Exercícios Cálculo 1

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RETA TANGENTE A CURVA
Determine o coeficiente angular da reta tangente à curva x²y + seny = 2π no ponto P(1,2π).
Determine o coeficiente angular da reta tangente à curva 3y4 + 4x – x²seny – 4 = 0 no ponto P(1,0).
Encontre a equação da reta tangente à curva y = x³ + y³ -9xy = 0 no ponto P(2,4).
Encontre a equação da reta tangente à curva x² + xy – y² = 1 no ponto P(2,3).
Encontre a equação da reta tangente à curva 2(x² + y²)² = 25(x² - y²) no ponto P(3,1).à curva y = no ponto P(2,3).
Encontre a equação da reta tangente 
Determine todos os pontos da curva x² - y² = 2x + 4y nos quais a reta tangente à curva é horizontal.
Encontre a equação da reta tangente à curva y³ + yx² - 3y² = 0 no ponto P(0,3).
Encontre a equação da reta tangente a curva x³ + y³ = 3xy no ponto P()
DERIVADA
Se h(x) = , onde f(1) = 7 e f(1) = 4, encontre h(1).
Seja r(x) = f(g(h(x))), onde h(1) = 2 , g(2) = 4, h’(1) = 4, g’(2) = 5 e f’(3) = 6. Encontre r’(1).
Se h(x) = onde f(1) = 7 e f’(1) = 4, encontre h’(1).
TAXAS RELACIONADAS
Uma escada de 6 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4 metros do solo?
Uma pessoa que solta um papagaio segurava a corda a 1,5m do solo. A corda é liberada à razão de 0,6m/s na medida em que o papagaio se move horizontalmente a uma altura de 33,5 metros. Supondo que a corda fique sempre tensa, determine a taxa a qual o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados 38 metros de corda.
Uma pessoa parte do ponto A em direção lste a 3m/s. Um minuto depois, outra pessoa parte de A em direção norte a 2,5 m/s. A que taxa está variando a distância entre elas 1 minuto após a partida da segunda pessoa?
A 1 hora o navio “A” está a 25km ao sul do “B”. Se o navio “A” está navegando para o oeste à razão de 16km/h e o navio “B” está navegando para o sul à razão de 20km/h, determine a razão na qual varia a distância entre os navios a 1:30.
Um tanque de água canônico com o vértice para baixo tem um raio de 10cm no topo e uma altura de 24m. A água flui para dentro do tanque a uma taxa de 20m³/min. Com que velocidade sua profundidade estará crescendo quando ela tiver 16m de profundidade.
Uma pessoa parte o ponto A em direção leste a 3m/s. Um minuto depois, outra parte de A em direção norte a 2,5m/s. A que taxa está variando a distância entre elas um minuto após a partida da segunda pessoa?
Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 30km/h e o outro para o oeste a 72km/h. A que taxa está crescendo a distância entre os carros duas horas depois.
Areia cai de uma calha de escoamento formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao diâmetro. Se a altura crescer a uma taxa constante de 5m/s, a que taxa a areia estará escoando quando a pilha tiver 10m de altura?
Ao meio dia, um navio A está 100km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o sul a 35km/h, e o navio B está indo para o norte a 25km/h. Quão rápido estará variando a distância entre eles ás 4 horas da tarde?
Ao meio dia, um caminhão se encontra no cruzamento de duas estradas e está rumando para o norte a 70km/h. Uma hora depois, um carro passa pelo mesmo cruzamento viajando para o leste a 105km/h. Qual é a taxa de variação da distância entre o carro e o caminhão ás 14 horas?
Um vazamento de petróleo no oceano produz uma mancha de forma aproximadamente circular de raio R(t) metros, onde t é o tempo em minutos após o início do vazamento. O raio está aumentando a uma taxa R(t) = m/min.
a) Escreva uma expressão para o raio R(t), suponde que R=0 para t=0
b) Qual é a área A=πR² da mancha após 1 hora?
Uma rodovia norte-sul intercepta outra rodovia leste-oeste em um ponto P. Um automóvel passa por P ás 10h, dirigindo-se para o leste a 20km/h. No mesmo instante, outro automóvel está a 2km ao norte de P e se dirige para o sul a 50km/h. Determine o instante em que os automóveis estão mais próximos um do outro, e aproxime a distância entre eles. 
Dois carros se aproximam de um cruzamento de duas estradas perpendiculares. O carro A viaja A 20km/h e o carro B a 40km/h do mesmo, determine a taxa de aproximação dos dois carros naquele instante.
Uma viatura de polícia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que, no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a 0,6km ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8km a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 20km/h. S e a viatura está se deslocando a 60km/h no instante dessa medida, qual a velocidade do fugitivo?
Uma escada com 5m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/s. Quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 3m da parede?
Uma criança está empinando uma pipa a uma altura de 24 metros. A pipa se move horizontalmente com uma velocidade constante de 1,5m/s. Com que taxa a linha está sendo estendida quando a pipa se encontra a 30m de distância da criança?
