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MÉTODOS QUANTITATIVOS
AULA 01
CONTEUDO ON LINE
A PESQUISA OPERACIONAL E SUA EVOLUÇÃO
Pode-se dizer que o surgimento da Pesquisa Operacional (PO), deve-se à iniciativa dos serviços militares ingleses no início da Segunda Guerra Mundial.
Por causa dos esforços de guerra, cientistas e pesquisadores ingleses prestaram apoio ao seu governo na solução de importantes problemas de natureza tática e estratégica, na tentativa de, em conjunto com os militares, usar mais adequadamente os poucos meios disponíveis para fazer frente a um inimigo mais poderoso. 
O trabalho desse grupo marcou a primeira atividade formal de Pesquisa Operacional.
Alguns dos problemas equacionados pela equipe de cientistas ingleses:
• distribuição e localização dos meios de defesa antiaérea para determinadas cidades;
• a determinação do número mínimo de aviões ingleses a serem mantidos em condições de defesa frente a ataques alemães, visando, se possível, liberar outros aviões para realizar incursões às instalações e áreas inimigas no continente europeu.
As repercussões dos resultados obtidos pela equipe de Pesquisa Operacional inglesa, motivaram os Estados Unidos a iniciarem atividades semelhantes. 
Credita-se à Inglaterra a origem da Pesquisa Operacional, porém, a sua divulgação deve-se a uma equipe de cientistas dos Estados Unidos.
A divulgação da pesquisa operacional deve-se à equipe de cientistas liderada por George Bernard Dantzig, dos Estados Unidos, com o desenvolvimento do Método Simplex para a resolução de problemas de Programação Linear, isto é, de problemas de planejamento nos quais são utilizados modelos de otimização lineares.
Após a guerra,...
...com o retorno destes cientistas às Universidades, centros de pesquisa e indústrias, inúmeras outras aplicações foram desenvolvidas...
...e, com o  surgimento do computador, problemas cada vez mais complexos e com grande número de variáveis e equações puderam ser equacionados.
E por que o nome Pesquisa operacional?
Alguns autores creditam a origem do nome Pesquisa Operacional ao fato dos cientistas terem sido chamados para fazer pesquisa em operações militares e seus esforços serem considerados decisivos em várias operações militares.
Os ingleses gostam de operational research (Pesquisa Operacional), já os americanos usam operations research (Pesquisa de Operações) ou managment science (Ciência da Administração).
Não existe uma definição padrão para Pesquisa Operacional. Veja as definições propostas por cinco autores.
“Pesquisa Operacional é uma ferramenta, ou melhor, um conjunto de ferramentas. É uma fonte de modelos e de métodos de como resolver os modelos. Também orienta sobre que dados coletar e como lidar com a imprecisão dos dados”. (Pierre Jacques Ehrlich)
“Pesquisa Operacional é uma abordagem científica à resolução de problemas para administração executiva”. (Harvey M. Wagner)
“A Pesquisa Operacional, que diz respeito à alocação eficiente de recursos escassos, é tanto uma arte como uma ciência. A arte reside na habilidade de exprimir os conceitos de eficiente e de escasso por meio de um modelo matemático bem definido para uma determinada situação; a ciência consiste na dedução de métodos computacionais para solucionar tais modelos”. (Richard Bronson)
“Pesquisa Operacional é um método científico de tomada de decisões. Em linhas gerais, consiste na descrição de um sistema organizado com o auxílio de um modelo e, através da experimentação com o modelo, na descoberta da melhor maneira de operar o sistema”.(Ermes Medeiros da Silva)
“É a ciência que tem por finalidade fornecer uma base racional e, na medida do possível, numérica, às decisões do comando, até então deixadas à mercê dos impulsos, instintos e emoções”. (GEN Renaud)
Deve-se ressaltar que a Pesquisa Operacional não fornece especificamente soluções para os problemas e sim elementos quantitativos para as diversas opções possíveis de solução, facilitando sobremaneira a tomada de decisão.
Principais Técnicas e Instrumentos da Pesquisa Operacional
A Pesquisa Operacional (PO) se aplica a uma série de situações e diversos métodos foram desenvolvidos, de acordo com o tipo de problema estudado.
Programação linear: Os problemas de Programação Linear referem-se à distribuição eficiente de recursos limitados entre atividades competitivas, com a finalidade de atender a um determinado objetivo, como, por exemplo, maximização de lucro ou minimização de custo.
Teoria dos jogos: Os problemas de Programação Linear referem-se à distribuição eficiente de recursos limitados entre atividades competitivas, com a finalidade de atender a um determinado objetivo, como, por exemplo, maximização de lucro ou minimização de custo.
Teorias das filas: A teoria das Filas estuda, do ponto de vista matemático, filas como sequência de espera. A formação de filas de espera ocorre quando a solicitação por serviço supera a capacidade de efetuá-lo.
Programação dinâmica: É um método matemático, desenvolvido há mais de 60 anos pelo americano Richard Bellman, que permite determinar a solução ótima de um sistema que opera ou cujas decisões ocorrem em fase ou em consequência.
Teoria dos grafos: É a base para o estudo das redes. Ao contrário da maioria dos ramos da matemática originários de especulações técnicas, nasceu do confronto de problemas práticos que tinham propriedades e estruturas semelhantes.
Modelos de controle de estoque: As empresas mantêm estoques de matérias-primas e produtos acabados. Os estoques de matérias-primas servem como insumo para o processo de produção e os estoques de produtos acabados são usados para satisfazer a demanda dos consumidores. Como estes estoques exigem muito investimento, são importantes as decisões referentes a eles.
Teoria da decisão: Permite, a partir de um número finito de linhas de ações possíveis, atingir um determinado resultado. Decidir consiste em escolher uma destas linhas de ação que possibilite o resultado esperado.
Quando a Pesquisa Operacional é aplicada num contexto de planejamento, a solução consiste, normalmente, num conjunto de valores os mais favoráveis para as variáveis de decisão, com alguma informação quanto ao custo de se afastar destes valores.
Quando a Pesquisa Operacional é aplicada num contexto de planejamento, a solução consiste, normalmente, num conjunto de valores os mais favoráveis para as variáveis de decisão, com alguma informação quanto ao custo de se afastar destes valores.
O conjunto de regras de decisão passa pela definição do problema e dos fatores que o influenciam, estabelecendo critérios e objetivos, formulando um modelo ou relações entre as variáveis, a fim de identificar e selecionar a melhor alternativa e implementar a decisão.
AULA TELETRANSMITIDA
A Pesquisa Operacional e a sua Evolução
OBJETIVO GERAL DA DISCIPLINA
	A disciplina busca fundamentar e capacitar o profissional na modelagem de modelos matemáticos relativamente simples e desenvolver técnicas que permitam resolver problemas de Programação Linear e Teoria dos Jogos de larga aplicação no campo da gestão empresarial, como ferramentas de tomada de decisão. 
Ao final da disciplina o aluno estará capacitado a:
	- Identificar problemas na área de gestão, onde as teorias matemáticas e as técnicas e métodos utilizados em Pesquisa Operacional podem ser aplicados, no processo de tomada de decisão.
	- Conhecer as fases de um estudo em Pesquisa Operacional necessárias para a resolução de problemas gerenciais.
- Modelar matematicamente problemas de pequena e média complexidade e resolvê-los através do algoritmo simplex e o Solver. 
	- Utilizar pacotes computacionais para a resolução de problemas de Pesquisa Operacional.
	- Identificar através da Teoria dos Jogos as formulações matemáticas para a análise de conflitos, desenvolvendo o raciocínio lógico do aluno.
O que é método?
	É a Escolha de procedimentos sistemáticos para a descrição e explicação de fenômenos.
 O que é Métodos Quantitativos?
	Os Métodos Quantitativos são caracterizados pelo emprego da quantificaçãotanto nas modalidades de coleta de informações, quanto no tratamento delas por meio de técnicas matemáticas e estatísticas.
O QUE É PESQUISA OPERACIONAL ? 	
	A Pesquisa Operacional (PO)é uma ciência aplicada, também chamada de ciência da Administração, é um método quantitativo que ajuda no planejamento, na solução de problemas e no processo de tomada de decisão. 
	Os problemas administrativos podem ter aspectos tanto qualitativos quanto quantitativos. 
	Os aspectos que podem ser alvo da análise qualitativa incluem variáveis como intenção dos concorrentes e motivação dos trabalhadores. Já os aspectos analisados pela perspectiva quantitativa incluem fatores como custos de matérias-primas, participação de mercado, preços de produtos etc.
A FINALIDADE DA PESQUISA OPERACIONAL
O objeto da Pesquisa Operacional (PO) é a melhoria da performance das organizações e do trabalho através da formulação de modelos matemáticos a serem resolvidos com o auxilio da informática, tendo foco a tomada de decisões uma característica importante. A PO facilita o processo de análise e de decisão, utilizando modelos, que permitem experimentação da solução proposta. Isto significa que uma decisão pode ser mais bem avaliada e testada antes de ser efetivamente implementada.
O foco principal dos Métodos Quantitativos é a melhoria do processo de solução de problemas, por tomá-lo mais racional e analítico. A maioria dos métodos quantitativos é baseada no critério de decisão econômica. 
	A Pesquisa Operacional é um corpo multidisciplinar de conhecimento científico originado em aplicações militares durante a Segunda Guerra Mundial, nos Estados Unidos e Grã-Bretanha. Desde 1945 este conhecimento vem sendo aplicado com crescente sucesso a problemas industriais e comerciais. As primeiras aplicações ocorriam essencialmente em grandes companhias e até hoje, 90% das 500 maiores companhias utilizam Pesquisa Operacional.
	APLICAÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL
	A Pesquisa Operacional é aplicada na resolução de problemas reais, utilizando-se de modelos matemáticos para a determinação da melhor alocação de recursos limitados ou escassos , com objetivo de dar racionalidade aos processos de tomada de decisão. 
	Lachtermacher (2004) preconiza que o ensino de Pesquisa Operacional para executivos ou alunos da área de negócios passou a ter o foco na modelagem do problema, na interpretação do resultado e na sua aplicabilidade aos problemas gerenciais.
		Entre os diversos tipos de problemas em que a pesquisa operacional pode ser utilizada para ajudar no processo de decisão, destacam-se:
Administração da Produção
 Análise de Investimentos
 Logística
 Custo de Transporte 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO DA PO NA GUERRA	
Em 15 de maio de 1940, com as forças alemãs avançando rapidamente na França, a Seção de Pesquisa de Stanmore foi requisitada para analisar um pedido francês de dez esquadrões de caça adicionais (um esquadrão é formado por 12 aviões) quando as perdas estavam ocorrendo a uma taxa de aproximadamente três esquadrões a cada dois dias. A equipe preparou grafos para o primeiro-ministro Winston Churchill, baseados em um estudo das presentes perdas diárias e taxas de reposição, indicando quão rapidamente tal ação poderia esgotar a força de caças. 
Como resultado nenhum avião foi mandado e os que estavam em ação na França foram retirados. Esta é considerada como sendo a mais estratégica contribuição no curso da guerra feita pela Pesquisa Operacional, pois as aeronaves e pilotos salvos puderam ficar disponíveis para a subseqüente e vital defesa da Grã-Bretanha. 
Guerra anti-submarinos
	Em 1941 uma Seção de Pesquisa Operacional (ORS) foi estabelecida no Comando Costeiro, que executou alguns dos mais conhecidos trabalhos de Pesquisa Operacional da Segunda Guerra. A responsabilidade do Comando Costeiro consistiu, em grande parte, na coordenação de vôos solitários de longo alcance com o objetivo de avistar e atacar U-boats (U-boote - submarinos alemães) na superfície. 
PRINCIPAIS TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DA PO 
PROGRAMAÇÃO LINEAR → os problemas de Programação Linear referem-se à distribuição eficiente de recursos limitados entre atividades competitivas, com a finalidade de atender a um determinado objetivo, por exemplo maximização de lucro ou minimização de custo;
TEORIA DOS JOGOS → um dos campos mais complexos de investigação em PO, é o estudo da competição entre oponentes. Seus fundamentos foram lançados por John Neumman, que em 1927 demonstrou o Teorema Minimax;
TEORIA DAS FILAS → 	a teoria das Filas estuda, do ponto de vista matemático, filas como seqüência de espera. A formação de filas de espera ocorre quando a solicitação por serviço supera a capacidade de efetuá-lo;
PROGRAMAÇÃO DINÂMICA → é um método matemático, desenvolvido há mais de 60 anos pelo americano Ricard Bellman, que permite determinar a solução ótima de um sistema que opera ou cujas decisões ocorrem em fase ou em conseqüência;
MODELOS DE CONTROLE DE ESTOQUE → as empresas mantém estoques de matérias-primas e produtos acabados. Os estoques de matérias-primas servem como insumo para o processo de produção e os estoques de produtos acabados são usados para satisfazer a demanda dos consumidores. Como estes estoques exigem muito investimento, são importantes as decisões referentes a eles.
TEORIA DA DECISÃO → permite que a partir de um número finito de linhas de ações possíveis, atingir um determinado resultado. Decidir consiste em escolher uma destas linhas de ação que possibilite o resultado esperado.
AULA 02 
CONTEUDO ON LINE
FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL
Uma das principais atividades de um administrador é tomar decisões.
Porém, se ele for inexperiente no tipo de problema considerado ou se este for complexo bastante para que intuição e experiência não sejam suficientes, o que fazer para fundamentar as decisões?
Recomenda-se a adoção de Métodos Quantitativos, o que pode ser importante para se chegar a uma decisão final.  
Os Métodos Quantitativos se apoiam em quatro ciências fundamentais: Matemática, Estatística, Economia e Informática.
Esses métodos são especialmente úteis quando o problema:
• é complexo e não se consegue chegar a uma solução adequada sem emprego de análise quantitativa;
• é importante – envolve questões de segurança;
• é novo e não se dispõe de experiência prévia que permite antecipar o tipo de decisão a ser tomada;
As decisões baseadas em Métodos Quantitativos requerem:
• uma estruturação do problema,
• seguida de sua representação matemática
• e da utilização de métodos de análise apropriados.
É fundamental ressaltar que a experiência do tomador de decisão é importante para guiar a escolha e a utilização de Métodos Quantitativos, enquanto que a análise das decisões decorrentes do emprego de métodos quantitativos ajuda o tomador de decisão a aumentar sua intuição e conhecimento sobre o problema.
O PROCESSO DE MODELAGEM
Um administrador, diante de uma situação na qual uma decisão deve ser tomada entre várias alternativas conflitantes e concorrentes, fica no seguinte dilema:
usar a sua intuição gerencial acumulada no decorrer de sua experiência profissional ou
realizar um processo de modelagem da situação e realizar diversas simulações dos mais diversos cenários de maneira a estudar o problema.
O que é um modelo?
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto aguardando execução.
Que modelo usar para um problema simples?
Um problema simples pode ser representado por modelo também simples e de fácil solução.
Que modelo usar para um problema complexo?
No caso de um problema complexo original, recomenda-se a construção de um modelo, que represente da melhor maneira possível a situação em estudo.
Conheça as vantagens de se descrever um sistema por um modelo.
A descrição de um sistema por um modelo torna possível analisá-lo e testar várias alternativas, sem interromper o seu funcionamento.
O modelo torna, normalmente, o problema  mais inteligível e pode esclarecer importantesrelações entre as variáveis.
O uso de modelos elimina os erros?
As soluções de um modelo não são infalíveis, quando aplicadas ao sistema real. Sempre poderá haver erros. 
O objetivo é tornar erros tão pequenos quanto possíveis, com a experiência e aptidão adquiridas pelo administrador, tendo em vista que a modelagem é a parte mais complexa da análise.
Na modelagem de um problema, recomenda-se a adoção do seguinte roteiro:
Definição do problema: 
Definição do problema, baseando-se nos seguintes aspectos:
• descrição dos objetivos do estudo;
• identificação das alternativas de decisão existentes;
• reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema.
Construção do modelo, utilizando alguma técnica matemática para a solução do problema: a escolha certa do modelo é fundamental para a qualidade da solução fornecida.
O objetivo desta fase é encontrar uma solução para o modelo proposto.
Nesta fase, é necessário verificar a validade do modelo. Utilizando os dados existentes, compara-se a performance do sistema e a indicada pelo modelo. Verifica-se, também, quais faixas de valores das variáveis para as quais a solução sugerida é válida.
A implementação de uma solução no sistema real pode implicar em mudanças de rotinas e necessita de grande empenho por parte de quem decide.
Veja as vantagens que Lachtermacher (2007) destaca na utilização de um processo de modelagem para a tomada de decisão:
• os modelos obrigam os tomadores de decisão a tornarem explícitos seus objetivos;
• os modelos forçam a identificação e o armazenamento das diferentes decisões que influenciam os objetivos;
• os modelos forçam a identificação e o armazenamento dos relacionamentos entre as decisões;
• os modelos forçam a identificação das variáveis a serem incluídas e em que termos elas serão quantificáveis;
• os modelos forçam o reconhecimento de limitações;
• os modelos permitem a comunicação de suas ideias e seu entendimento para facilitar o trabalho de grupo.
ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS
Em um modelo matemático, segundo Lisboa (2003), são incluídos três conjuntos de elementos:
Variáveis de decisão e parâmetros 
As variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo; parâmetros são valores fixos no problema.
Restrições
De modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão e seus valores possíveis (ou variáveis).   
Função Objetivo  
É uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
Para ilustrar o modelo que acabamos de citar, observe o seguinte exemplo:
 
“Uma indústria  fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das seguintes matérias-primas: cobre, zinco e chumbo.
• A liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de chumbo.
• A liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo.
• A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo.
O lucro na venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B R$ 500,00.
Deseja-se saber as quantidades de liga tipo A e B, que deverão ser produzidas, para que a indústria tenha um lucro máximo”.
AULA 02 
TELETRANSMITIDA
AS FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL
Os Métodos Quantitativos se apóiam em quatro ciências fundamentais: Matemática, Estatística, Economia e Informática, e são especialmente úteis quando:
- O problema é complexo e não se consegue chegar a uma solução adequada sem emprego de análise quantitativa;
- O problema é importante – envolve questões de segurança;
- O problema é novo e não se dispõe de experiência prévia que permite antecipar o tipo de decisão a ser tomada;
- O problema é repetitivo e a decisão pode ser tomada de forma automática, economizando tempo e recursos.
FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL
	Na modelagem de um problema, recomenda-se a adoção do seguinte roteiro:
	- Definição do Problema;
	- Construção do Modelo;
	- Solução do Modelo;
	- Validação do Modelo; e
	- Implementação dos resultados.
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
Três aspectos a serem levados em conta:
Descrição exata dos objetivos do estudo.
Identificação das alternativas de decisão existentes.
Reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema.
CONSTRUÇÃO DO MODELO
É a fase mais criativa: a qualidade de todo o processo depende do grau de representação da realidade.
