Derivadas - Parte 3

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Ca´lculo I - Lista de Exerc´ıcios no¯ 10 - 1
o
¯ semestre/2015
1. Expresse
dy
dx
em termos de x e de y, onde y = y(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel, dada implicitamente
pela equac¸a˜o
(a) y3 + sen xy = 1. (b) ey + xy = x.
(c) yx + x = y2. (d) x cosy+ y cos x = 2.
2. Seja y = f(x) definida e deriva´vel num intervalo contendo 1 e suponha que f seja dada implicitamente
pela equac¸a˜o y3 + x2y = 130. Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal ao gra´fico de f,
no ponto (1, 5).
3. Determine uma reta que seja paralela a reta de equac¸a˜o x + y = 1 e que seja tangente a` curva de
equac¸a˜o x2 + xy+ y2 = 3.
4. Mostre, usando a diferenciac¸a˜o impl´ıcita, que qualquer reta tangente em um ponto P a um c´ırculo
com centro O e´ perpendicular ao raio OP.
5. Determine uma reta que seja tangente a` elipse de equac¸a˜o x2 + 2y2 = 9 e que intercepta o eixo y
no ponto de ordenada
9
4
.
6. Encontre todos os pontos sobre a curva x2y2 + xy = 2 onde a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ −1.
7. Seja f(x) = x+ ex e seja g a func¸a˜o inversa de f. Calcule g ′(1) e g ′′(1).
8. Seja f(x) = x3 + x.
(a) Mostre que f admite func¸a˜o inversa g.
(b) Expresse g ′(x) em termos de g(x).
(c) Calcule g ′(0).
9. Em cada caso, calcule a derivada da func¸a˜o inversa de f no ponto dado.
(a) f(x) = x3 − x2 + 4; b = f(1) (b) f(x) =
x2 − 3
x+ 1
; b = f(3)
(c) f(x) =
√
3x+ 1; b = 1 (d) f(x) = x2 − 16, x ≥ 0; b = 9
10. Calcule:
(a) arcsen 1 (b) arcsen
1
2
(c) arcsen
√
3
2
(d) arctg 1 (e) arctg (−1)
(f) arctg
√
3 (g) arcsen
(
−
1
2
)
(h) arcsen (−1) (i) arctg (−
√
3) (j) arctg
√
3
3
11. Verifique que
(a) cos(arcsen x) =
√
1− x2 (b) sec(arctg x) =
√
1+ x2
12. Calcule as derivadas das func¸o˜es dadas abaixo:
(a) y = arcsen 3x (b) y = arcsen ex (c) y = arcsen (1− x2)
(d) y = arcsen
√
1− x2 (e) y = x arctg x (f) y = 3 arctg (2x+ 3)
(g) y = e3x arcsen 2x (h) y = e−3x + ln(arctg x) (i) y = x2earctg 2x
(j) y = arccos(1− x2) (k) y = arctg (cos 3x) (l) y = arccotg (sen x)
(m) y = arccos x+
√
1− x2 (n) y = arcsec
√
x (o) y = arccosec
√
x
(p) y = arctg x2 (q) y = arcsec (1− x2) (r) y = (arcsec x− cos x)2
(s) y = arctg
x√
1+ x2
(t) y =
sen 3x
arctg 4x
(u) y =
e−x arctg ex
tg x
UFMS / INMA Turmas 1,2,3 e 7