Cálculo 3 Teste de Conhecimento

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13/05/2019 EPS
simulado.estacio.br/alunos/ 1/2
GDU0988_EX_A1_201307052886_V1
 
 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 1a aula
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Exercício: GDU0988_EX_A1_201307052886_V1 07/05/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): OTÁVIO PAES LEMES DE ARAUJO 2019.1 DPO
Disciplina: GDU0988 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201307052886
 
 1a Questão
Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo:
I - 
II - 
III - 
Assinale a alternativa verdadeira.
Apenas a alternativa I e II é linear.
Apenas a alternativa III é linear.
I, II e III são lineares.
Apenas a alternativa I é linear.
 Apenas a alternativa II é linear.
 
 
Explicação:
I possui função exponencial e III tem o termo 
 
 
 2a Questão
Resolvendo a equação diferencial (cos y)dy - (sen x)dx = 0, obtemos:
sen x - cos y = C
sen x + cos y = C
sen y + cos y = C
sen x - cos x = C
 sen y + cos x = C
 
 
Explicação: Resposta: a) sen y + cos x = C Basta fazer (cos y)dy = (sen x)dx e integrar ambos os membros
 
 
 3a Questão
Resolvendo a equação diferencial dy/y - (cos x)dx = 0, obtemos:
ln y = cos x + C
e) sen y + cos x = C
y = ln x + C
ln y = x + C
 ln y = sen x + C
 
 
Explicação:
Resposta: b) ln y = sen x + C Basta fazer dy/y = (cos x)dx e integrar ambos os membros
 
 
 4a Questão
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não.
5ª ordem e linear.
 4ª ordem e linear.
3ª ordem e linear.
3ª ordem e não linear.
4ª ordem e não linear.
 
(y
(IV )
)
2
+ 3xy
′
+ 2y = e
2x
+ t + 2y = sen(t)
d
2
y
dt
2
dy
dt
+ + ty
2
= 0
d
2
y
dt
2
dy
dt
y
2
y
(4)
+ y
(3)
+ y
(2)
+ y´ + y = 1
13/05/2019 EPS
simulado.estacio.br/alunos/ 2/2
 
Explicação:
4ª ordem - a derivada de mais alta ordem na ED é 4
linear - todas as derivadas da ED estão em expoente 1
 
 
 5a Questão
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo:
.
Ordem 2 e grau 4.
Ordem 2 e grau 3.
 Ordem 2 e grau 2.
Ordem 4 e grau 2.
Ordem 4 e grau 3.
 
 
Explicação:
A ordem de uma ED é a ordem das derivadas de mais alta ordem (das derivadas) nela presente e
grau de uma ED é a maior potência da derivada de mais alta ordem
 
 
 6a Questão
Dadas as EDOs abaixo:
I - 
II - 
III - 
Assinale a alternativa verdadeira.
Apenas a III é linear.
Apenas a I e II são lineares.
Apenas a II é linear.
 Apenas a II e III são lineares.
Apenas a I é linear.
 
 
Explicação:
Na EDO linear, todos os expoentes da variável que se está derivando valem 1
 
 
 7a Questão
Resolvendo a equação diferencial (cos y)dy = (sen x)dx, obtemos:
sen x + cos y = C
sen y + cos y = C
 sen y + cos x = C
sen x - cos y = C
sen x - cos x = C
 
 
Explicação:
Resposta: a) sen y + cos x = C Basta fazer (cos y)dy = (sen x)dx e integrar ambos os membros
 
 
 8a Questão
Considere as seguintes equações diferenciais:
I) 
II) 
III) 
De acordo com as alternativas, determine a alternativa correta.
A terceira é de ordem 1 e grau 5.
A primeira é de grau 5 e a segunda é de ordem 3.
A segunda é de ordem 2 e a grau 3 e a terceira é de ordem 2 e grau 3.
 A primeira e a segunda são de graus iguais a 1.
A segunda e a terceira são de ordens iguais.
 
 
Explicação:
A primeira e a segunda são de graus iguais a 1, ou seja, é o grau da mais alta derivada da ED.
 
 
 
(y´´)
2
− 3yy´ + xy = 0
+ + ty
2
= 0
d
2
y
dt
2
dy
dt
+ t + t
3
y = e
t
d
2
y
dt
2
dy
dt
t
3
+ t + y = t
d
3
y
dt
3
dy
dt
4(y
′
)
5
+ y
′′
= 1
− = 0
∂
5
y
∂x
5
∂
2
y
∂x
2
(y
′′
)
3
+ (y
′
)
5
= x
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GDU0988_EX_A2_201307052886_V1
 
 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 2a aula
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Exercício: GDU0988_EX_A2_201307052886_V1 07/05/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): OTÁVIO PAES LEMES DE ARAUJO 2019.1 DPO
Disciplina: GDU0988 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201307052886
 
 1a Questão
Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 4y = 32?
10
6
4
2
 8
 