Os modelos variam de simples modelos conceituais até complexos modelos matemáticos.
SOLUÇÃO DO MODELO 
	Depende da: 
	- Escolha do algoritmo ou método matemático mais adequados às características do modelo.
	- Disponibilidade de software apropriado para solução e produção das informações necessárias para a decisão. 
VALIDAÇÃO DO MODELO
	- O modelo é válido quando for capaz de fornecer uma previsão ACEITÁVEL do comportamento do sistema. 
	- Modo de avaliar: utilizar dados passados e verificar se o modelo reproduz o comportamento manifestado pelo sistema. 
IMPLEMENTAÇÃO DA SOLUÇÃO
- A solução deve ser convertida em regras operacionais.
- Deve ser controlada e monitorada pela equipe responsável; eventuais correções podem ser necessárias. 
AVALIAÇÃO FINAL
- Garante a adequação das decisões às reais necessidades do sistema e a aceitação mais fácil pelos setores envolvidos.
- Nenhum modelo capta todas as características e nuanças da realidade: A EXPERIÊNCIA É FUNDAMENTAL. 
FACILIDADES OFERECIDAS PELOS MODELOS
- Visualização da estrutura do sistema real em análise.
- Representação das informações e suas inter-relações. 
- Sistemática de análise e avaliação do valor de cada alternativa.
- Instrumento de comunicação e discussão com outras pessoas. 
TIPOS DE VARIÁVEIS
- VARIÁVEIS DE DECISÃO: Fornecem a base para a decisão.
- NÃO-CONTROLÁVEIS OU EXÓGENAS: São fatores ou dados externos ao modelo, ou condições que devem ser respeitadas.
- CONTROLÁVEIS OU ENDÓGENAS: Geradas pelo modelo, dependem dos dados e das informações, e da estrutura do modelo, são os cálculos internos, ou para resultados intermediários. As variáveis de decisão são também variáveis endógenas.
O CASO DA FÁBRICA PASTÉIS E PASTELÕES LTDA.
A Pastéis e Pastelões fabrica pastéis de forno usando dois ingredientes básicos: massa semipronta e recheio congelado. A empresa pretende elaborar um modelo para previsão de seu lucro operacional mensal que lhe permita estabelecer o preço dos pastéis a ser praticado. Desconsiderando a hipótese de alteração do tamanho e da qualidade dos pasteis, a diretoria considera que o preço unitário do pastel e o preço praticado pela concorrência são os únicos fatores relevantes na determinação da demanda.
O CASO DA FÁBRICA PASTÉIS E PASTELÕES LTDA.
A equação da demanda da empresa é:
	Z = 15.000 – 5.000 x + 5.000 y, sendo:
	x = o preço do pastel da empresa 
	y = o preço médio dos pasteis da concorrência.
Dados adicionais:
Preço médio praticado pela concorrência ............. 7,00
Custo unitário da massa (por pastel) ..................... 1,30
Custo unitário do recheio (por pastel) .................... 2,00
Custo unitário do processo (por pastel) ................. 0,40
Custo fixo ......................................................... 6.000,00
DETERMINAÇÃO DE PREÇO
	O lucro de um fabricante é função do preço de venda. A função que melhor descreve esse fato é: 
	Lucro = - x2 + 140x - 2400, onde x é o preço de venda e y é o lucro. 
	Construa uma tabela de preço x= 20 , x= 30, x= 40, x= 50, x = 60, x = 70, x=80 e x=90 , e apure o lucro (y).
	Existe um valor de x em que o preço é ótimo? Qual?
Valor de Y = Valor do lucro
	 X	Lucro = - x2 + 140x – 2400
	20	-(20)2 + 140x 20 -2.400	= -400+2.800-2.400 = 0 
	30	-(30)2 + 140 x 30 -2.400	= -900+4.200-2.400 = 900 
	40	-(40)2 + 140 x 40 -2.400	= -1.600+5.600-2.400 = 1.600 
	50	-(50)2 + 140 x 50 -2.400	= -2.500+7.000-2.400 = 2.10060	-(60)2 + 140 x 60 -2.400	= -3.600+8.400-2.400 = 2.400 
	70	-(70)2 + 140 x 70 -2.400	= -4.900+9.800-2.400 = 2.500 
	80	-(80)2 + 140 x 80 -2.400	= -6.400+11.200-2.400 = 2.400 
	90	-(90)2 + 140 x 90 -2.400	= -8.100+12.600-2.400 = 2.100
AULA 03 
CONTEUDO ON LINE
Programação Linear: Conceitos Básicos
MODELO EM PROGRAMAÇÃO LINEAR
Uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em Pesquisa Operacional é a Programação Linear.
A Programação Linear é um meio matemático de indicar um montante fixo de recursos (sacrifício) satisfazendo certa demanda, de tal modo que alguma função objetivo (que satisfaça um objetivo) seja otimizada e ainda sejam satisfeitas as outras condições predefinidas (restrições).
Quais os limites de aplicação da Programação Linear?
A Programação Linear, como o próprio nome indica, está limitada a situações nas quais as relações que descrevem os fluxos de entrada e saída considerados são lineares e onde as restrições, às quais estão submetidas, são do mesmo modo inequações lineares.  
E o que isso significa, na prática?
	Significa que os vários sistemas produtivos são independentes e que os componentes ou elementos do processo obedecem a leis de estrita proporcionalidade. Todavia, para utilizarmos a Programação Linear devemos representar a condição real (não linear) por uma aproximação linear adequada.
TAREFA PRIMORDIAL = A tarefa  primordial, ao utilizar a Programação Linear, é o reconhecimento e a formulação do problema de forma tal que ele possa ser trabalhado e, assim, fornecer um objetivo desejável a ser otimizado.
PASSO INICIAL = Inicialmente, dentro da Programação Linear estipula-se o objetivo e, com isto, tornam-se evidentes as condições.
COMPOSIÇÃO DO MODELO = O modelo matemático de Programação Linear é composto de uma função objetiva linear e de restrições técnicas, representadas por um grupo de inequações também lineares.
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1  e  X2. 
A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de gerar lucro, para cada solução apresentada. O objetivo é maximizar o lucro, neste exemplo. Também existe função objetivo, cuja finalidade é minimizar os custos.
As restrições garantem que essas soluções estão de acordo com as limitações técnicas impostas pelo sistema. 
As duas últimas restrições exigem a não negatividade das variáveis de decisão, o que deverá acontecer sempre que a técnica de abordagem for a de Programação Linear.
Dentre as diversas áreas de aplicação da Programação Linear, destacamos algumas delas. Veja quais são.
ÁREAS DE APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR
• Administração da Produção
• Análise de Investimentos
• Alocação de recursos limitados
• Planejamento regional
• Logística
• Custo de transporte
• Localização da rede de distribuição
• Alocação de recursos em marketing entre diversos meios de comunicação
“Uma indústria  fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das matérias-primas - cobre, zinco e chumbo, da seguinte forma:
• a liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de chumbo;
• a liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo.
A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo.
O lucro na venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B, R$ 500,00.
Deseja-se saber as quantidades de ligas tipo A e B que deverão ser produzidas para que a indústria tenha um lucro máximo”.
AULA 03
TELETRANSMITIDA
PROGRAMAÇÃO LINEAR E SEUS CONCEITOS BÁSICOS
PROGRAMAÇÃO LINEAR
É um subitem de programação matemática é um dos elementos mais utilizados em Pesquisa Operacional. É um modelo de otimização. Visa alocar recursos escassos (ou limitados) a atividades em concorrência (em competição).
A tarefa primordial ao utilizar a programação linear é o reconhecimento e a formulação do problema de forma tal que ele possa ser trabalhado e assim fornecer um objetivo desejável a ser otimizado.
ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS
Num modelo matemático de Programação Linear, existem três conjuntos de elementos:
- Variáveis de decisão e parâmetros: as variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema;
- Restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão e seus valores possíveis (ou variáveis); e
- Função Objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
PROGRAMAÇÃO LINEAR: IDENTIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS 
Exemplo 1
A indústria Alumilânias S. A. iniciou suas operações há um mês e vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com contratos fechados de fornecimento para três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média e grossa (PARÂMETROS). Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro (VARIÁVEIS DE DECISÃO). Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas (RESTRIÇÕS). Devido à qualidade dos produtos da Alumilânias S. A., há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diário da fábrica de 100 mil reais para uma capacidade produtiva de 8 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 2 de lâminas grossas por dia. O custo de produção da fábrica do Rio de Janeiro é de 200 mil reais para uma capacidade produtiva de 2 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 7 de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível?
Variáveis de decisão:
- X1 = nº de dias de operação da fábrica de São Paulo
- X2 = nº de dias de operação da fábrica do Rio de Janeiro
 Parâmetros:
- Lâminas fina, média e grossa
Restrições: 
- Necessidade mínima de cada uma das lâminas: 16 fina; 6 média e 28 grossa
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser minimizada: 
	ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2
QUADRO RESUMO
_____________________________________________
PARÂMETROS		SPO RIO	RESTRIÇÃO
_____________________________________________
Lamina fina			8	2	16
Lamina média		1	1	 6
Lamina grossa		2	7	28
Custo (função objetivo)100.000 200.000
Restrições técnicas: 
	8 X1 + 2 X2 16 
	 X1 + X2 6 
	 2 X1 + 7 X2 28 
 - Restrições de não negatividade: X1 0 e X2 0 
 	As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de minimizar o custo, para cada solução apresentada.
Exemplo 2
Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por dia se fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para preparar uma pizza e 60 g de queijo para fazer um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo é de 5 kg por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria deve vender diariamente para maximizar a sua receita, considerando que ela tem um pizzaiolo? 
