Aula_III

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Apostila: Professor Raphael Paulo Braga Poubel 
 
Aula III: Vetores 
 
 
Produto Escalar 
 
 Considere dois vetores ⃗ e não nulos. Tomemos o ponto , e sejam tais 
que ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Seja θ a medida em radianos [graus] do ângulo POQ satisfazendo 0≤θ≤π 
[0≤θ≤180º]: 
 
Definição: O número θ é chamado de medida, em radianos ou graus, do ângulo entre ⃗ e ⃗ 
 
Nosso objetivo é encontrar uma expressão que nos forneça θ em termos de ⃗ e ⃗ . Para isto 
fixemos uma base ortonormal ( , , ⃗ ). 
Sejam os vetores ⃗ e . Sabemos que o módulo de ⃗ e ⃗ é dado 
por: 
‖ ⃗ ‖ √ ‖ ‖ √ 
 
Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo POQ resulta: 
 
‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖
 
 ‖ ⃗ ‖ ‖ ‖ ‖ ⃗ ‖‖ ‖ 
 
Mas: 
‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖
 
 ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖
 
 ‖ ⃗ ⃗ ‖ ‖ ‖ 
 
 
Logo: 
‖ ⃗ ‖‖ ‖ 
Apostila: Professor Raphael Paulo Braga Poubel 
 
A expressão nos permite encontrar a partir do módulo dos vetores e o produto de suas 
componentes. 
 
Definição: Chama-se dos vetores ⃗ e ao número ⃗ , dado por: 
 
 ⃗ {
 
‖ ⃗ ‖‖ ‖ 
 ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 
 
 
De acordo com o que já foi apresentado: 
 ⃗ 
 
Caso ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , então: 
 
 ⃗ 
‖ ⃗ ‖‖ ‖
 
Da definição, podemos concluir que: 
‖ ⃗ ‖ √ ⃗ ⃗ 
pois ⃗ ⃗ = = =‖ ⃗ ‖ 
 
Propriedades: 
 
1- ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ 
2- ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 
3- ⃗ ⃗ 
4- ⃗ ⃗ ≥0 
5- Se e ⃗ forem ortogonais, ⃗ =0 
 
 
 
 
 
Apostila: Professor Raphael Paulo Braga Poubel 
 
Exercícios: 
 
1- Ache a medida do ângulo entre os vetores ⃗ e . 
2- Demonstre a desigualdade de Schwarz: 
| ⃗ | ‖ ⃗ ‖‖ ‖