 
 2a Questão
Determine a solução geral para a EDO de primeira ordem a seguir:
dy/dx = 2ycosx
y = c.esen(x/2)
y = c.esen3x
y = c.esen2x
y = c.e(senx)/2
 y = c.e2senx
 
 
Explicação:
dy = 2ycosx.dx
dy/y = 2cosx.dx
ln(y) = 2senx + k, y > 0
y = e2senx + k
y = ek.e2senx
y = c.e2senx
 
 
 3a Questão
Dada a seguinte EDO, resolva pelo método das variáveis separáveis:
 
 
 
 
Explicação:
eydy = etdt
ey = et + c
y = ln(et + c)
 
 
 
 4a Questão
Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações diferenciais ordinárias. Desta forma, é importante que se estude a
resolução destas equações.
= e
t−y
dy
dt
y = t+ k
y = e
ty
+ k
y = ln(e
t
+ c)
y = ln(e) + c
y = e
t−y
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Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
 
(I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa
identidade.
(II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 toda função , definida em um intervalo aberto (a,b), juntamente
com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive, tal que ao fazermos a substituição de y por na equação diferencial F(x,y´,y´´,y
´´,...,yn)=0 , esta se converte em uma identidade com respeito a x no intervalo (a,b).
(III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa
identidade.
 
 (I), (II) e (III)
(II)
(III)
(I)
(I) e (II)
 
 
 5a Questão
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y')³ + ex = 0.
 Grau 3 e ordem 1.
Grau 2 e ordem 2.
Grau 1 e ordem 1.
Grau 3 e ordem 2.
Grau 3 e ordem 3.
 
 
 6a Questão
Resolvendo a equação diferencial xdy - ydx = 0, obtemos:
y + x = C
ln y = x + C
y = ln x + C
 ln y = ln x + C
e) x = ln y + C
 
 
Explicação:
Resposta: a) ln y = ln x + C
Faça separe as variáveis e integre ambos os membros
 
 
 7a Questão
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis
Nenhuma das alternativas
 
 
 
Explicação:
dy/dx = 5y -> dy/ y = 5dx -> lny = 5x + c -> y = ce5x
 
 
 8a Questão
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos:
 (y,,)2 - 3yy, + xy = 0
ordem 1 grau 2
ordem 1 grau 3
ordem 1 grau 1
 ordem 2 grau 2
ordem 2 grau 1
 
 
 
xdy = ydx dy/y = dx/x
y´ = 5y
y = ce
x
y = ce
−5x
y = ce
−x
y = ce
5x
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GDU0988_EX_A3_201307052886_V1
 
 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 3a aula
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Exercício: GDU0988_EX_A3_201307052886_V1 07/05/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): OTÁVIO PAES LEMES DE ARAUJO 2019.1 DPO
Disciplina: GDU0988 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201307052886
 
 1a Questão
Identificando a ordem e o grau da equação diferencial , obtemos respectivamente:
 1 e 1
1 e 2
2 e 1
2 e 2
3 e 1
 
 
 2a Questão
Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata.
É exata, pois 
É exata, pois 
É exata, pois 
É exata, pois 
 
É exata, pois3a Questão
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y''')² + 3y' + 2y = ex.
 Ordem 3 e grau 2.
Ordem 2 e grau 3.
Ordem 3 e não possui grau.
Ordem 3 e grau 3.
Ordem 3 e grau 5.
 
 
 4a Questão
Seja . Determine 
( sen t, - cos t)
 ( -sent, cos t)
1
0
( - sen t, - cos t)
 
 
 5a Questão
Dadas as EDOs abaixo. Determine quais são EDO homogênea.
I- 
II - 
III - 
Nenhuma é homogênea.
 Todas são homogêneas.
Apenas a I.
Apenas a II.
Apenas a III.
 
 
Explicação:
y´ = f(x, y)
( ) = ( ) = 0
δM
δx
δN
δy
( ) = ( ) = 7
δM
δx
δN
δy
( ) = ( ) = 5x
δM
δy
δN
δx
( ) = ( ) = 4
δM
δx
δN
δy
( ) = ( ) = 0
δM
δy
δN
δx
→
F (t) = (cos t, sent) lim (h → 0)
→
F (t + h) −
→
F (t)
h
=
dy
dx
y−x
x
=
dy
dx
2y+x
x
=
dy
dx
x
2
+2y
2
xy
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Aplique o teste: 
 
 
 6a Questão
Dada a seguinte EDO Linear, ache a sua resolução particular :
 
 
 
Explicação:
Trata-se de uma ED não homogênea. Tentamos uma solução . Derivamos uma vez e
substituimos na ED original para achar a resposta correta para a solução particular.
 
 
 7a Questão
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
 , com e 
 
 
 
Explicação:
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: ...(1)
Raízes: ... A resposta típica é: ....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: 
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
 
 
 
 8a Questão
Dado um conjunto de funções , considere o determinante de ordem n:
 = 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras derivadas dessas funções na
segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as
funções: = ;
 = e 
 = `x^2 + 3*x + 1
Determine o Wronskiano em = .
 