Variáveis de decisão:
- X1 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo das pizzas
- X2 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo dos calzones 
 Parâmetros:
- Pizza, calzone e queijo
Restrições: 
- capacidade diária de produção de pizzas e calzones e a quantidade de queijo disponível
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser maximizada: 
		ZMáx. = 18 X1 + 22 X2
QUADRO RESUMO
_____________________________________________
PARÂMETROS 	 PIZZA CALZONE	 RESTRIÇÃO
- Capacidade de pizza 1 0 	 128 (8 x 16)
- Capacidade de calzone 0	 1 	 72 (8 x 9)
- Queijo		 40 60 5.000 (5 kg)
Lucro (função Objetivo) 18 	 22
Restriçõestécnicas: 
	 X1 128 (8 x 16) 
	 X2 72 (8 x 9) 
	40 X1 + 60 X2 5000 (5 kg) 
 - Restrições de não negatividade: X1 0 e X2 0 
 	As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
Exemplo 3:
Uma empresa executa dois tipos de serviço A e B. Deseja programar as quantidades ótimas de cada serviço, para um certo período de tempo. Os serviços são extremamente divisíveis, valendo os cálculos dos resultados para as partes possíveis de executar. Sabe-se que os parâmetros técnicos admitidos na empresa são:
- Usam-se dois tipos de recursos I e II. Cada unidade de serviço A consome 4 unidades do recurso I e 4 unidades do recurso II. Cada serviço B consome 6 unidades do recurso I e 2 unidades do recurso II. No período citado, as quantidades dos recursos não serão menores do que 36 unidades do recurso I e 20 unidades do recurso II.
- O custo na elaboração de cada unidade do serviço A é de R$ 800,00 e do tipo B R$ 900,00. No período de tempo citado, a empresa não tem condições de tolerar custo superior a R$ 7.200,00.
O lucro líquido na venda de cada unidade do serviço A é de R$ 70,00 e de B R$ 160,00.
Determine as quantidades de cada serviço que deve ser executado, para que tenhamos um lucro máximo.
Variáveis de decisão:
 X1 = Qtd. de serviços tipo A
 X2 = Qtd. de serviços tipo B 
 Parâmetros:
- Recurso I, recurso II e custo de produção
Restrições: 
- Necessidade mínimia dos recursos I e II e o limite de custos de produção
Função Objetivo:
	Função objetivo a ser maximizada: 
		ZMáx. = 70 X1 + 160 X2 
QUADRO RESUMO
_______________________________________________
PARÂMETROS	 SERV. A	SERV. B RESTRIÇÃO
_______________________________________________
Recurso I			4	 6	 36
 Recurso II			4	 2	 20
 Custo produção	 800	 900	 7200
 lucro			 70	 160
Restrições técnicas: 
 4 X1 + 6 X2 36 
 4 X1 + 2 X2 20 
 800 X1 + 900 X2 7200 
- Restrições de não negatividade: X1 0 e X2 0 
 As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
Dentre as diversas áreas de aplicação da Programação Linear pode-se destacar as seguintes: 
- Administração da Produção;
- Análise de Investimentos;
- Alocação de recursos limitados;
- Planejamento regional;
- Logística;
- Custo de transporte;
- Localização da rede de distribuição;
- Alocação de recursos em marketing entre diversos meios de comunicação.
AULA 04
CONTEUDO ON LINE
PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO GRÁFICO
MÉTODO GRÁFICO: CONCEITO
O que é Método Gráfico?
O método gráfico consiste em um sistema de coordenadas ortogonais, onde se mostra um polígono convexo que contém os pontos representativos das possibilidades.
Essas possibilidades são determinadas a partir do sistema de coordenadas ortogonais das inequações que representam as restrições, de maneira que a sua solução venha a dar o conjunto convexo que é a solução do sistema de inequações. 
Esse método é bastante útil, simples e de fácil entendimento (leitura do gráfico), quando se tem duas variáveis decisórias.  Quando o número de variáveis decisórias for três, já é necessário um bom conhecimento em desenho, pois fica relativamente difícil o seu uso.  
Quando se tem mais de três variáveis decisórias, não se tem nenhuma forma gráfica de representação, uma vez que a representação de 4 variáveis já ficaria graficamente muito abstrata.
MÉTODO GRÁFICO: APLICAÇÃO DE MAXIMIZAÇÃO
Para facilitar o entendimento do método gráfico, vamos utilizar um exemplo. Leia com atenção.
“Uma indústria fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das seguintes matérias-primas - cobre, zinco e chumbo:
• a liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de chumbo;
• a liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo.
A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo.
O lucro na venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B, R$ 500,00.
Deseja-se saber as quantidades de liga tipo A e B que deverão ser produzidas, para que a indústria tenha um lucro máximo”.
SOLUÇÃO DO PROBLEMA 
Inicialmente, recomenda-se a construção de um quadro resumo com as informações do problema, a partir do qual será construído o modelo matemático primal. Observe.
Solução do problema
Como o objetivo é maximizar o lucro, vamos considerar a variável x como a quantidade de liga tipo A e a variável x a quantidade de liga tipo B. Os valores de X são os valores que vão otimizar a função objetivo, e serão obtidos através da solução gráfica.
	Cada inequação será representada no gráfico (recomenda-se o uso de papel milimetrado) por uma reta. Portanto, teremos três retas, cada uma representando um item (cobre, zinco e chumbo).
	Ao traçarmos cada uma das retas, é importante identificar no gráfico o campo solução limitado pela reta. 
O sinal da restrição ≤ indica que a reta limitou a solução para baixo, ou seja, voltada para a origem do gráfico; porém, se a restrição for do tipo ≥,  indica que a reta limitou a solução para cima, ou seja, afastada da origem da reta.
	Para plotarmos cada uma das inequações, é preciso identificar o par ordenado de cada reta, que é obtido dividindo cada restrição pelo coeficiente das variáveis x1 e x2.
	Na primeira inequação, basta dividir 16 por 2 e 16 por 1. As inequações teriam os seguintes pares ordenados.
Primeiro, precisamos saber, dadas as restrições, quais as possíveis combinações dos tipos de liga que se podem fabricar. Isto é, precisamos verificar qual ou quais as áreas que satisfazem as restrições, pois a empresa tem, em seu estoque de matérias-primas disponíveis, somente 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15 kg de chumbo.
Para ilustrarmos esta situação, vejamos um outro exemplo.
AULA 04 
TELETRANSMITIDA
PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO
MÉTODO GRÁFICO 
O método gráfico consiste em um sistema de coordenadas ortogonais, onde se mostra um polígono convexo, que contém os pontos representativos das possibilidades.
Essas possibilidades são determinadas a partir do sistema de coordenadas ortogonais das inequações que representam as restrições, de maneira que a sua solução venha a dar o conjunto convexo, que é a solução do sistema de inequações. 
ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS
Num modelo matemático, existem três conjuntos de elementos:
● Variáveis de decisão e parâmetros: as variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema;
● Restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão e seus valores possíveis (ou variáveis);
● Função Objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO GRÁFICO - Exemplo 1
A indústria Alumilânias S. A. iniciou suas operações há um mês e vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com contratos fechados de fornecimento para três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média e grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilânias S. A., há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diário da fábrica de 100 mil reais para uma capacidade produtivade 8 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 2 de lâminas grossas por dia. O custo de produção da fábrica do Rio de Janeiro é de 200 mil reais para uma capacidade produtiva de 2 de lâminas finas, 1 de lâminas média e 7 de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível?
EXEMPLO 1: 
Variáveis de decisão:
X1 = nº de dias de operação da fábrica de São Paulo
X2 = nº de dias de operação da fábrica do Rio de Janeiro
Parâmetros:
Lâminas fina, média e grossa
Restrições: 
Necessidade mínima de cada uma das lâminas: 16 fina; 6 média e 28 grossa
Função Objetivo:
Função objetivo a ser minimizada: 
	ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2 
EXEMPLO 1:
	Restrições técnicas: 
	- lâmina fina 8 X1 + 2 X2 16 
	- lâmina média X1 + X2 6 
	- lâmina grossa 2 X1 + 7 X2 28 
	- Restrições de não negatividade: X1 0 e X2 0 
 
	As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de minimizar o custo, para cada solução apresentada.
EXEMPLO 1:
● DETERMINAÇÃO DOS PONTOS DE CADA INEQUAÇÃO
	Dividir a restrição da inequação pelos coeficientes de cada variável:
 - lâmina fina 8 X1 + 2 X2 16 (2; 8) 
 - lâmina média X1 + X2 6 (6; 6) 
 - lâmina grossa 2 X1 + 7 X2 28 (14; 4) 
ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2
EXEMPLO 1:
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
Os pontos solução do problema, correspondem aos pontos onde as retas se cruzam entre si e com as retas de X1 e X2. No problema em estudo, temos quatro possíveis pontos solução: A (0; 8).
 B (0,8; 5,4)
 C (2,8; 3,2) 
 D (14; 0)
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
Para sabermos qual dos quatro pontos irá minimizar a função objetivo, basta substituir os valores de cada ponto na função objetivo, da seguinte maneira:
- A (0; 8) ZMín. = 100.000 (0) + 200.000 (8) = 1.600.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias S. A. não utilizará a fábrica de São Paulo e utilizará 8 dias a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 1.600.000,00.
- B (0,8; 5,4) ZMín. = 100.000 (0,8) + 200.000 (5,4) = 1.160.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias S. A. utilizará 0,8 dia a fábrica de São Paulo e utilizará 5,4 dias a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 1.160.000,00.
