Geometria Analítica e Cálculo Vetorial - Volume e Produto Misto

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Geometria Anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial - Aula 4
Alex Abreu
Conteu´do
1 Volume e produto misto 1
2 Retas, ep´ılogo 2
3 Planos, ep´ılogo 3
1 Volume e produto misto
Sejam u, v e w vetores no espac¸o. Tais vetores formam um paralelep´ıpedo como na figura abaixo.
Sabemos que o volume do paralelep´ıpedo e´ dado pela fo´rmula S =Base×Altura. O que traduz para
S = |u⊗ v|h. Mas como u⊗ v e´ perpendicular a plano formado por u e v a altura h e´ dada pela
fo´rmula h = |w| cos(θ) onde θ e´ o aˆngulo formado por w e u⊗ v. Logo ficamos com
S = |u⊗ v||w|| cos(θ)| = |〈u⊗ v,w〉|
u
w
v
h
u⊗ v
θ
Definimos o produto misto (ou determinante) dos vetores u, v e w por
det(u,v,w) = 〈u⊗ v,w〉
Proposic¸a˜o 1 O produto misto e´ trilinear e antisime´trico. Isto e´, tem as seguintes propriedades:
1. det(tu1 + u2,v,w) = t det(u1,v,w) + det(u2,v,w)
2. det(u, tv1 + v2,w) = t det(u,v1,w) + det(u,v2,w)
3. det(u,v, tw1 +w2) = t det(u,v,w1) + det(u,v,w2)
4. det(u,v,w) = − det(u,v,w) = − det(w,v,u) = − det(v,u,w)
5. det(e1, e2, e3) = 1
Prova. A trilinearidade segue da bilinearidade tanto do produto vetorial quanto do produto in-
terno. Para provar a antisimetria, primeiro note que det(u,v,u) = 0, pois claramente o volume do
paralelep´ıpedo e´ 0, isto significa que sempre que dois vetores forem iguais o determinante e´ 0. Da´ı
podemos concluir
det(u+w,v,u+w) = 0 dois vetores iguais
det(u,v,u) + det(u,v,w) + det(w,v,u) + det(w,v,w) = 0
det(u,v,w) + det(w,v,u) = 0
det(u,v,w) = − det(w,v,u).
1
Por u´ltimo, temos det(e1, e2, e3) = 〈e1 ⊗ e2, e3〉 = 〈e3, e3〉 = 1.
Cabe notar que so´ existe uma func¸a˜o que satisfaz as propriedades da Proposic¸a˜o 1. Se u =
(x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3), enta˜o
det(u,v,w) = det