 2      
 7
 -1     
 1       
 -2     
 
 
Explicação:
O wronskiano nos indica se as respostas de equações diferenciasi são LI ou LD.
f(tx, ty) = t
n
f(x, y)
y
p
y(x) = 2e
x
+ k
y(x) = e
x
+ k
y(x) = −e
x
+ k
y(x) = (e
x
+ 2)/2 + k
y(x) = e
(
2x) + k
y
p
= Ae
2x
+ 5 + 4y(t) = 0
d
2
y
dt
2
dy
dt
y(0) = 1 y' (0) = 0
y(t) =   −   e
− t
  −   e
− (4t )
4
3
1
3
y(t) = e
− t
  −   e
− (4t )
4
3
1
3
y(t) = e
− t
+ e
− (4t )
4
3
1
3
y(t) = e
− t
  −   e
4t
4
3
1
3
y(t) = e
− t
+ e
− (4t )
5
3
2
3
m²+ 5m+ 4 = 0
m
1
= −1;m
2
= −4 y(t) = C
1
e
−t
+ C
2
e
−4t
y(0) = 1; y
′
(0) = 0
C
1
= ;C
2
= −
4
3
1
3
y(t) = e
−t
− e
−4t
4
3
1
3
{f1, f2, ..., fn}
W(f1, f2, ..., fn)
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
f1 f2 ... fn
f´1 f´2 ... f´n
f´´1 f´´2 ... f´´n
... ... ... ...
f1
n−1
f2
n−1
... fn
n−1
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
f(x) e
2x
g(x) senx
h(x)
W(f, g, h) x 0
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GDU0988_EX_A4_201307052886_V1
 
 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 4a aula
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Exercício: GDU0988_EX_A4_201307052886_V1 07/05/2019 (Finaliz.)
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 1a Questão
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.
I - 
II - 
III - 
Apenas a III.
I, II e III são exatas.
I, II e III são não exatas.
 Apenas a I.
Apenas a II.
 
 
Explicação:
Uma EDO da forma Mdx + Ndy será exata quando dM/ dy = dN / dx
 
 
 2a Questão
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
 (y")³+3y'+6y=tan(x)
ordem 2 grau 2
ordem 1 grau 1
ordem 3 grau 3
ordem 1 grau 3
 ordem 2 grau 3
 
 
 3a Questão
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.
I - 
II - 
III - 
Apenas a III.
Nenhuma é exata.
Apenas a II.
Apenas a I.
 I, II e III são exatas
 
 
Explicação:
Basta aplicar o Teste da Exatidão e verificar se as derivadas parciais de M em relação a y são iguais às derivadas parciais de N em relação a
x, nas alternativas apresentadas.
 
 
 4a Questão
Várias equações diferenciais de 1ª ordem que podem se apresentar com o formato: M(x,y)dx +
N(x,y)dy = 0. Para que tenhamos uma uma equação diferencial exata é necessário que:
Nenhuma da alternativas
 A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de N em relação à x.
A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de M em relação à x.
A derivada de M em relação à x seja igual à derivada de N em relação à x.
A derivada de N em relação à y seja igual à derivada de M em relação à x.
 
 
Explicação:
Essa resposta é a condição para que tenhamos uma EDO exata
ydx+ xdy = 0
(x− 2y)dx+ (x+ y)dy = 0
(2x
2
− y)dx+ (x+ y)dy = 0
2xydx+ (1 + x
2
)dy
(x+ sen(y))dx+ (xcos(y) − 2y)dy = 0
(2xy+ x)dx+ (x
2
+ y)dy = 0
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 5a Questão
Resolva a seguinte EDO EXATA:
 
 
 
Explicação:
Inicie fazendo 
O método abrange desde a comprovação da Condição de Exatidão, escolhendo-se uma ordem de
integração de M(x,y) ou N(x,y), chegando-se a uma função g(x,y) que, se derivada parcialmente
em relação a x e a y, reproduza M(x,y) e N(x,y). Derive a função abaixo parcialmente em relação a
x e a y e encontraremos M e N.
 
 
 6a Questão
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0.
 y = C1e-t + C2e-t
y = C1et + C2e-5t
y = C1e-3t + C2e-2t
y = C1e-t + C2
y = C1e-t + C2et
 
 
 7a Questão
Calcule e de modo que satisfaça as condições dadas:
; `y '(0) = 1.
Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de Contorno. Marque a única
resposta correta.
; 
PVC
; 
PVI
; 
PVC
; 
PVC
 ; 
PVI
 
 
Explicação:
O chamado, problema de valor inicial - PVI, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma
ED pode admitir, escolhamos uma curva-solução, em um mesmo ponto, que atenda ao projeto/processo em estudo.
O chamado, problema de valor contorno - PVC, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que
uma ED pode admitir, escolhamos curvas-solução, em dois pontos distintos, que atenda ao projeto/processo em
estudo.
 
