Limites - Parte 3

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Ca´lculo I - Lista de Exerc´ıcios no¯ 7 - 1o¯ semestre/2015
1. A func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) = { 2x, se x ≤ 3
7, se x > 3
e´ cont´ınua em p = 3? Justifique.
2. Determine L para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto dado. Justifique.
(a) f(x) =

x2 − 4
x− 2
, se x 6= 2
L, se x = 2
em p = 2 (b) f(x) =

x2 − x
x
, se x 6= 0
L, se x = 0
em p = 0
3. Determine o conjunto dos pontos em que a func¸a˜o dada e´ cont´ınua.
(a) f(x) =
{
1, se x ∈ Q
−1, se x 6∈ Q (b) f(x) =
{
2x, se x ≤ 3
7, se x > 3
(c) f(x) = dxe
(d) f(x) =
{
x, se x ∈ Q
−x, se x 6∈ Q (e) f(x) = x− bxc
4. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o definida em R que seja cont´ınua em todos os pontos, exceto em
−1, 0 e 1.
5. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o definida em R que seja cont´ınua em todos os pontos, exceto no
conjunto dos nu´meros inteiros.
6. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o definida em R que seja cont´ınua apenas nos pontos −1, 0 e 1.
7. Deˆ o valor (caso exista) que a func¸a˜o deve assumir no ponto dado para ser cont´ınua neste
ponto. Justifique.
(a) f(x) =
√
x−
√
3
x− 3
em p = 3 (b) f(x) =
| x− 5 |
x− 5
em p = 5
8. Suponha que | f(x) − f(1) |≤ (x− 1)2, para todo x. Prove que f e´ cont´ınua em p = 1.
9. Suponha que para todo x, | g(x) |≤ x4 . Calcule lim
x→0
g(x)
x
.
10. Prove que a func¸a˜o f(x) = 2x− 1 e´ cont´ınua em x = 1.
11. Prove que a func¸a˜o f(x) = x2 e´ cont´ınua em x = 0.
12. Prove que a func¸a˜o f(x) = x3 e´ cont´ınua em x = 1.
13. Mostre que a equac¸a˜o x3 − 4x2 + x+ 3 = 0 tem pelo menos uma raiz entre 1 e 2.
14. Mostre que a equac¸a˜o x3 − 4x+ 2 = 0 admite treˆs ra´ızes reais distintas.
15. Seja α a menor raiz positiva da equac¸a˜o x3−4x+2 = 0. Determine intervalos de amplitudes
1
2
,
1
4
e
1
8
que contenham α.
16. Mostre que a equac¸a˜o x3 −
1
1+ x4
= 0 admite pelo menos uma raiz real.
17. Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite um ma´ximo e um mı´nimo.
(a) A =
{
x
1+ x2
| −2 ≤ x ≤ 2
}
(b) B =
{
x2 + x
1+ x2
| −1 ≤ x ≤ 1
}
18. Seja f : [−1, 1]→ R dada por x2 + x
1+ x2
.
(a) Prove que f(1) e´ um valor ma´ximo de f.
(b) Prove que existe c ∈ (−1, 0) tal que f(c) e´ valor mı´nimo de f.
UFMS / INMA Turmas 1, 2, 3 e 7