AP2 - 2012.2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da 2a Avaliac¸a˜o de Me´todos Determin´ısticos II
Questa˜o 1: (3,0pts) Para a seguinte func¸a˜o f(x) = 2x
2
x2−1 fac¸a o seguinte:
a) (0,5pt) Calcule o domı´nio e a imagem de f(x);
b) (0,5pt) As retas Ass´ıntotas de f(x);
c) (1,0pt) Calcule f ′(x) e f ′′(x);
d) (0,5pt) Estude o sinal de f ′(x) e de f ′′(x);
e) (0,5pt) Verifique que f(−x) = f(x) e com todas estas informac¸o˜es fac¸a um esboc¸o do gra´fico de
f(x). Justifique.
Soluc¸a˜o: a) O Domı´nio da func¸a˜o f(x) = 2x
2
x2−1 sa˜o todos os x ∈ R tais que x2 − 1 6= 0 ⇔ x 6= ±1.
Ja´ para determinarmos a imagem, isto e´, queremos determinar os valores de y para os quais existe x
valendo y = 2x
2
x2−1 , mas isto e´ equivalente a`,
y =
2x2
x2 − 1 ⇔ yx
2 − y = 2x2 ⇔ (y − 2)x2 = y ⇔ x2 = y
y − 2
Portanto, a equac¸a˜o e´ satisfeita desde que yy−2 > 0 ⇔ y /∈ [0, 2]. Portanto, a imagem de f(x) sa˜o
todos R− [0, 2].
b) Para determinar as retas ass´ıntotas precisamos calcular os seguintes limites:
lim
x→±∞
2x2
x2 − 1 = limx→±∞
x2
x2
2
1− 1/x2 = 2.
E
lim
x→1+
2x2
x2 − 1 =∞, limx→1−
2x2
x2 − 1 = −∞
lim
x→−1+
2x2
x2 − 1 = −∞, limx→−1−
2x2
x2 − 1 =∞
Consequ¨entemente, as retas x = 1 e x = −1 sa˜o ass´ıntotas verticais e y = 2 e´ uma ass´ıntota horizontal.
c)
f ′(x) =
4x(x2 − 1)− 2x2 · 2x
(x2 − 1)2 =
−4x
(x2 − 1)2 e f
′′(x) =
−4(x2 − 1)2 + 4x · 2(x2 − 1)2x
(x2 − 1)4 =
12x2 + 4
(x2 − 1)3 .
d) Quem controla o sinal de f ′ e´ o numerador enta˜o f ′ e´ positiva se x ≤ 0 e negativa se x > 0.
Uma vez que 12x2 + 4 > 0 para todo x, temos que
f ′′(x) > 0⇔ x2 − 1 > 0⇔ |x| > 1.
e f ′′(x) < 0⇔ |x| < 1. Assim, a curva e´ coˆncava para cima nos intervalos (−∞,−1) e (1,∞) e coˆncava
para baixo em (−1, 1).
1
Figure 1: Esboc¸o do gra´fico de 2x
2
x2−1
e) Veja que f(−x) = 2(−x)2
(−x)2−1 =
2x2
x2−1 = f(x), isto quer dizer que o gra´fico de f(x) e´ sime´trico com
respeito ao eixo dos y. Juntando todas estas informac¸o˜es obtemos o um esboc¸o parecido com a seguinte
figura
Questa˜o 2: (2,0pts) Uma companhia aluga oˆnibus com capacidade para 50 passageiros para grupos
de no mı´nimo 35 pessoas. Se o grupo conte´m 35, cada um dos passageiros pagara´ R$60, 00. Para
grupos maiores, a companhia reduz R$1, 00 de cada passageiro que excede os 35. Por exemplo, se o
grupo tem 37 = 35 + 2 pessoas, enta˜o cada um do grupo pagara´ R$58, 00. Determine o tamanho do
grupo com o qual a companhia de oˆnibus ganhara´ mais.
Soluc¸a˜o: Montar as equac¸o˜es de forma correta vale 1, 0pt e minimizar a func¸a˜o corretamente vale o
outro ponto.
Seja R a receita da companhia. Enta˜o:
R = ( No de pessoa do grupo ) · ( valor pago por pessoa ) .
Lo´gico que voceˆ pode chamar de x o nu´mero de pessoas no grupo, mas e´ mais conveniente x
representar o nu´mero de pessoas que excede 35. Enta˜o
No de pessoa do grupo = 35 + x
valor pago por pessoa = 60− x
R(x) = (35 + x)(60− x)
Queremos encontra o ma´ximo de R(x) com 1 ≤ x ≤ 15, pois 35+15 = 50 que e´ a capacidade ma´xima
dos oˆnibus.
R′(x) = 1(60− x) + (−1)(35 + x) = 25− 2x = 0⇔ x = 12, 5.
Ale´m disso, R′′(12, 5) = −2 < 0, e portanto, 12, 5 e´ um ponto de ma´ximo local e
R(0) = 2100, R(12, 5) = 2256, 25 e R(15) = 2250.
Agora x representa o nu´mero de pessoas, enta˜o ou e´ 12 ou 13, e calculando obtemos R(12) = 2256 =
R(13). Portanto, a receita da companhia sera´ maior quando o grupo contiver 35 + 12 = 47 ou
35 + 13 = 48 pessoas.
2
Questa˜o 3: (2,5pts) Calcule as seguintes integrais.
a)
∫ 3√
x2 −
√
x3 dx b)
∫
x2−x+1
x dx
c)
∫
x2
1+x3
dx d)
∫
xex dx
Soluc¸a˜o: a), b) e c) valem 0, 5pt e d) vale 1, 0pt.
a) ∫
3
√
x2 −
√
x3 dx =
3x5/3
5
− 2x
5/2
5
+K.
b) ∫
x2 − x+ 1
x
dx =
∫ [
x− 1 + 1
x
]
dx =
x2
2
− x+ lnx+K.
c) Veja que
∫
x2
1+x3
dx = 13
∫
1
1+x3
3x2 dx e chame de u = 1 + x3, du = 3x2dx, assim,∫
x2
1 + x3
dx =
1
3
∫
1
u
du =
1
3
lnu+ k =
1
3
ln |1 + x3|+K.
d) Esta integral se faz por integrac¸a˜o por partes. Chamando u = x, du = dx e dv = ex dx, v = ex,
logo, ∫
xex dx = xex −
∫
ex dx = xex − ex +K = (x− 1) ex +K.
Questa˜o 4: (2,5pts) Encontre a a´rea entre as curvas y = x e y = x2 quando 0 ≤ x ≤ 2.
Soluc¸a˜o: Ver que e´ preciso dividir o calculo da a´rea em duas integrais vale 1, 5pt. Se 1a integral
estiver correta 0, 5pt e se 2a integral estiver correta 0, 5pt. Caso na˜o separe o calculo da a´rea em partes,
isto e´, calcule apenas
∫ 2
0 [ qualquer uma das duas variac¸o˜es ] dx vale apenas 0, 5pt.
Resolvendo a equac¸a˜o x = x2 obtemos x = 0
e x = 1, enta˜o
a´rea =
∫ 1
0
[x− x2] dx+
∫ 2
1
x2 − x dx
=
[
x2
2
− x
3
3
]1
0
+
[
x3
3
− x
2
2
]2
1
= 1.
Figure 2: Regia˜o para o ca´lculo da a´rea
3