 
 8a Questão
Quais das opções melhor justifica o wronskiano do par de funções cost e sent.
1/2
2
-2
-1
 1
 
 
 
y
′
=
5y−2x
−5x+3y
2
−5xy+ y
3
+ x
2
= k
−5xy
2
+ y
3
+ x
2
= k
−5x+ y
3
+ x
2
= k
−5y+ y
3
+ x
2
= k
−5x
2
+ y
3
+ x
2
= k
y
′
= dy/dx
−5xy+ y
3
+ x
2
= k
C
1
C
2
y(x) = C
1
senx + C
2
cosx
y(0) = 2
C
1
= √3 C
2
= √2
C
1
= − 1 C
2
= −  2
C
1
= 2 C
2
= 1
C
1
= 1 C
2
= ln 2
C
1
= 1 C
2
= 2
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GDU0988_EX_A5_201307052886_V1
 
 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 5a aula
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 1a Questão
Dada x.y´ = 4.y, resolver a equação diferencial por separação de variável.
y = c.x^5
y = c.x^3
 y = c.x^4
y = c.x
y = c.x^7
 
 
 2a Questão
O Wronskiano de 3ª ordem é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, cuja primeira linha é
formada por funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas dessas funções e a terceira linha pelas
segundas derivadas daquelas funções.
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são linearmente dependentes
ou independentes. Caso o Wronskiano vseja igual a zero em algum ponto do intervalo, as funções são ditas
linearmente dependentes nesse ponto.
Identifique, entre os pontos do intervalo apresentados, onde as funções são
linearmente dependentes.
 
 
 
 3a Questão
Dado um conjunto de funções , considere o determinante de ordem n:
 = 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras derivadas dessas
funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima
linha. Sejam as funções: = ;
 = e 
 
Determine o Wronskiano em = .
 -2     
 2      
 7
 1       
 -1     
 
 
Explicação:
A explicação da construção do wronskiano está no texto da pergunta.
 
 
 4a Questão
[ − π, π] t, sent, cos t
t = π
t =
π
2
t = 0
t =
π
4
t =
π
3
{f1, f2, ..., fn}
W(f1, f2, ..., fn)
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
f1 f2 ... fn
f´1 f´2 ... f´n
f´´1 f´´2 ... f´´n
... ... ... ...
f1
n−1
f2
n−1
... fn
n−1
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
f(x) e
2
⋅ x
g(x) senx
h(x) = x²+ 3x+ 1
W(f, g, h) x 0
14/05/2019 EPS
simulado.estacio.br/alunos/ 2/3
C(x) = 5ln x + 40
C(x) = 2x ln x
C(x) = x(ln x)
C(x) = ln x
 C(x) = x(1000+ln x)
 
 
 5a Questão
Qual a única resposta correta como solução da ED : ?
`lny = ln|x|
 `lny = ln|x + 1|
`lny = ln|x - 1|
`lny = ln| sqrt(x 1)|
`lny = ln| 1 - x |
 
 
 6a Questão
Seja uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por y' + 2y = e2x . Se para x
=0, y = 4, determine a solução desta EDO.
Dado que y' = dy/dx
y = (-3e2x + 19.e-2x)/4
 y = (e2x + 15.e-2x)/4
y = (3e2x + 13.e-2x)/4
y = (2e2x + 14.e-2x)/4
y = (- e2x + 16.e-2x)/4
 
 
Explicação:
Fator integrante: eIntegral(2dx) = e2x
y. e2x = Integral (e2x . e2x dx)
y. e2x = (1e4x)/4 + c
y = (e2x)/4 + c.e-2x
Para x=0, y = 4. Logo, 4 = (e2.0)/4 + c.e-2.0
4 = 1/4 + c
c = 15/4
Logo, y = (e2x + 15.e-2x)/4
 
 
 7a Questão
Classificando a equaçâo diferencial entre : separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
ydx + xdy = 0 concluimos que ela é;
 Separável, Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem.
Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem.
Separável, Homogênea e Exata
Separável, Exata e Linear de Primeira Ordem.
Separável, Homogênea e Linear de Primeira Ordem.
 
 
 8a Questão
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear
 
 
 
Explicação:
 
Uma EDO linear da forma dy/dx + p(x)y = q(x) terá como solução y = [1/u(x)] . onde u(x) = e^(
 
 
 
A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de tipos
objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do custo quando o número de tipos
aumenta é expressa pela equação diferencial homogênea (dC(x)/dx ) = (C(x) + x)/x.
Determinar a relação entre o custo de fabricação por objeto e o número de tipos de objetos
fabricados, sabendo C(1)=1000 unidades monetárias.
=
dy
dx
y
x + 1
y´ − 2xy = x
y = + ce
−x
3
1
2
y = + ce
x
2
1
2
y = − + ce
−x
3
1
2
y = − + ce
x
2
1
2
y = − + ce
−x
2
1
2
y = − + ce
x
3
1
2
∫u(x)q(x)dx ∫ p(x)dx
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GDU0988_EX_A6_201307052886_V1
 
