Aula 4 - Equações Homogêneas - Exercícios

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Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 4: Equações Diferenciais Homogêneas e Equações Diferenciais Exatas-Exercícios 
 
1) Resolva a equação diferencial dada usando uma 
substituição apropriada. 
 
a) 
  0x y dx xdy  
 
b) 
( 2 ) 0xdx y x dy  
 
c) 
0
y
xy xe dx xdy
 
   
 
 
 
 
2) Resolva a equação diferencial dada sujeita à 
condição inicial indicada 
a)
2 3 3dyxy y x
dx
 
 e 
(1) 2y 
 
b) 
( ) 0
y y
x xx ye dx xe dy  
 e 
(1) 0y 
 
 
 
3) Verifique que a equações são exatas e resolva: 
 
a) 
 2 1 (3 7) 0x dx y dy   
 
b) 
  35 4 (4 8 ) 0x y dx x y dy   
 
c)
  cos cos 0tgx senxseny dx x ydy  
 
 
 
4) Um satélite tem seu movimento descrito pelo 
sistema de equações: 
 
2
dx
x y
dt
dy
x y
dt

  

   

 
 
Se 
      0 , 0 1,0x y 
, mostre que o satélite se 
desloca sobre uma elipse 
 
2 2 1x y y  
. 
 
 
5) Considere um fluido em escoamento 
bidimensional, com campo de velocidade dado por 
 
 2 ( )v y x i y x j   
 
 
Mostre que as trajetórias descritas pelas partículas do 
fluido são elipses 
 
2 2x y y k  
. 
Gabarito 
 
1) 
a)
lnx x y cx 
 
b)
( )ln ( )x y x y y c x y    
 
c)
ln
y
xx e c

 
 
 
 
2) 
a)
3 3 33 ln 8y x x x 
 
b)
ln 1
y
xx e 
 
 
 
3) 
a)
2 23 7
2
x x y y c   
 
b) 
2 45 4 2
2
x xy y c  
 
c)
ln cos cos senx x y c  
 
 
 
4) Demonstração 
 
 
5) Demonstração