com o tempo 𝑡, de acordo com 𝛾 𝑡 = 2 + sen (2𝑡) 
gramas/galão. Representando por 𝑄(𝑡) a quantidade, em gramas, de produto químico na lagoa 
em um instante de tempo 𝑡, temos: 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= taxa de entrada − taxa de saída, 
 
onde, em 
gramas
ano
, temos: 
taxa de entrada =
 5 × 106 galões
ano
∙ 2 + 2sen 2𝑡 
gramas
galão
 
e, como a concentração de produto químico na lagoa é 
𝑄(𝑡)
107
gramas
galão
, escrevemos: 
 
taxa de saída =
 5 × 106 galões
ano
∙
𝑄(𝑡)
107
gramas
galão
 
e, assim, o problema de valor inicial que descreve a situação é: 
 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 5 × 106 ∙ 2 + sen 2𝑡 − 5 × 106 ∙
𝑄(𝑡)
107
𝑄 0 = 0
 
 
(a) Faça a mudança de variável 
𝑞 𝑡 =
𝑄(𝑡)
106
, 
 
obtenha um novo problema de valor inicial para 𝑞(𝑡). 
 
(b) Determine uma expressão para a solução 𝑞(𝑡) do problema de valor inicial que você 
estabeleceu em (a). 
 
(c) Faça o gráfico desta solução, juntamente com o da reta 𝑞 𝑡 = 20 e descreva em palavras o 
efeito da variação na concentração da água que entra na lagoa. 
 
 
9. Em 1988, três testes independentes de datação do Sudário de Turim (Itália) revelaram que a 
quantidade de carbono 14 no tecido de linho estava entre 99,119% e 99,275% do que foi 
encontrado num tecido novo. Sabendo que o processo de decaimento de uma quantidade 𝑥 de 
carbono 14 é descrito pela equação diferencial 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −0,00001216 𝑥, pergunta-se: Quando foi 
feito o sudário? 
 
 
10. Um filé de salmão, inicialmente a 50℉, é preparado num forno a uma temperatura constante 
de 400℉. Considere que o processo de cozimento seja descrito pela equaçãodiferencial 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎) , 
onde 𝑇(𝑡) é a temperatura do filé de salmão em algum instante 𝑡 e 𝑇𝑎 é a temperatura do forno. 
Sabendo que, após 10 minutos, a temperatura do filé é de 150℉, pergunta-se: Quanto tempo 
leva até que o salmão atinja a temperatura de 200℉? 
 
11. Suponha que, no instante 𝑡 = 0 , são investidos $5.000 em uma conta de poupança, na qual 
os juros são continuamente capitalizados a uma taxa constante de 5,5% ao ano. Supondo que, 
além do depósito inicial, não haja mais nem depósitos nem retiradas, determine qual será o 
montante após 3 anos. Quanto tempo leva para duplicar o valor inicial? Este tempo depende do 
valor inicial? 
12. Em 1960, o ano no qual o cientista americano Willard Frank Libby (1908 - 1980) recebeu o 
Prêmio Nobel de Química pelo seu trabalho em técnicas de datação arqueológica, um grupo de 
especialistas do Royal British Museum em Londres verificava se um objeto de arte encontrado 
no túmulo de Tutancâmon foi criado durante o período do faraó, ou pertencia, como alguns 
historiadores alegavam, a um período anterior. Sabendo que Tutancâmon morreu 
aproximadamente em 1352 a.C., qual deveria ser a percentagem de carbono 14 no objeto, se ele 
tivesse sido criado durante o período de Tutancâmon? 
(Dado: O processo de decaimento de uma quantidade 𝑥 de carbono 14 é descrito pela equação 
diferencial 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −0,00001216 𝑥) 
 
13. Qual é a meia-vida 𝑡1
2
 do criptônio 85 (i.é, o tempo até que um elemento se reduza à metade 
da sua quantidade inicial), sabendo que sua taxa de decaimento é de 6,3% ao ano? 
 
14. A temperatura de um líquido é de 90℉ e a temperatura da sala é de 65℉. Se o líquido esfria 
até 84℉ em 5 minutos, qual será a sua temperatura após 15 minutos? 
(Dado: Considere que o processo de esfriamento da temperatura do líquido seja descrito pela 
equação diferencial 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎) , 
onde 𝑇(𝑡) é a temperatura do líquido em algum instante 𝑡 e 𝑇𝑎 é a temperatura da sala.) 
 