 
 
Será :x2+ 1 = Ky
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 6a aula
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Exercício: GDU0988_EX_A6_201307052886_V1 07/05/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): OTÁVIO PAES LEMES DE ARAUJO 2019.1 DPO
Disciplina: GDU0988 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201307052886
 
 1a Questão
10 min
3 min
 15,4 min
2 min
20 min
 
 
 2a Questão
20 graus F
0 graus F
-5 graus F
 79,5 graus F
49,5 graus F
 
 
 3a Questão
Seja y1 = cos x e y2 = sen x soluções particulares da equação y + y = 0. Calcule o Wronskiano.
O Wronskiano será 3.
O Wronskiano será 0.
O Wronskiano será 13.
 O Wronskiano será 1.
O Wronskiano será 5.
 
 
 4a Questão
Será : y2 - 1 = Ky
Será :x2+ y2 = Ky
Será :x2 - 1 = Ky
 Será :x2+ y2 - 1 = Ky
 
 
 5a Questão
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
 , com e 
Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton afirma
que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura
entre o corpo e o meio ambiente, dT/dt = k( T- Tm) Supondo que um objeto à temperatura
inicial de 500F é colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 100 0 F . Se após 5
minutos a temperatura do objeto é de 60 oF , determinar o tempo necessário para a
temperatura atingir 75 0 F .
Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton afirma
que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura
entre o corpo e o meio ambiente, dT/dt = k( T- Tm) Supondo que um objeto à temperatura
inicial de 500F é colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 100 0 F . Se após 5
minutos a temperatura do objeto é de 60 oF , determinar a temperatura do corpo após 20 min.
As Linhas de Força e as linhas Equipotenciais interceptam-se ortogonalmente. Determinar as
linhas de força do campo elétrico gerado por dois fios paralelos de material condutor,
carregados com cargas opostas de mesma intensidade, encontrando as trajetórias ortogonais
da família x2 + y2 + 1 = 2 Cx. Sugestão: Usar o fator integrante u(y) = y - 2
+ 5 + 4y(t) = 0
d
2
y
dt
2
dy
dt
y(0) = 1 y' (0) = 0
y(t) = e
− t
+ e
− (4t )
4
3
1
3
y(t) =   −   e
− t
  −   e
− (4t )
4
3
1
3
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Explicação:
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: ...(1)
Raízes: ... A resposta típica é: ....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: 
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
 
 
 
 6a Questão
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 4y = 0.
y = C1cos6t + C2sen2t
y = C1cos3t + C2sen3t
y = C1cos4t + C2sen4t
y = C1cost + C2sent
 y = C1cos2t + C2sen2t
 
 
Explicação:
Trata-se de uma EDH com raízes complexas, cuja resposta típica é do tipo: 
 
 
 7a Questão
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2).
o Limite será 1.
 o Limite será 12.
o Limite será 5.
o Limite será 9.
o Limite será 0.
 
 
 8a Questão
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
 , com e 
 
 
 
Explicação:
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: ...(1)
Raízes: ... A resposta típica é: ....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
Teremos um sistenmacom duas equações do qual calculamos: 
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
 
 
 
 
y(t) = e
− t
  −   e
− (4t )
4
3
1
3
y(t) = e
− t
+ e
− (4t )
5
3
2
3
y(t) = e
− t
  −   e
4t
4
3
1
3
m²+ 5m+ 4 = 0
m
1
= −1;m
2
= −4 y(t) = C
1
e
−t
+ C
2
e
−4t
y(0) = 1; y
′
(0) = 0
C
1
= ;C
2
= −
4
3
1
3
y(t) = e
−t
− e
−4t
4
3
1
3
y = C
1
e
(
ax)cos(bx) + C
2
e
(
ax)sen(bx)
+ 5 + 4y(t) = 0
d
2
y
dt
2
dy
dt
y(0) = 1 y' (0) = 0
y(t) = e
− t
+ e
− (4t )
4
3
1
3
y(t) = e
− t
  −   e
− (4t )
4
3
1
3
y(t) = e
− t
+ e
− (4t )
5
3
2
3
y(t) =   −   e
− t
  −   e
− (4t )
4
3
1
3
y(t) = e
− t
  −   e
4t
4
3
1
3
m²+ 5m+ 4 = 0
m
1
= −1;m
2
= −4 y(t) = C
1
e
−t
+ C
2
e
−4t
y(0) = 1; y
′
(0) = 0
C
1
= ;C
2
= −
4
3
1
3
y(t) = e
−t
− e
−4t
4
3
1
3
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GDU0988_EX_A7_201307052886_V1
 
 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 7a aula
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Exercício: GDU0988_EX_A7_201307052886_V1 07/05/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): OTÁVIO PAES LEMES DE ARAUJO 2019.1 DPO
Disciplina: GDU0988 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201307052886
 
 1a Questão
Resolver a equação diferencial 4𝑥 − 𝑦² = 1, com a condição y(2) = 2:
𝑦 = 𝑥² − 𝑥 + 2
𝑦 = 2𝑥² + 𝑥 - 2
 𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 8
𝑦 = − 𝑥 + 8
𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 10
 
 
 2a Questão
Determine e de modo que satisfaça as seguintes condições iniciais: e 
. Marque a única resposta correta.
 
