2019_2001EC1_-_Aula_13_-_Retas_e_suas_posições_relativas_-_2_de_abril_tarde

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Retas
Equação Vetorial da Reta
⚫ Seja a reta r aquela que passa pelo ponto 
A e tem direção de um vetor não nulo , 
temos que se e somente se e 
sejam paralelos.
v
P r AP v
,AP t v t R=  
v
P
i
j
k
A
,P A t v t R− =  
,P A t v t R= +  
Equações Cartesianas
Equação Vetorial: Dados , 
e , temos que a 
equação vetorial da reta r:
( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , , ,x y z x y z t a b c t R= +  
( ), ,P x y z=
( )1 1 1, ,A x y z= ( ), ,v a b c=
,P A t v t R= +  
:r
:r
Exercício
Determinar uma equação vetorial da 
reta r que passa pelos pontos A(3,0,-5) 
e B(7,4,-7).
Equações Cartesianas
Equações Paramétricas
Da equação vetorial da reta r temos que:
( ) ( ) ( )1 1 1: , , , , , , ,r x y z x y z t a b c t R= +  
1
1
1
: ,
x x ta
r y y tb t R
z z tc
= +

= +  
 = +
Assim temos as equações paramétricas da 
reta r dadas por:
Equações Cartesianas
Equação Simétrica
Das equações paramétricas da reta r temos 
que:
Assim para temos que:
1
1
1
: ,
x x ta
r y y tb t R
z z tc
− =

− =  
 − =
0, 0, 0a b c  
1 1 1:
x x y y z z
r
a b c
− − −
= =
Exercícios
1. Dar nas 3 formas a equação da reta que passa em 
A(3,-4,10) na direção do vetor . 
2. Idem ao anterior considerando a reta que passa 
nos pontos A(3,5,8) e B(4,3,2).
3. Seja a reta t dada por:
a. Dar um vetor que a direciona
b. Dar um ponto da reta
c. Escrever as outras formas de sua equação
d. Dar um ponto da reta de abscissa 5.
e. Dar um ponto da reta de ordenada ¾.
2 4 8v i j k= + −
3 2 5
1
2 3 2
x y z− +
= = − −
Equações Cartesianas
Equações Reduzidas
Considerando cada igualdade das equações 
simétricas da reta r em separado, e para
temos que:
0, 0, 0a b c  
1 1
1 1
x x y y
a b
x x z z
a c
− −
=

− − =


( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
b x x a y y
c x x a z z
 − = −

− = −
Equações Cartesianas
Equações Reduzidas: Para
0a 

1 1
1 1
ay bxb
y x
a a
az cxc
z x
a a
−
= +

− = +

1 1 1 1, ,
ay bx az cxb c
m n p e q
a a a a
− −
= = = =
y mx n
z px q
= +

= +
sendo
2001 – Geometria Analítica e 
Álgebra Linear
Aula 13 – Retas e suas 
posições relativas
02/04/2019 - tarde
Profa Dra Emília Marques
Retas paralelas aos Planos e 
Eixos Coordenados
⚫ Seja a reta r dada pelas equações 
paramétricas
1
1
1
: ,
x x at
r y y bt t R
z z ct
= +

= +  
 = +
Considere nula a 1ª componente do vetor diretor 
da reta, assim:
( )0, 0, ,a v b c Ox r yOz= = ⊥ 
Retas paralelas aos planos 
coordenados
1x
vA
r
90 =
Então as equações simétricas da 
reta r ficam:
1
1 1
:
x x
r y y z z
b c
=

 − −
=
Considere nula a 2ª componente do vetor diretor 
da reta, assim:
( )0, ,0,b v a c Oy r xOz= = ⊥ 
Retas paralelas aos planos 
coordenados
Então as equações simétricas da 
reta r ficam:
1
1 1
:
y y
r x x z z
a c
=

 − −
=
1y
v
A
r
90 =
Considere nula a 2ª componente do vetor diretor 
da reta, assim:
( )0, ,0,b v a c Oy r xOz= = ⊥ 
Retas paralelas aos planos 
coordenados
Então as equações simétricas da 
reta r ficam:
1
1 1
:
y y
r x x z z
a c
=

 − −
=
1y
v
A
r
90 =
Exercícios
⚫ Dar as equações das retas paralelas aos eixos Ox e
Oy. Faça a representação geométrica delas.
⚫ Determinar as equações da reta que passa pelo 
ponto A(-2,3,-2) e tem a direção do vetor 
⚫ Estabelecer equações para a reta que passa pelos 
pontos A(1,0,9) e B(4,8,9).
⚫ Determinar as equações da reta que passa pelo 
ponto A(0,3,-2) e tem a direção do vetor 
3 2v i k= +
2v i=
Ângulos de duas Retas
O ângulo entre as retas r e s que 
passam respectivamente nos pontos 
, e possuem 
os seguintes vetores diretores:
e é dado 
pelo menor ângulo entre os respectivos 
vetores diretores. Assim sendo este 
ângulo, temos:
( )1 1 1, ,A x y z ( )2 2 2, ,B x y z
( )1 1 1 1, ,v a b c= ( )2 2 2 2, ,v a b c=

1 2
1 2
.
cos( ) , 0
2
v v
v v
 =  
Ângulos de duas Retas em 
Coordenadas Cartesianas
Exercício: Calcular o ângulo entre as 
retas: 
e
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .
cos( )
.
a a b b c c
a b c a b c
 + +=
+ + + +
1
3
: ,
1 2
x t
r y t t R
z t
= +

=  
 = − −
2
2
: 3
2
x
r y z
− −
= − =
Posição relativa de duas Retas
Considerando as retas r e s dadas pelas 
seguintes equações vetoriais:
: ,r P A tv t R= +  : ,s P B lw l R= +  
e
⚫ Condição de paralelismo: As retas dadas são 
paralelas se e somente se , isto é,
v mw=
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= =
( )1 1 1, ,v a b c= ( )2 2 2, ,w a b c=
⚫ Condição de Coplanariedade: As retas dadas 
estão no mesmo plano se e somente se o 
produto misto entre os vetores diretores da 
reta e o vetor dados pelos respectivos pontos 
A e B é nulo, isto é, 
Posição relativa de duas Retas
1 1 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1
, , 0
a b c
v w AB a b c
x x y y z z
  = = 
− − −
⚫ Condição de Ortogonalidade: As retas dadas 
são ortogonais se e somente se seus vetores 
diretores o são, isto é, 
Posição relativa de duas Retas
1 2 1 2 1 2. 0v w a a bb c c= + + =
As retas dadas, no espaço, podem ser:
⚫ Coplanares: 
⚫ Concorrentes:
⚫ Paralelas: ou 
⚫ Coincidentes: 
⚫ Não coincidentes: 
⚫ Reversas: 
Posição relativa de duas Retas
 r s I =
r s =
s r=
r s=
r s =
r s =
, , 0v w AB  = 
, , 0v w AB   