15. No final de cada mês, Wilbert deposita uma quantia fixa em uma caderneta de poupança, 
porque ele quer juntar dinheiro para comprar um carro. O carro que Wilbert quer comprar custa 
$12.400. Atualmente, ele já tem $5.800 nesta poupança. Sabendo que a poupança lhe rende 
0,6% de juros mensais compostos continuamente, e sabendo que o seu salário mensal é de 
$2.600, calcule qual deverá ser o valor máximo de despesas mensais, para que ele consiga 
poupar o suficiente para comprar o seu carro à vista dentro de um ano. 
(OBS: Você deverá calcular quanto ele precisará depositar mensalmente nesta poupança, supondo depósitos 
efetuados continuamente, para depois ver quanto lhe sobrará para as suas despesas mensais.) 
 
Representando por 𝑄(𝑡) o saldo nesta caderneta de poupança daqui a 𝑡 meses, e sendo 𝐾 a 
quantia mensalmente depositada por Wilbert nesta conta, tem-se o seguinte problema de valor 
inicial: 
 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 0,006 𝑄 + 𝐾
𝑄 0 = 5.800
 
 
(a) Explique o que significa cada termo da equação diferencial. 
 
(b) Resolva este problema de valor inicial. 
 
(c) Para determinar o valor de 𝐾, você deverá impor que, daqui a 12 meses, 𝑄 seja igual a 
$12.400; ou seja, a solução 
𝑄 𝑡 = 5.800 +
𝐾
0,006
 𝑒0,006𝑡 −
𝐾
0,006
 
que você deve ter determinado acima, deverá satisfazer a condição 
𝑄 12 = 12.400 
Mostre que 
𝐾 = 0,006 
12.400 − 5.800 𝑒0,0072
𝑒0,0072 − 1
 
 
(d) Sabendo que, efetuando os cálculos, obtém-se 
𝐾 ≅ 495,64 
e lembrando que o salário mensal de Wilbert é de $2.600, determine qual deverá ser o valor 
máximo de despesas mensais, para que ele consiga poupar o suficiente para comprar o seu carro 
à vista dentro de um ano. 
 
 Respostas 
 
1. (b) decrescendo a uma taxa de $ 2,5 ∙ 103 por ano. 
 (d) e (e) 𝑄 𝑡 ≅ $ (2 − 0,48𝑒0,05𝑡) ∙ 105 
 (f) 𝜏 ≅ 28,6 anos. 
 
2. (a) A população cresce a uma taxa per capita de 5% ao dia. 
 (c) Com o passar do tempo, a população crescerá cada vez mais rapidamente. 
 (e) 150 indivíduos por dia. 
 (f) 𝑃 𝑡 = 1.000𝑒0,05𝑡 indivíduos, para 𝑡 em dias. 
 
3. Aproximadamente $ 14.214 por ano. 
 
4. Aproximadamente 179.305 dólares. 
 
5. (a) Aproximadamente $ 15.385 por ano. 
 (b) Aproximadamente 263.914 dólares. 
 
6. Kelly. 
 
7. (b) 6 anos. 
 (c) 𝑄 𝑡 = (237.500 + 12.500𝑡 − 227.500𝑒0,04𝑡) dólares. 
 (d) Aproximadamente 17,2 anos. 
 
8. (a) 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 
1
2
𝑞 = 10 + 5 sen 2𝑡
𝑞 0 = 0
 
 
 (b) 𝑞 𝑡 = 20 −
40
17
cos 2𝑡 +
10
17
𝑠𝑒𝑛 2𝑡 −
300
17
𝑒−
𝑡
2 
 
9. O sudário foi feito em algum ano entre 1260 e 1390. 
 
10. Após aproximadamente 16,63 minutos. 
 
11. Após 3 anos, o montante será de $5.896,97; o tempo para duplicar é de aproximadamente 
12,60 anos, e independe do valor inicial. 
 
12. Deveria ser 96,05%. 
 
13. 𝑡1
2
=11,002 anos. 
 
14. Após 15 minutos, a temperatura do líquido será de 75,96℉.