 
 
Explicação:
O chamado, problema de condição inicial, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma
ED pode admitir, escolhamos uma curva-solução, em um mesmo ponto, que atenda ao projeto/processo em estudo.
 
 
 3a Questão
Determine a solução da equação diferencial x2 y + xy + 9y = 0, x > 0
y = c2 sen (3ln x)
y = c1 cos ( ln x) + c2 sen (ln x)
y = c1 sen ( ln x) + c2 sen (3ln x)
y = c1 cos (3 ln x)
 y = c1 cos (3 ln x) + c2 sen (3ln x)
 
 
 4a Questão
Sabendo que y1 = cos x e y2 = sen x são soluções particulares da equação y + y = 0 utilizando o princípio de superposição podemos
afirmar que:
I - y = c1 sen x + c2 cos x também é solução da equação.
II - y = c1 sen x + c2 cos x não é solução da equação.
III - y1/y2 é LI
IV - o Wronskiano nos garante que se y1 e y2 são LI, entao o W(y1,y2) é dirente de zero em cada ponto num intervalo aberto I.
 Apenas I, III e IV são verdadeiras.
Todas as afirmações são verdadeiras,
Apenas I e IV são verdadeiras.
Apenas IV é verdadeiras
c
1
c
2
f(x) = c
1
e
2x
+ c
2
e
x
+ 2senx f(0) = 0
f' (0) = 1
c
1
= − 1
c
2
= − 1
c
1
= − 1
c
2
= 1
c
1
= − 1
c
2
= 2
c
1
= − 1
c
2
= 0
c
1
= e − 1
c
2
= e + 1
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Apenas I e II são verdadeiras.
 
 
 5a Questão
Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0).
tende a x
Nenhuma das respostas anteriores
tende a 1
 tende a zero
tende a 9
 
 
 6a Questão
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
 , com e 
 
 
 
Explicação:
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: ...(1)
Raízes: ... A resposta típica é: ....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: 
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
 
 
 
 7a Questão
 Sobre Transformadas de Laplace podemos afirmar:
1. É um método simples.
2. Serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução
deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral.
3. Equação Diferencial são resolvidas através de integrais e derivadas.
4. Serve para transformar uma Equação algébrica com condições iniciais em uma equação Diferencial , de modo a obter uma solução
deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral.
5. É um método complexo.
 As alternativas 1,2 e 3 estão corretas.
As alternativas 2,3 e 5 estão corretas.
As alternativas 2 e 3 estão corretas.
As alternativas 1,3 e 4 estão corretas.
As alternativas 1 e 3 estão corretas.
 
 
Explicação:
As alternativas 1,2 e 3 estão corretas.
 
 
 8a Questão
Determine o Wronskiano 
senx cosx
 1
0
cos x
sen x
+ 5 + 4y(t) = 0
d
2
y
dt
2
dy
dt
y(0) = 1 y' (0) = 0
y(t) = e
− t
  −   e
− (4t )
4
3
1
3
y(t) =   −   e
− t
  −   e
− (4t )
4
3
1
3
y(t) = e
− t
  −   e
4t
4
3
1
3
y(t) = e
− t
+ e
− (4t )
4
3
1
3
y(t) = e
− t
+ e
− (4t )
5
3
2
3
m²+ 5m+ 4 = 0
m
1
= −1;m
2
= −4 y(t) = C
1
e
−t
+ C
2
e
−4t
y(0) = 1; y
′
(0) = 0
C
1
= ;C
2
= −
4
3
1
3
y(t) = e
−t
− e
−4t
4
3
1
3
W(senx, cosx)
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GDU0988_EX_A8_201307052886_V1
 
 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 8a aula
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Exercício: GDU0988_EX_A8_201307052886_V1 07/05/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): OTÁVIO PAES LEMES DE ARAUJO 2019.1 DPO
Disciplina: GDU0988 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201307052886
 
 1a Questão
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
 y'=f(x,y)
ordem 2 grau 1
ordem 1 grau 3
ordem 2 grau 2
 ordem 1 grau 1
ordem 1 grau 2
 
 
 2a Questão
Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz identicamente à equação.
Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que
(I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação.
 (II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes.
 (III) Solução Singular é toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral atribuindo-se às constantes valores particulares.
 