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
 C (2,8; 3,2) ZMín. = 100.000 (2,8) + 200.000 (3,2) = 920.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias S. A. utilizará 2,8 dias a fábrica de São Paulo e utilizará 5,4 dias a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 920.000,00.
 D (14; 0) ZMín. = 100.000 (14) + 200.000 (0) = 1.400.000, esta solução indica que a indústria Alumilânias S. A. utilizará 14 dias a fábrica de São Paulo e não utilizará a fábrica do Rio de Janeiro na produção dos laminados de alumínio, a um custo de R$ 1.400.000,00.
EXEMPLO 2
Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por dia se fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para preparar uma pizza e 60 g de queijo para fazer um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo é de 5 kg por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria deve vender diariamente para maximizar a sua receita, considerando que ela tem um pizzaiolo? 
Variáveis de decisão:
- X1 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo das pizzas
- X2 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo dos calzones 
 Parâmetros:
- Pizza, calzone e queijo
Restrições: 
- Capacidade diária de produção de pizzas e calzones e a quantidade de queijo disponível
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser maximizada: 
	ZMáx. = 18 X1 + 22 X2
Restrições técnicas: 
- pizza	 X1 128 (128; 0) 
- calzone	 X2 72 (0; 72) 
- Queijo 	40 X1 + 60 X2 5000 (125; 83) 
- Restrições de não negatividade: X1 0 e X2 0 
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
● ,IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
Para sabermos qual dos três pontos irá maximizar a função objetivo, basta substituir os valores de cada ponto na função objetivo, da seguinte maneira:
- A (0; 72) ZMáx. = 18 (0) + 22 (72) = 1.584, esta solução indica que o pizzaiolo não fabricará nenhuma pizza e fabricará 72 calzones, e a pizzaria terá um lucro de 
 R$ 1.584,00.
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
- B (15; 72) ZMáx. = 18 (15) + 22 (72) = 1. 854, esta solução indica que o pizzaiolo fabricará 15 pizzas e 72 calzones, e a pizzaria terá um lucro de R$ 1.584,00.
- C (125; 0) ZMáx. = 18 (125) + 22 (0) = 1.584, esta solução indica que o pizzaiolo fabricará 125 pizzas e nenhum calzone, e a pizzaria terá um lucro de R$ 2.250,00.
EXEMPLO 3:
	Uma empresa executa dois tipos de serviço A e B. Deseja programar as quantidades ótimas de cada serviço, para um certo período de tempo. Os serviços são extremamente divisíveis, valendo os cálculos dos resultados para as partes possíveis de executar. Sabe-se que os parâmetros técnicos admitidos na empresa são:
	- Usam-se dois tipos de recursos I e II. Cada unidade de serviço A consome 4 unidades do recurso I e 4 unidades do recurso II. Cada serviço B consome 6 unidades do recurso I e 2 unidades do recurso II. No período citado, as quantidades dos recursos não serão menores do que 36 unidades do recurso I e 20 unidades do recurso II.
- O custo na elaboração de cada unidade do serviço A é de R$ 800,00 e do tipo B R$ 900,00. No período de tempo citado, a empresa não tem condições de tolerar custo superior a R$ 7.200,00.
	O lucro líquido na venda de cada unidade do serviço A é de R$ 70,00 e de B R$ 160,00.
	Determine as quantidades de cada serviço que deve ser executado, para que tenhamos um lucro máximo.
Variáveis de decisão:
- X1 = Qtd. de serviços tipo A
- X2 = Qtd. de serviços tipo B 
 Parâmetros:
- Recurso I, recurso II e custo de produção
Restrições: 
- Necessidade mínimia dos recursos I e II e o limite de custos de produção
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser maximizada: 
		ZMáx. = 70 X1 + 160 X2 
● Restrições técnicas: 
- Recurso I	4 X1 + 6 X2 36 (9; 6)
- Recurso II	 4 X1 + 2 X2 20 (5; 10) 
 - Custo 800 X1 + 900 X2 7200 (9; 8) 
- Restrições de não negatividade: X1 0 e X2 0 
 
	As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
	Para sabermos qual dos três pontos irá maximizar a função objetivo, basta substituir os valores de cada ponto na função objetivo, da seguinte maneira:
	- A (0; 72) ZMáx. = 70 (1,8) + 160 (6,4) = 1.150, esta solução indica que a empresa produzirá 1,8 unidades do serviço A e 6,4 unidades do serviço B, e terá um lucro de R$ 1.150,00.
● IDENTIFICAÇÃO DO PONTO SOLUÇÃO
- B (0; 72) ZMáx. = 70 (3) + 160 (4) = 850, esta solução indica que a empresa produzirá 3 unidades do serviço A e 4 unidades do serviço B, e terá um lucro de R$ 850,00.
- C (0; 72) ZMáx. = 70 (9) + 160 (0) = 630, esta solução indica que a empresa produzirá 9 unidades do serviço A e nenhuma unidade do serviço B, e terá um lucro de R$ 630,00.
AULA 05
CONTEUDO ON LINE
PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO SIMPLEX
REGRAS DO ALGORITMO DO SIMPLEX
A utilização das 12 regras que você estudará a seguir facilita o entendimento do uso desse algoritmo.
Regra nº 1
O primeiropasso é transformar as inequações em equações. Isto é feito utilizando-se das chamadas variáveis de folga. 
As variáveis de folga assumirão o sinal positivo (+), se o sentido da restrição for do tipo menor e igual (≤); se o sentido da restrição for do tipo maior e igual (≥), assumirão o sinal negativo (-).
Regra nº 2
No caso das restrições do tipo maior e igual (≥), cuja variável de folga assume o sinal negativo (-), é necessária, também, a utilização das chamadas variáveis artificiais.
Regra nº 3
As variáveis de folga assumirão os valores crescentes, após as variáveis originais do problema.
Em um problema com três inequações e duas variáveis (X1 e X2), as variáveis de folga serão: X3 para a primeira inequação, X4 para a segunda inequação e X5 para a terceira inequação.
Regra nº 4
A função objetiva deverá ser multiplicada por (-1), para que  o valor final do quadro do simplex seja positivo.
Regra nº 7 
DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL QUE SAIRÁ DA BASE - dividem-se os valores da coluna b pelos valores da coluna que entrará na base. Escolhe-se o menor valor da divisão.
Regra nº 8
Em caso de empate na escolha da variável que entrará na base ou que sairá da base, a escolha deverá ser feita de forma arbitrária.
Essa escolha tanto poderá levar a um caminho mais curto, como a um caminho mais longo.
Regra nº 9
O valor correspondente à variável que entrará na base, com o que sairá da base (o encontro da linha e coluna), deverá ser igual a 1. 
Quando isso não ocorrer, é necessário dividir a linha pelo seu próprio valor.
Regra nº 10
Os demais valores da coluna que entrará na base deverão ser iguais a zero. Para zerar esses valores, deve-se utilizar a linha que “entrou na base", com as demais linhas.
Regra nº 11
Só chegaremos ao final do problema quando toda a linha de Z for positiva.
Regra nº 12
A resposta do problema encontra-se na coluna b. Portanto, temos que fazer a relação das variáveis da coluna BASE com a coluna b.
APLICAÇÃO DO ALGORITMO DO SIMPLEX
O passo 5 (Regra 5) é a construção do quadro do simplex.
APLICAÇÃO DO ALGORITMO DO SIMPLEX
O passo seguinte (Regra 6) é a determinação da variável que vai entrar na base. O objetivo do método simplex é colocar na base as variáveis originais do problema (X1 e X2). A regra diz que deve-se escolher na linha de –Z, o valor mais negativo.
APLICAÇÃO DO ALGORITMO DO SIMPLEX
A Regra 7 aborda a determinação da variável que sairá da base, para dar lugar à variável que entrará na base. A escolha sempre deverá ser feita nas variáveis de folga que estão na base.
Veja como zerar o valor da linha de X4.
	O procedimento para saber qual a variável que sairá da base está na Regra 7. Dividindo 11 por 5/3, encontramos 6, 6 e dividindo 1 por 1/3, encontramos 3. Portanto, a variável que sairá da base é x4, para dar lugar à variável x1.
	Como o valor da coluna de x1 é negativo (-400/3), a variável x1 deverá entrar na base no lugar de x3 ou x4.
	
Para zerar o valor da linha de x3, vamos multiplicar a linha x1 por -5/3 e somar à linha x3.
Para zerar o valor da linha de x2, vamos multiplicar a linha x1 por -1/3 e somar à linha x2.
Para zerar o valor da linha de –z, vamos multiplicar a linha x1 por + 400/3 e somar à linha –z.
A Regra 12 diz que a resposta do problema encontra-se na coluna b. Portanto, temos que fazer a relação das variáveis da coluna BASE, com a coluna b.
AULA TELETRANSMITIDA
AULA 05
PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO SIMPLEX
MÉTODO SIMPLEX
O Algoritmo dos Simplexos usa os conceitos básicos da álgebra matricial para a obtenção da solução viável ou ótima e que satisfaz a todas as restrições, sendo, portanto, uma ferramenta eficiente e eficaz, bem como rápida na localização de pontos ótimos que melhoram fortemente a função que queremos otimizar e indica quando a solução ótima foi atingida.
PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODO SIMPLEX 
Exemplo 1
Um fazendeiro deseja otimizar as suas plantações de arroz e de milho na sua fazenda. Ele deseja saber que áreas de arroz e milho devem plantar, para que o seu lucro seja máximo.