x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3


= x1y2z3 + y1z2x3 + z1x2y3 − x1z2y3 − y1x2z3 − z1y2x3
Agora temos um crite´rio eficiente de coplanaridade. Os pontos A, B, C e D sa˜o coplanares se
e somente se vale que
det(B −A,C −A,D −A) = 0.
2 Retas, ep´ılogo
Ja´ vimos duas formas de representar a reta, uma geral:
l = {P |∃t ∈ R com P = A+ t(B −A)} (1)
Onde A e B sa˜o dois pontos distintos na reta. E vimos tambe´m uma que vale so´ para retas no
plano:
l = {P |〈n, P 〉 = 〈n, A〉} (2)
Onde A e´ um ponto na reta e n um vetor normal.
Da Equac¸a˜o 2, tiramos a bem conhecida equac¸a˜o da reta no plano. Se n = (a, b) e c := 〈n, A〉
(note que n e A esta˜o fixos), enta˜o o ponto P = (x, y) esta´ na reta se e somente se
ax+ by = c. (3)
Ja´ da Equac¸a˜o 1, tiramos a chamada equac¸a˜o parame´trica da reta. Se A = (a1, b1) e B − A =
(a2, b2) enta˜o o ponto P = (x, y) esta´ na reta se e somente se
x = a1 + ta2
y = b1 + tb2
para algun t real. Note que se isolarmos o t nas equac¸o˜es acima, chegamos em algo do tipo:
x− a1
a2
=
y − b1
b2
que apo´s simplificac¸o˜es e´ da forma da Equac¸a˜o 3.
Agora vamos ver retas no espac¸o. Sabemos que para retas no espac¸o a Equac¸a˜o 2 na˜o funciona
mais. Mas a Equac¸a˜o 1 ainda serve. Portanto temos ainda a equac¸a˜o parame´trica da reta. Se
A = (a1, b1, c1) e B−A = (a2, b2, c2), enta˜o o ponto P = (x, y, z) esta´ na reta definida pelos pontos
A e B se e somente se
x = a1 + ta2
y = b1 + tb2
z = c1 + tc2
para algum t real. De novo, se isolarmos o t ficamos com
x− a1
a2
=
y − b1
b2
=
z − c1
c2
(4)
que e´ chamada equac¸a˜o reduzida (ou equac¸a˜o sime´trica) da reta (note que essa forma so´ vale quando
a2, b2, c2 6= 0, fica como exerc´ıcio estudar os outros casos).
Por fim, sabemos que u ⊗ v = 0 se e somente se a a´rea do paralelogramo formado por u e v
e´ 0, ou seja, se e somente se os vetores u e v tem a mesma direc¸a˜o. Portanto, se na Equac¸a˜o 1,
chamarmos v := B −A e aplicarmos o produto vetorial no ponto P na reta ficamos com:
v ⊗ P = v ⊗ (A+ tv)
= v ⊗A+ t(v ⊗ v)
= v ⊗A
2
portanto podemos escrever:
l = {P |v⊗ P = v ⊗A} (5)
Cabe notar tambe´m que uma reta e´ intersec¸a˜o de dois planos, e logo quando virmos a Equac¸a˜o 8
poderemos descrever a reta como o sistema abaixo. Ou seja, o ponto P = (x, y, z) esta´ na reta se e
somente se
a1x+ b1y + c1z = d1
a2x+ b1y + c1z = d2
para a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2 apropriados.
Atenc¸a˜o. As equac¸o˜es da reta na˜o sa˜o u´nicas, por exemplo as equac¸o˜es 3x+y = 1 e −6x−y =
−2 representam a mesma reta. Da mesma forma que se escolhermos outros pontos C e D a reta
ficara´ da forma
l = {P |∃t ∈ R com P = C + t(D − C)}.
3 Planos, ep´ılogo
Como para a reta, ja´ vimos duas formas de caracterizar o plano. A primeira, se temos 3 pontos A,
B e C no plano α enta˜o
α = {P |∃t, s ∈ R com P = A+ t(B −A) + s(C −A)}. (6)
E a segunda, se temos A um ponto no plano e n um vetor perpendicular ao plano, enta˜o
α = {P |〈n, P 〉 = 〈n, A〉}. (7)
Da Equac¸a˜o (7), tiramos a equac¸a˜o geral do plano. Se n = (a, b, c) e d := 〈n, A〉, enta˜o o ponto
P = (x, y, z) esta´ no plano α se e somente se
ax+ by + cz = d. (8)
E dada a equac¸a˜o geral do plano conseguimos facilmente obter um vetor normal n, simplesmente
fazendo n = (a, b, c).
Ja´ da Equac¸a˜o (6), tiramos a equac¸a˜o parame´trica do plano. Se A = (a1, b1, c1), B − A =
(a2, b2, c2) e C −A = (a3, b3, c3), enta˜o o ponto P = (x, y, z) esta´ no plano se e somente se
x = a1 + ta2 + sa3
y = b1 + tb2 + sb3
z = c1 + tc2 + sc3.
Note que se eliminarmos t e s do sistema acima, recairemos numa equac¸a˜o da forma da Equac¸a˜o (8).
Um outro jeito de chegarmos a equac¸a˜o geral do plano, e´ usando o crite´rio de coplanaridade
feito no fim da sec¸a˜o 1 (trocando D por P ). Ou seja, o ponto P esta´ no plano α se e somente se
det(P −A,B −A,C −A) = 0, ou
α = {P | det(P −A,B −A,C −A) = 0}.
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