 
(I)
 (I), (II) e (III)
(II)
(I) e (II)
(III)
 
 
 3a Questão
Marque a única resposta correta para se 
 
 
 
Explicação:
Uso do método das frações parciais com denominadores distintos.
Frações parciais: -9/(s-1) + 8/(s-2)
 
 
 4a Questão
Das alternativas a seguir identifique qual é a solução para o problema de valor inicial y´´+16y=0, y(0)=0 e y
´(0)=1.
 1/4 sen 4x
 
 
 5a Questão
Seja a transformada de Laplace de , denotada aqui por e 
definida por .
Sabe-se que se então = 
Portanto a transformada de Laplace da função , ou seja, 
 é igual a ... 
f(t) F(s) =
10−s
(s−1)(s−2)
e
t
+ 8e
2t
−9e
t
+ 8e
−t
−9e
t
+ 8e
2t
−2e
t
− 8e
2t
9e
3t
+ 8e
2t
sen4x
cosx
senx
cosx
2
F(t) L{F(t)}
L{F(t)} = f(s) = ∫
∞
0
e
− ( st )
F(t)dt
L{F(t)} = f(s) L{e
at
F(t)} f(s − a)
F(t) = e
t
cos t
L{e
t
cos t}
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Explicação:Aplicação do translação em frequência. A explicação já foi evidenciada no texto da questão. 
 
 
 6a Questão
Um dos métodos de solução de uma EDLH é chamado de Método de Redução de Ordem, no qual é dada
uma solução, por exemplo e calcula-se a outra solução , pela fórmula abaixo:
 
Assim, dada a solução , indique a única solução correta de para a equação 
 de acordo com as respostas abaixo:
 
 
 
 7a Questão
Calcule a Transformada Inversa de Laplace, , da função: , com o uso adequado da
Tabela:
,
 
 
 
Explicação:
No texto são informadas duas transformadas uma do seno e outra do cosseno.
Aplicando a tabela das transformadas identificam-se os parâmetros necessários para
dar a resposta correta. 
 
 
 8a Questão
Indique a única resposta correta da Transformada de Laplace da função degrau unitário:
 
 
 
 
Explicação:
A solução pode ser com uso de tabela ou por aplicação da equação de definição da Transformada de Laplace.
 
 
 
s − 1
s
2
− 2s + 1
s + 1
s
2
− 2s + 2
s − 1
s
2
− 2s + 2
s − 1
s
2
+ 1
s + 1
s
2
+ 1
y
1
y
2
y
2
= y
1
∫ dx
e
− ∫
(Pdx)
y
2
1
y
1
  = cos(4x) y
2
y' ' − 4y = 0
tg(4x)
cos
−1
(4x)
sen(4x)
sen
−1
(4x)
sec(4x)
f(t) F(s) =
2
s
2
+ 9
L(senat)  =
a
s
2
+ a
2
L(cos at) =  
s
s
2
+ a
2
f(t) = sen(3t)
f(t) = sen(3t)
2
3
f(t) = sen(3t)
1
3
f(t) = sen(4t)
2
3
f(t) = sen(t)
2
3
f(t) = {
1 se  t ≥ 0
0 se  t < 0
, s > 0
1
s
, s > 1
s − 2
s − 1
s
, s > 0
s − 2
s
, s > 2
s − 1
s − 2
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GDU0988_EX_A9_201307052886_V1
 
 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 9a aula
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Exercício: GDU0988_EX_A9_201307052886_V1 07/05/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): OTÁVIO PAES LEMES DE ARAUJO 2019.1 DPO
Disciplina: GDU0988 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201307052886
 
 1a Questão
Resolva a equação diferencial indicando a resposta correta: xy' + y = y²
y = c(1 - x)
x = c(1 - y)
 xy = c(1 - y)
x - y = c(1 - y)
x + y = c(1 - y)
 
 
 2a Questão
Determine o valor do Wronskiano do par de funções y1 = e 2t e y 2 = e3t/2.
(- e7t/2 )/ 9
(- e7t/2 )/ 5
(- e7t/2 )/ 7
(- e7t/2 )/ 3
 (- e7t/2 )/ 2
 
 
 3a Questão
Determine a solução geral da equação diferencial x2 (d2 y/ dx2 ) - 2 x (dy/dx) + 2y = x3 , x > 0
y = (1/2) e3t
 y = c1 et + c2 e2t + (1/2) e3t
y = c1 et
y = c1 et + (1/2) e3t
y = c1 et + c2 e2t
 
 
 4a Questão
Resolva a equação diferencial por separação de variáveis.
 
 
 
 5a Questão
O elemento químico rádio (Ra) presente em um pedaço de chumbo se decompõe a uma taxa que é proporcional à sua quantidade presente.
Se 10% do Ra decompõem em 200 anos, qual é porcentagem da quantidade original de Ra que estará presente no pedaço de chumbo após
1000 anos?
 59,05%
80,05%
60,10%
40,00%
70,05%
 
 
e
x
= 2x
dy
dx
y = e
−x
(x + 1) + C
y = e
−x
(x − 1) + C
y = e
x
(x + 1) + C
1
2
y = − 2e
−x
(x + 1) + C
y = − e
−x
(x − 1) + C
1
2
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Explicação: resolver a EDO dQ/dt=-kQ por varáveis separáveis
 