O lucro unitário esperado por área plantada de arroz é de R$ 5.000,00 e de milho R$ 2.000,00.
Sabe-se que as áreas plantadas de arroz e de milho não podem superar a 3 e 4 alqueires respectivamente.
O consumo total de homens-hora utilizados nas duas plantações não podem exceder a 9 homens-hora. Cada unidade de arroz plantada consome 1 homem-hora e de milho 2 homens-hora.
As áreas plantadas não podem ser negativas.
Variáveis de decisão:
	X1 = Qtd. de áreas de arroz
	X2 = Qtd. de áreas de milho
 Parâmetros:
	áreas de arroz, áreas de milho e homens-hora
Restrições: 
	Disponibilidade máxima de cada parâmetro: 
 3 alqueire de arroz, 4 alqueire de milho e 9 homens-hora
Função Objetivo:
	 Função objetivo a ser maximizada: 
		Zmáx.. = 5.000 X1 + 2.000 X2 
- Restrições técnicas: 
	áreas de arroz X1 3 
	áreas de milho 	 X2 	 4 
	homens-hora 	X1 + 2 X2 9 
 
 - Restrições de não negatividade: X1 0 e X2 0 
 	As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o custo, para cada solução apresentada.
A utilização das regras do Algoritmo dos Simplexos , facilita o entendimento do seu uso.
1ª) O primeiro passo é transformar as inequações em equações. Isto é feito, utilizando-se as chamadas variáveis de folga. As variáveis de folga assumirão o sinal positivo (+), se o sentido da restrição for do tipo menor e igual (≤); se o sentido da restrição for do tipo maior e igual (≥), assumirão o sinal negativo (-).
2ª) No caso das restrições do tipo maior e igual (≥), cuja variável de folga assume o sinal negativo (-), é necessário também da utilização das chamadas vaiáveis artificiais;
3ª) As variáveis de folga assumirão os valores crescentes, após as variáveis originais do problema. Um problema com três inequações e duas variáveis (X1 e X2), as variáveis de folga serão: X3 para a primeira inequação, X4 para a segunda inequação e X5 para a terceira inequação.
4ª) A função objetiva deverá ser multiplicada por (-1), para que o valor final do quadro do simplex seja positivo.
5ª) O passo seguinte é a construção do quadro do simplex, que tem a seguinte estrutura:
__________________________________________
	BASE X1 X2 X3 X4 X5 b
__________________________________________
	 X3
	 X4
	 X5
__________________________________________________
 -Z
6ª) DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL QUE ENTRARÁ NA BASE: escolhe-se na linha de –Z, dentre as variáveis que tenham sinal negativo, a mais negativa de todas.
7ª) DETERMINAÇÃO DA VAIÁVEL QUE SAIRÁ DA BASE: dividi-se os valores da coluna b, pelos valores da coluna que entrará na base. Escolhe-se o menor valor da divisão.
8ª) Em caso de empate na escolha da variável que entrará na base ou que sairá da base, a escolha deverá ser feita de forma arbitrária. Essa escolha tanto poderá levar a um caminho mais curto, como a um caminho mais longo.
9ª) O valor correspondente a variável que entrará na base, com o que sairá da base, deverá ser igual a 1. Quando isso não ocorrer, é necessário dividir a linha pelo seu próprio valor.
10ª) Os demais valores da coluna que entrará na base, com o que sairá da base, deverão ser iguais a zero. Para zerar esses valores, deve-se utilizar a linha que “entrou na base", com as demais linhas.
11ª) Só chegaremos ao final do problema, quando toda a linha de Z for positiva.
12ª) A resposta do problema encontra-se na coluna b. Portanto, temos que fazer a relação das variáveis da coluna BASE, com a coluna b.
Exemplo 2
A Esportes Radicais S.A. produz pára-quedas e asas-delta em duas linhas de montagem. A primeira linha tem 
100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtosrequer 10 h de processamento na linha 1, enquanto na linha 2 o pára-quedas requer 3 h e a asa-delta, 7 horas. Sabendo-se que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro unitário do pára-quedas é de R$ 60,00 e o da asa-delta é de R$ 40,00.
Qual a quantidade que deve ser produzida, para que a empresa tenha um lucro máximo?
Variáveis de decisão:
	X1 = Qtd. de pára-quedas
	X2 = Qtd. de asa-deltas 
Parâmetros:
	Linha 1 e linha 2
Restrições: 
	Disponibilidade máxima de cada parâmetro: 
 100 horas na linha 1 e 42 horas na linha 2
Função Objetivo:
	 Função objetivo a ser maximizada:
		Zmáx.. = 60 X1 + 40 X2
Restrições técnicas: 
Linha 1	10 X1 + 10 X2 100
Linha 2	 3 X1 + 7 X2 42 
- Restrições de não negatividade: X1 0 e X2 0 
 	As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de maximizar o lucro, para cada solução apresentada.
AULA 06
CONTEUDO ON LINE
PROGRAMAÇÃO LINEAR: UTILIZAÇÃO DO SOLVER
Para verificarmos a aplicação do Solver, vamos utilizar um exemplo.
“Uma indústria fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das seguintes matérias primas - cobre, zinco e chumbo:
 a liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de chumbo;
 a liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo.
A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo.
O lucro na venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B, R$ 500,00.
Deseja-se saber as quantidades de liga tipo A e B, que deverão ser produzidas, para que a indústria tenha um lucro máximo”.
A solução do problema que você acabou de analisar tem o modelo matemático primal mostrado a seguir.
Ao inserir a última condição clique em OK na janela Adicionar restrição. Será novamente exibida a janela Parâmetros do Solver com as restrições incluídas. Observe.
SOFTWARES DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
AULA 06
TELETRANSMITIDA
PROGRAMAÇÃO LINEAR: UTILIZAÇÃO DA FERRAMENTA SOLVER
SOLVER
O Solver faz parte de um conjunto de programas algumas vezes chamado de ferramentas de análise hipotética. Ele permite localizar um valor ideal para uma fórmula em uma célula (chamada de célula destino) em uma planilha. O Solver trabalha com um grupo de células relacionadas direta ou indiretamente com a fórmula na célula destino. Ele ajusta os valores nas células variáveis especificadas (chamadas de células ajustáveis) pra produzir o resultado especificado na fórmula da célula destino. É importante também aplicar restrições para restringir os valores que o Solver poderá usar no modelo e as restrições podem se referir as outras células que afetem a fórmula da célula destino.
UTILIZAÇÃO DO SOLVER
Para que possamos resolver o nosso problema de Programação Linear é preciso acessar o Solver.
Na versão 2003 do Office Excel, clique no menu Ferramentas e logo em seguida em Solver. 
Na versão 2007 do programa em diante, o Solver está disponível no grupo Análise, na guia Dados.
Caso a ferramenta Solver não esteja disponível na versão 2003 do Excel, clique no menu Ferramentas e depois em Suplementos e marque a opção Solver.  O Excel instalará a mesma, disponibilizando-a para uso.
Exemplo 1 – Empresa Alumínia S.A.
Variáveis de decisão:
	X1 = nº de dias de operação da fábrica de São Paulo
	X2 = nº de dias de operação da fábrica do Rio de Janeiro
Restrições técnicas: 
	lâmina fina 8 X1 + 2 X2 16 
	lâmina média X1 + X2 6 
	lâmina grossa 2 X1 + 7 X2 28 
Função Objetivo:
	 Função objetivo a ser minimizada: 
		ZMin. = 100000 X1 + 200000 X2
Exemplo 2
Variáveis de decisão:
X1 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo das pizzas
X2 = Qtd. de horas que serão utilizadas no preparo dos calzones 
Restrições técnicas: 
pizza	 X1 128 
calzone	 X2 72 
Queijo 	40 X1 + 60 X2 5000 
Função Objetivo:
	 Função objetivo a ser maximizada: 
		ZMáx. = 18 X1 + 22 X2 
Exemplo 3
Variáveis de decisão:
	X1 = Qtd. de serviços tipo A
	X2 = Qtd. de serviços tipo B 
Restrições técnicas: 
Recurso I	4 X1 + 6 X2 36 
Recurso II	 4 X1 + 2 X2 20 
 Custo 800 X1 + 900 X2 7200 
Função Objetivo:
	 Função objetivo a ser maximizada: 
		ZMáx. = 70 X1 + 160 X2 
Exemplo 4 (exercício nº 8 do Livro Universitário) 
Variáveis de decisão:
X1 = Qtd. de para-quedas produzidos/vendidos
X2 = Qtd. De asa-deltas produzidas/vendidas
 
Restrições técnicas: 
Linha 1	 10 X1 + 10 X2 100 
Linha 2 	 3 X1 + 7 X2 42 
Função Objetivo:
	Função objetivo a ser maximizada: 
	 ZMáx. = 60 X1 + 40 X2 
Exemplo 5 
Variáveis de decisão:
X1 = Qtd. de serviços tipo A
X2 = Qtd. de serviços tipo B
Restrições técnicas: 
- Recurso I	4 X1 + 6 X2 36 
- Recurso II	 4 X1 + 2 X2 20 
 - Custo 800 X1 + 900 X2 7200 
Função Objetivo:
- Função objetivo a ser maximizada: 
		ZMáx. = 70 X1 + 160 X2 
AULA 07 
CONTEUDO ON LINE
O PROBLEMA DUAL
Uma das mais importantes descobertas no início do desenvolvimento da Programação Linear foi o conceito de dualidade e suas muitas ramificações importantes. 
Esta descoberta revelou que todo o problema de Programação Linear tem associado a ele outro problema de Programação Linear chamado dual.