Um estudo revela que os investimentos em controle da poluição são eficazes apenas até certo ponto. Suponha que se saiba que, quando o gasto é de x milhões de reais, a porcentagem de decréscimo da poluição é dada por: p(x) = 
A que taxa a porcentagem de decréscimo da poluição p(x) está variando quando 16 milhões de reais são investidos? A porcentagem está aumentando ou diminuindo para este nível gasto?
Para que valores de x a porcentagem p(x) está aumentando? Para que valores está diminuindo? 
GRÁFICO DA FUNÇÃO
Faça o esboço do gráfico da função f(x) = 2x6 – 6x4.
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = .
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = 5x³ - 3x³.
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = 2x6 – 6x4.
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = x² - 4x.
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = 3x5 – 5x³.
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = 4x³ + 3x4.
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = 2x6 – 6x4.
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = x³.
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = 8x² - 2x4.
Faça um esboço do gráfico da função f(x) = 4x³ - 3x4.
OTIMIZAÇÃO
Você pretende construir um galinheiro retangular usando como um dos lados uma parede. Para os outros três lados, serão usados 30 metros de tela. Quais devem ser as cm³dimensões do galinheiro para que sua área seja máxima?
Deve-se construir uma caixa de base retangular com uma folha de cartolina de 40cm de largura e 52cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto e 375dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo.
Um recipiente cilíndrico sem tampa deve ter 1m³ de capacidade. Se não há perdas na construção, ache as dimensões que exigem o mínimo de material. 
Um recipiente cilíndrico aberto em cima, de 375π cm³. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por cm² e o custo do material usado para a lateral é de 5 centavos por cm². Se não há perdas de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material. 
Um construtor deseja construir um depósito com capacidade de 30m³, teto plano, base retangular, cuja largura é ¾ do comprimento. O custo por m² do material é de R$36 para o chão, R$204 para os lado e R$102 para o teto. Que dimensões minimizam o custo?
Uma imobiliária possui 180 apartamentos tipo econômico, que estão todos por R$300 mensais. A imobiliária estima que, para cada R$10 de aumento no aluguel, 5 apartamentos ficarão vazios. Qual o aluguel que deve ser cobrado para se obter uma renda mensal máxima?
O proprietário de um pomar de maçãs estima que, plantando 24 pés por acre (aproximadamente 4047m²),cada pé de maçã adulto produzirá 600 maçãs por ano. Para cada árvore plantada por acre além de 24 haverá um decréscimo de produção de 12 maçãs por ano. Quantas árvores devem ser plantadas de modo a se obter o número máximo de maçãs por ano?
Uma pessoa se acha em um bote a 2km de distância do ponto mais próximo em uma praia retilínea, e deseja atingir uma casa a 6km praia abaixo. Se a pessoa pode remar a razão de 3km/h e andar a razão de 5km/h, determine o tempo mínimo que levará para atingir a casa.
Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B distantes 3km um do outro e situados em margens opostas de um rio de 1km de largura. Parte do oleoduto ficará submersa de A a C, e parte para acima do solo de C a B. Se o custo de operação do oleoduto sob a água é quatro vezes o custo de operação no solo, determine a localização de C que minimize o custo de operação do oleoduto.
As margens superiores e inferiores de um pôster têm 6cm e cada margem lateral tem 4cm. Se a área do material impresso no pôster é de 384cm², quais as dimensões do pôster com a menor área?
Um fabricante tem vendido 1000 aparelhos de televisão de tela plana por semana, a R$450 cada. Uma pesquisa de mercado indica que para cada R$10 de desconto oferecido ao comprador, o número de aparelhos vendidos aumenta 100 por semana. Que desconto a companhia deveria oferecer ao comprados para maximizar a sua receita?
Um fazendeiro quer cercar uma área de 15000m² em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma que minimize o custo da cerca?
Uma página de livro deve ter uma área de 580cm², com margens em baixo de 3cm, dos lados de 3cm e em cima com 5cm. Determine as dimensões da página com maior área impressa.
Uma caixa aberta deve ser feita com uma folha de metal de 3 por 8cm, cortando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Encontre o volume máximo que uma caixa dessas pode ter.
Um contêiner para estocagem retangular sem tampa deve ter um volume de 10m³. O comprimento da base é o dobro da largura. O material para a base custa R$10 por metro quadrado. O material para os lados custa R$6 por metro quadrado. Encontre custo dos materiais para o mais barato dos contêineres.
Uma caixa fechada de fundo quadrado tem um volume de 250m³. O material usado para fazer a tampa e o fundo da caixa custa R$2 o metro quadrado e o material usado para fazer os lados custa R$1 o metro quadrado. Quais devem ser as dimensões para minimizar o custo da faixa?
Um balão de ar quente sobe verticalmente á medida que uma corda, amarrada à sua base é liberada à razão de 1m/min. O carretel que libera a corda está a 6,5m da plataforma onde os passageiros embarcam. A que taxa o balão está subindo quando tiverem sido liberados 150m da corda?
As margens superiores e inferiores de um pôster têm 6cm e cada margem lateral tem 4cm. Se a área do material impresso no pôster é der 384cm², quais são as dimensões do pôster com a menor área?
INTEGRAL
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