 
 6a Questão
Dada função F(t) = 2t2 - 3t +4. Use a transformada de Laplace para determinar F(s)
4/s -3/s2 + 4/s3
3s2 -2s + 4
12s + 2/s - 3/s2
 4/s3 - 3/s2 + 4s-1
4s2 - 3s + 4
 
 
 7a Questão
Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante.
Se a população duplicou em 6 anos, quando ela triplicará? Sugestão: dN/dt = kN
 10 anos
20 anos
5 anos
2 anos
1 anos
 
 
 8a Questão
 A solução geral da equacao será y = c1 e-2x + c2 e-3x, onde c1 e c2 são constantes,
A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 ex, onde c1 e c2 são constantes,
A solução geral da equacao será y = c1 e+ c2 e5x+1, onde c1 e c2 são constantes,
A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 e-4x, onde c1 e c2 são constantes,
A solução geral da equacao será y = c1 ex+ c2 e5x, onde c1 e c2 são constantes,
 
 
 
Seja y + 5 y+ 6 y = 0 uma equaçao diferencial de 2 ordem. Encontre a solução
geral desta equação.
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GDU0988_EX_A10_201307052886_V1
 
 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 10a aula
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Exercício: GDU0988_EX_A10_201307052886_V1 07/05/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): OTÁVIO PAES LEMES DE ARAUJO 2019.1 DPO
Disciplina: GDU0988 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 201307052886
 
 1a Questão
Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: `e^(y).(dy/dx + 1) = 1.
`e^(y) = c - y
`y - 1 = c - x
`lne^(y) = c
 
`e^(y) = c - x
 
 
 2a Questão
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 180ºC. Três minutos depois, sua temperatura passa para 150ºC. Quanto tempo
levará para sua temperatura chegar a 27ºC, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for 26ºC.
40 minutos
 50 minutos.
1 hora e 10 minutos.
30 minutos.
1 hora.
 
 
Explicação:
Esse problema é resolvido com uma EDO da forma dT/ dt = k(T-26), resolvendo, ln(T-26) = kt + c -> T = 26 + cekt . Como T(0) = 180, c =
154
T = 26+154e-kt. Fazendo T(3) = 150, achamos 124 = 154e-3k -> k = 0,072223679
Fazendo 27 = 26 + 154e-0,072223679t , achamos -0,072223679t = -5,0369526, logo t = 69,74
 
 
 3a Questão
Classificando a equação diferencial entre: separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
dy/dx = x/y + y/x +1 concluimos que ela é:
linear
separavel
exata
 homogenea
não é equação doiferencial
 
 
 4a Questão
Se a solução geral da equação diferencial exata (3x2 - y3)dx + (2y - 3xy2)dy = 0
é x3 - y3x + y2 = C, então a solução que satisfaz a condição inicial y(0)=3 é:
 
 x3- y3x + y2 = 9
x3- y3 = 0
x3- y3x + y2 = 0
x3- y3x + y2 = 3
x3+ y2 = 0
 
 
 5a Questão
Seja y = C1e-2t + C2e-3t a solução geral da EDO y" + 5y´ + 6y = 0. Marque a alternativa que
ln(e
y
− 1) = c − x
14/05/2019 EPS
simulado.estacio.br/alunos/ 2/2
indica a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y`(0) = 3.
y = 3e-2t - 4e-3t
 y = 9e-2t - 7e-3t
y = 9e-2t - e-3t
y = e-2t - e-3t
y = 8e-2t + 7e-3t
 
 
 6a Questão
Marque dentre as opções abaixo a solução da equação diferencial para x pertencente a
o inervalo 
 
 
 
 7a Questão
Indique qual é a solução da equação diferencial:
C(1 - x²) = 1
 
 
 
 
 8a Questão
Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100ºF em uma sala com temperatura constante de 0ºF. Se após, 20 minutos a temperatura
da barra é de 50ºF. Determine o tempo, aproximadamente, necessário para a barra chegar a temperatura de 25ºF.
50 minutos.
20 minutos.
30 minutos.
 40 minutos.
1 hora.
 
 
Explicação:
Esse problema é resolvido com uma EDO da forma dT/ dt = -k(T-0), resolvendo, T = 100 - ce-kt . Como T(0) = 50, c = 50
T = 100e-kt. Fazendo T(20) = 50, achamos k = -ln(0,5) / 20
Fazendo 100e-kt = 25, achamos kt = -ln0,25, logo t = 20ln0,25 / ln0,5 = 40
 
 
 
= (1 + y
2
). e
x
dy
dx
[ − , ]
π
2
π
2
y = 2. cos(2e
x
+ C)
y = tg(e
x
+ C)
y = cos(e
x
+ C)
y = sen(e
x
+ C)
y = 2. tg(2e
x
+ C)
xdx + ydy = xy(xdy − ydx)
1 + y² = C(lnx − x²)
1 + y² = C(1 − x²)
1 + y = C(1 − x²)
seny² = C(1 − x²)