O problema dual é um modelo associado ao original, que traz a interpretabilidade econômica para os valores de recursos e para os coeficientes da função objetivo. 
Esta interpretabilidade serve para amenizar as dúvidas impostas pela hipótese de certeza do problema de Programação Linear.
COMPARAÇÃO DA FORMA DOS PROBLEMAS PRIMAL E DUAL
A cada modelo de Programação Linear, corresponde um outro modelo, denominado dual, formado por esses mesmos coeficientes, porém dispostos de maneira diferente, utilizando-se o conceito de matriz transposta.
Vamos entender melhor o conceito de Programação Dual?
Comparando os modelos primal e dual, verificamos que:
• as restrições do dual são do tipo >   , ao passo que as do primal são do tipo <;
• o número de incógnitas do dual (m valores de yi) é igual ao número de restrições do primal;
• o número de restrições do dual é igual ao número de incógnitas do primal (n valores de xj);
• a matriz dos coeficientes do dual é a transposta da matriz dos coeficientes do primal;
• a função objetivo do dual é de minimização, ao passo que a do primal é de maximização;
• as termos constantes das restrições do dual são os coeficientes da função objetivo do primal;
• os coeficientes da função objetivo do dual são os termos constantes das restrições do primal.
MÉTODO DUAL-SIMPLEX
Você conhece as características do Método Dual-Simplex?
O método Dual-Simplex lida com o quê? O método Dual-Simplex lida diretamente com soluções básicas incompatíveis, porém “melhores que a ótima”, e procura achar a compatibilidade do problema. Ele lida com o problema exatamente como se o método simplex estivesse sendo simultaneamente aplicado ao seu problema dual.
O método Dual-Simplex é empregado em quê? O método Dual-Simplex é bastante empregado em análise de sensibilidade, quando são feitas pequenas modificações no modelo. Além disso, algumas vezes é mais fácil começar com uma solução básica incompatível, porém “melhor que a ótima”, e procurar a compatibilidade, do que obter uma solução compatível básica inicial e depois otimizá-la, como se faz no método simplex.
Para facilitar o entendimento do método, vamos utilizar um exemplo.
AULA 07 
TELETRANSMITIDA
PROGRAMAÇÃO LINEAR: TEORIA DA DUALIDADE
O PROBLEMA DUAL 
	Uma das mais importantes descobertas no início do desenvolvimento da Programação Linear foi o conceito de dualidade e suas muitasramificações importantes. Esta descoberta revelou que todo o problema de Programação Linear tem associado a ele outro problema de Programação Linear chamado dual. 
As relações entre o problema dual e o problema original (chamado de primal) provam ser úteis de diversas maneiras. O problema dual é um modelo associado ao original, que traz a interpretabilidade econômica para os valores de recursos e para os coeficientes da função objetivo. Esta interpretabilidade serve para amenizar essas dúvidas impostas pela hipótese de certeza do problema de programação linear.
Exemplo 1
- Modelo matemático primal:
Linha 1 10 X1 + 10 X2 100 (10; 10)
Linha 2 3 X1 + 7 X2 42 (14; 6)
ZMáx. = 60 X1 + 40 X2
- Modelo matemático dual:
	 10 Y 1 + 3 Y 2 60 (6; 20) 
 10 Y 1 + 7 Y 2 40 (4; 5,7) 
	 Z Min = 100 Y 1 + 42 Y 2 
MÉTODO DUAL-SIMPLEX
 	O método Dual-Simplex lida diretamente com soluções básicas incompatíveis, porém “melhores que a ótima”, e procura achar a compatibilidade do problema. Ele lida com o problema exatamente como se o método simplex estivesse sendo, simultaneamente aplicado ao seu problema dual.
Exemplo do método Dual-Simplex:
- Modelo matemático primal:
 10 X1 + 10 X2 100 ÷ 10 X1 + X2 10 
 3 X1 + 7 X2 42 
ZMáx. = 60 X1 + 40 X2
- Colocando as variáveis de folga:
 X1 + X2 + X3 = 10 
 3 X1 + 7 X2 + X4 = 42 
- ZMín. = - 60 X1 - 40 X2
Modelo matemático dual:
	 10 Y 1 + 3 Y 2 60 
 10 Y 1 + 7 Y 2 40 
	 Z Min = 100 Y 1 + 42 Y 2 
- Colocando as variáveis de folga:
 10 Y 1 + 3 Y 2 - Y3 = 60 
 10 Y 1 + 7 Y 2 - Y4 = 40 
- Z Min = - 100 Y 1 - 42 Y 2 
Solução do Método Dual-Simplex
Modelo matemático primal:
 	 X1 = 10	 X2 = 0 X3 = 0 X4 = 12
 ZMáx. = 600
Modelo matemático dual:
 Y 1 = 6 3 Y 2 = 0 Y3 = 0 Y4 = 20 
 ZMín. = 600
AULA 08 
CONTEUDO ON LINE
TEORIA DOS JOGOS: CONCEITOS BÁSICOS
		A Teoria dos Jogos é uma teoria matemática sobre conflito e colaboração de situações nas quais se pode favorecer ou contrariar um ou outro ou ambos ao mesmo tempo.
		Os homens algumas vezes lutam uns contra os outros e algumas vezes cooperam entre si, dispõem de diferentes graus de informação acerca do próximo e suas aspirações os conduzem ao conflito ou à colaboração.
		Para alguns jogos, a teoria pode indicar uma solução para o jogo, isto é, a melhor maneira a proceder para cada pessoa envolvida.
Entre os anos de 1928 a 1942, John Von Newmann publicou em revistas especializadas em matemática a Teoria dos Jogos Estratégicos.
Em 1944, Von Newmann e Oskar Morgenstern publicaram o livro Theory of Games and Economic Behavior (Teoria dos Jogos e Desenvolvimento Econômico), que marca o início da Teoria dos Jogos que também teve a contribuição de outros pesquisadores.
No livro publicado por Von Newmann e Morgenstern são analisadas duas abordagens. 
A primeira abordagem é a dos jogos cooperativos, que procura descrever o comportamento ótimo em jogos que envolvem a participação muito grande de jogadores. 
O objetivo desta classe de jogos é estabelecer os tipos de colisões possíveis que são consistentes com o comportamento racional. Na segunda abordagem, é analisada a estratégia de jogos não cooperativos.
Em 1994, os pesquisadores John Nash, o alemão Reinhard Selten e o húngaro naturalizado americano John Harsanyi, foram agraciados com o Nobel de Economia, em reconhecimento aos seus trabalhos no campo da Teoria dos Jogos não cooperativos que é uma das ferramentas mais utilizadas na economia.
A Teoria dos Jogos não é uma teoria única, mas um conjunto de teorias. Um jogo não passa de um modelo da realidade, e esperar que um único modelo possa refletir com precisão tipos de atividade tão diversas seria um exagero.
A Teoria dos Jogos não pretende resolver todos os tipos de conflito, porém dá uma melhor compreensão em situações complicadas, através da sua coleção de técnicas para analisar estes problemas.
A palavra “jogadores” não tem exatamente o sentido que se poderia esperar. O jogador pode ser uma pessoa, pode ser uma equipe, uma empresa, um país.
A BATALHA DO MAR DE BISMARCK
Existem situações nas quais ocorrem interações estratégicas, que podem ser caracterizadas como “jogos”. Portanto, é possível indagar-se se existe alguma maneira de analisar e conhecer melhor os possíveis desdobramentos desse tipo de situação em que há interação estratégica.
Iremos utilizar a batalha do mar de Bismarck, da segunda guerra mundial, para ilustrar para que serve a Teoria dos Jogos.
UM JOGO
Um jogo pode ser definido como uma representação formal que permite a análise das situações em que agentes (jogadores) interagem entre si, agindo de forma racional. Vamos descrever cada um dos seus elementos.
UM JOGO É UM MODELO FORMAL
A Teoria dos Jogos envolve técnicas de descrição e análise, que exigem regras preestabelecidas para apresentar e estudar um jogo.
INTERAÇÕES
	As ações de cada agente devem ser consideradas individualmente, pois afetam os demais. Existe, porém, alguns autores, que consideram que as ações de um agente não chegam a afetar os demais.
AGENTES (JOGADORES)
	É considerado qualquer indivíduo ou um grupo de indivíduos com capacidade de decisão para afetar os demais. Agentes (jogadores) tanto podem ser indivíduos como empresas, governos, sindicatos ou partidos políticos.
RACIONALIDADE
	Considerar que os agentes (jogadores) são racionais significa supor que os indivíduos empregam os meios mais adequados aos objetivos que almejam alcançar.
COMPORTAMENTO ESTRATÉGICO
	Entende-se que cada jogador, ao tomar a sua decisão, leva em consideração o fato de que os jogadores interagem entre si, pois sua decisão terá consequências sobre os demais jogadores, e que também as decisões dos outros jogadores terão consequências sobre ele.
Um jogo envolve a interdependência mútua das ações de seus jogadores, e isso leva naturalmente os jogadores a considerarem, em suas decisões, os efeitos sobre os demais jogadores, bem como as reações destes.
No contexto empresarial, a Teoria dos Jogos provê um conjunto de ferramentas para a análise de problemas de decisão que uma empresa enfrenta quando o seu destino depende tanto de sua estratégia quanto da estratégia de seus concorrentes.
Existem jogos que não envolvem decisões estratégicas, como, por exemplo, as loterias de prognósticos, que são jogos de pura sorte, ou jogos que envolvem habilidades, como natação nas Olimpíadas. Jogos de habilidade e pura sorte, que não envolvem decisões estratégicas, não serão considerados neste curso.
