Aula_XI

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Apostila: Professor Raphael Paulo Braga Poubel 
 
Aula XI: Matrizes 
 
Operações com Matrizes 
 
Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas operações. 
 
Adição 
 
A soma de duas matrizes de mesma ordem Amxn[aij] e Bmxn=[bij] é uma matriz mxn que 
denotamos por A+B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B, isto 
é: 
A+B = [aij + bij]mxn 
Exemplo: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
 
 
Propriedades: 
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem, temos: 
 
I) A+B=B+A 
II) A+(B+C)=(A+B)+C 
III) A+0 
 
Multiplicação por escalar 
 
Seja A=[aij]mxn e K um número real, temos: 
 
KA==[kaij]mxn 
 
Apostila: Professor Raphael Paulo Braga Poubel 
 
Exemplo: 
 [
 
 
 
] 
 
 
 
 
Propriedades: 
I) K(A+B)=KA+KB 
II) (K1+K2)A=K1A + K2A 
III) 0A=0(matriz nula) 
IV) K1(K2A)=(K1K2)A 
 
Transposição de Matrizes 
 
Dada uma matriz A=[aij]mxn, podemos obter uma outra matriz A’=[bij]nxm cujas linhas são as 
colunas de A. 
Exemplo: 
 [
 
 
 
]; 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
I) Uma matriz é simétrica se e somente se ela for igual a sua transposta. 
II) A’’=A 
III) (A+B)’=A’+B’ 
IV) (KA)’=K(A’) 
 
 
Apostila: Professor Raphael Paulo Braga Poubel 
 
Multiplicação de matrizes 
 
Sejam Amxn e Bnxp definimos AB=Cmxp. 
 
Observações: 
Só se pode realizar a multiplicação de matrizes se o número de colunas da primeira matriz for 
igual ao número de linhas da segunda matriz. 
O elemento Cij da matriz resultante é obtido multiplicando os elementos da linha i da primeira 
matriz pelo elemento j da segunda matriz e somando estes produtos. 
Propriedades: 
V) Em geral AB≠BA 
VI) AI=IA=A 
VII) (A+B)C=AC+BC 
VIII) A(B+C)=AB+AC 
IX) (AB)C=A(BC) 
X) (AB)’=B’A’ (OBS: Ordem) 
XI) 0A=0 e A0=0 (0=matriz nula)