AULA 08 
TELETRANSMITIDA
TEORIA DOS JOGOS: CONCEITOS BÁSICOS
A ORIGEM DOS JOGOS
É preciso compreender a importância dos jogos em uma nova dinâmica, não somente na forma habitual que conhecemos, quando nos reunimos para assistir o nosso time favorito na televisão ou quando jogamos com nossos amigos, praticando o nosso esporte preferido. Na nossa infância tivemos contato com algum tipo de jogo: jogos eletrônicos, jogos de salão, jogos de tabuleiro ou outra modalidade. A grande questão, é que muitos de nós não consideramos os jogos como algo que possa ser estudado de forma mais profunda. 
Para nós a representação do jogo está na situação de competição ou conflito entre dois ou mais oponentes. Estes oponentes são usualmente chamados de jogadores. Um jogador pode ser um time composto de mais de uma pessoa, como num jogo de carta de duplas. Alguns exemplos de jogos são: 
	• Jogos de salão, como cara-e-coroa, jogo da velha, 	damas ou xadrez; 
	• Competição econômica; 
	• Conflitos militares ou guerras. 
INTRODUÇÃO
	A Teoria dos Jogos é uma teoria matemática sobre conflito e colaboração, de situações nas quais se pode favorecer ou contrariar um a outro, ou ambos ao mesmo tempo. Os homens algumas vezes lutam uns contraos outros e algumas vezes cooperam entre si, dispõem de diferentes graus de informação acerca do próximo, e suas aspirações os conduzem ao conflito ou à colaboração. Para alguns jogos, a teoria pode indicar uma solução para o jogo, isto é, a melhor maneira a proceder para cada pessoa envolvida.
Para Fiani (2006), sempre que um conjunto de indivíduos, empresas, partidos políticos, etc., estiver envolvido em uma situação de interdependência recíproca, em que as decisões tomadas influenciam-se reciprocamente, pode-se dizer que eles se encontram em um jogo. A teoria dos jogos ajuda a entender teoricamente o processo de decisão de agentes que interagem entre si, a partir da compreensão da lógica da situação em que estão envolvidos. Outro ganho no estudo da Teoria dos Jogos é que ela ajuda a desenvolver a capacidade de raciocinar estrategicamente, explorando as possibilidades de interação dos agentes, possibilidades estas que nem sempre correspondem à intuição.
A ORIGEM DA TEORIA DOS JOGOS
Entre os anos de 1928 a 1942 John von Newmann, publicou artigos em revistas especializadas em matemática a Teoria dos Jogos Estratégicos. Em 1944, von Newmann e Oskar Morgenstern publicaram o livro “Teoria dos Jogos e Desenvolvimento Econômico”, que marca o início da Teoria dos Jogos que também teve a contribuição de outros pesquisadores.
No livro publicado por Newmann e Morgenstern, são analisadas duas abordagens. A primeira abordagem é a dos jogos cooperativos e procura descrever o comportamento ótimo em jogos que envolvem a participação muito grande de jogadores.Na segunda abordagem é analisada a estratégica de jogos não-cooperativos.
Em 1994, os pesquisadores John Nash, o alemão Reinhard Selten e o húngaro naturalizado americano John Harsanyi, foram agraciados com o Nobel de Economia, em reconhecimento aos seus trabalhos no campo da Teoria dos Jogos não-cooperativos que é uma das ferramentas mais utilizadas na economia.
	A Teoria dos Jogos não pretende resolver todos os tipos de conflito, porém dá uma melhor compreensão em situações complicadas, através da sua coleção de técnicas para analisar estes problemas.
CONCEITOS BÁSICOS
Segundo Eaton (1999), no caso da teoria dos jogos, os tomadores de decisões são chamados de jogadores: eles são as entidades, como firmas, indivíduos ou governos, que fazem escolhas no jogo. No caso da analise do comportamento econômico, nossos jogadores serão as firmas e o que eles escolhem – quantidade de produção e preço – serão chamadas de estratégias. Se as firmas escolherem a quantidade de produção, por exemplo, então a estratégia de uma firma é sua quantidade de produção. 
CATEGORIA DOS JOGOS
A teoria dos jogos é uma teoria que trata os aspectos gerais de situações competitivas. Ela, a teoria, dá ênfase especial ao processo de tomada de decisão dos competidores. A teoria dos jogos classifica os jogos em muitas categorias que determinam que método pode ser usado para resolvê-los. 
Algumas das categorias mais comuns são: 
	• Jogos de Soma nula: são jogos em que a soma total dos benefícios colhidos por todos os jogadores é sempre igual a zero (ou seja, um jogador só pode ganhar se outro perder). O Xadrez e o Poker são jogos de soma zero porque cada jogador ganha precisamente o que o outro perde. A economia e a política, por exemplo, não são jogos de soma zero porque alguns desfechos podem ser bons (ou maus) para todos os jogadores ao mesmo tempo; 
• Jogos de Soma não-nula: São os que não possuem a propriedade anterior (jogos de soma nula), como o Dilema do Prisioneiro, em que o payoff total é 2 anos de prisão se ambos ficam em silêncio e 4 anos se os dois prisioneiros confessam. 
• Jogos Cooperativos: são jogos em que os jogadores podem comunicar e negociar entre si; 
• Jogos Transparentes (de informação perfeita): são jogos em que todos os jogadores têm acesso à mesma informação. O Xadrez é um jogo transparente, mas o Poker não é. 
ESTRATÉGIA
	Estratégia é algo que um jogador faz para alcançar seu objetivo. Um jogador sempre procura uma estratégia que aumente seus ganhos ou diminua as perdas. Em um jogo de pôquer um jogador pode baixar suas cartas ao começo de cada rodada, diminuindo suas perdas dessa forma. 
AULA 09
CONTEUDO ON LINE
Em diversas circunstâncias, como na economia e no mundo dos negócios, empresas, governo e consumidores se envolvem em processos de interação estratégica. 
Portanto, é preciso saber como modelar esses processos e como analisá-los, procurando determinar as possíveis consequências dessas interações, ou seja, utilizar a linguagem da Teoria dos Jogos, para identificar os possíveis resultados do jogo.
EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SIMULTÂNEO
Para apresentar um jogo simultâneo, a forma mais adequada é por meio da forma estratégica ou normal.
Muitas vezes os jogadores fazem escolhas a partir do que os outros jogadores decidiram no passado e, portanto, nem sempre as decisões são tomadas ignorando as decisões dos demais jogadores.
A forma de representar e analisar um jogo sequencial é diferente dos jogos simultâneos. A melhor forma de apresentar a noção de jogos sequenciais é utilizar a forma estendida (árvore de decisão).
A elaboração de uma árvore de decisão deve obedecer as seguintes regras:
• todo nó deve ser representado por, no máximo, um outro nó apenas;
• nenhuma trajetória pode ligar um nó a ele mesmo;
• todo nó na árvore de decisão deve ser sucessor de um único e mesmo nó inicial.
ESTRATÉGIAS E CONJUNTOS DE INFORMAÇÃO
Como se caracteriza a racionalidade dos jogadores?
Sendo racionais, os jogadores envolvidos no processo de interação estratégica não decidem considerando apenas a etapa em que se encontram, mas também todo o desenvolvimento do processo de interação até ali e suas consequências futuras.
Qual a exigência em relação à estratégia de cada jogador?
Como os jogadores podem, ou devem, interagir estrategicamente é exigida uma análise das estratégias de cada jogador. O conjunto de estratégias de cada jogador é chamado de conjunto de estratégias ou espaço de estratégias.
ESTRATÉGIAS E CONJUNTOS DE INFORMAÇÃO
Em jogos sequenciais os jogadores são capazes de, em algum momento, fazer suas escolhas conhecendo as ações dos demais em etapas anteriores.
No caso da 3M, como ela decide antes da Bombril, sem nenhuma decisão anterior para considerar, seu espaço de estratégias coincide com o seu conjunto de ações.
Modelagem de jogos
A diferença existente no espaço de estratégias da Bombril, quando comparado ao espaço de estratégias dos jogadores na forma estratégica, pode ser vista como um resultado da diferença nas informações da Bombril.
A diferença nas informações da Bombril é decorrente do fato de que, enquanto os jogadores em jogos simultâneos decidem sem saber qual foi a decisão dos demais jogadores, no jogo sequencial a Bombril decide o que fazer em relação ao preço de sua esponja de lã de aço sabendo o que a 3M decidiu. 
Conclui-se, portanto, que ao se modelar um jogo, a opção entre um jogo simultâneo ou um jogo sequencial deve estar baseada nas informações de que os jogadores dispõem sobre as decisões dos demais.
AULA 09
TELETRANSMITIDA
TEORIA DOS JOGOS: MODELOS DE JOGOS
MODELAGEM DE UM JOGO
Segundo Fiani (2006), em diversas circunstâncias, como na economia e no mundo dos negócios, empresas, governo e consumidores se envolvem em processos de interação estratégica. Portanto, é preciso saber como modelar esses processos e como analisá-los, procurando determinar as possíveis conseqüências dessas interações, ou seja, utilizar a linguagem da Teoria dos Jogos, para identificar os possíveis resultados do jogo.
AS AÇÕES DOS JOGADORES E SUAS CONSEQUÊNCIAS
Jogos são modelos que tratam de interações estratégicas e que as interações estratégicas são o resultado do reconhecimento por parte de cada um dos jogadores, de que suas ações afetam os demais e vice-versa.
Reforçando um conceito visto na aula anterior, de que jogador é qualquer indivíduo ou organização envolvido no processo de interação

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