Processos Decisórios - Unidade 3

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PROCESSOS DECISÓRIOS
CAPÍTULO 3 - QUAL É O PROBLEMA DO 
TRANSPORTE?
Maximiliano Barroso Bonfá
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Introdução
Para continuarmos nossos estudos a respeito de processos decisórios é necessário compreender vários aspectos
envolvidos na pesquisa operacional. Para tanto precisamos saber: quais as similaridades entre o PERT e o CPM?
Existe uma ferramenta que nos auxilia na gestão dos tempos de um projeto? O que vem a ser um problema de
transporte? Existe uma estrutura de resolução do problema de transporte?
Neste capítulo você encontrará as respostas e descobrirá que, apesar de concebidos individualmente, o PERT e o
CPM possuem tantas similaridades que passaram a ser tratados como um só método de resolução de problemas.
Também identificará que o problema de transporte pode ser resolvido de várias maneiras, sendo possível
inclusive, resolvê-lo com programação linear.
Bom estudo!
3.1 O estudo do Program Evaluation and Review 
e do Método do Caminho CríticoTechnique 
Você conhece como o PERT e o CPM funcionam? Se sim, iremos nos enveredar nas técnicas e aplicabilidades
destes métodos de planejamento e controle de projetos e processos. Perceba que é necessário compreender
similaridades e diferenças entre estes dois métodos, similaridades estas que levaram vários autores a fundirem
os métodos, de forma que hoje estes sejam conhecidos como PERT/CPM.
Aqui você ainda entenderá como os processos de identificação das três durações possíveis para uma atividade
funcionam.
3.1.1 Técnica (PERT/CPM) e sua aplicabilidade
As técnicas PERT ( ) e CPM (Método do Caminho Crítico) tratam-se deProgram Evaluation and Review Technique
métodos de que buscam auxiliar o gestor no planejamento, na programação e no controle de projetos e
processos operacionais.
Quer saber mais sobre essa técnica? Clique nos itens abaixo e confira!
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Teoria dos Grafos
Tratam-se de métodos de rede embasados na Teoria dos Grafos, que por sua vez refere-se a uma
teoria matemática (SÁ, 1965; TAHA, 2008). O PERT/CPM tem como um de seus objetivos fornecer
meios que auxiliem os gestores a programar suas atividades de forma que reduzam custos
associados ao tempo de execução.
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Gestão do tempo
Também é possível apontar que estes métodos tratam-se de métodos de gestão do tempo de
projetos, visto sua ênfase no tempo das atividades (LIMA, 2013; NOVAIS et al., 2011). Tanto que
Hillier e Lieberman (2013, p. 379) apontam que essas “técnicas foram desenvolvidas para ajudar a
planejar a coordenação das diversas atividades de um projeto, desenvolver um cronograma
realista e depois monitorar o seu progresso após estar em andamento”. Vale lembrar que a
característica mais marcante dos métodos trata-se do uso do diagrama de rede.
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Gestão da qualidade e melhoria
Após o surgimento dos métodos, que são oriundos de pesquisas, a projeção de uso e de ganho de
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Após o surgimento dos métodos, que são oriundos de pesquisas, a projeção de uso e de ganho de
qualidade e melhoria nos processos foram tão acentuadas que cerca de uma década após o
surgimento e a propagação dos métodos estes eram tidos como garantia de excelência na
produção, tanto que Sá (1965, p. 70) chega a apontar em um de seus estudos este fato: “Mais
recentemente, e de forma inequívoca, PERT e CPM têm sido citados em textos publicitários, como
que para atestar a excelência técnica do anunciante.”
O certo é que com o decorrer dos anos, as melhores características de ambos os métodos foram agrupadas de
forma que hoje o método passou a ser tratado por grande parte dos autores como técnica PERT/COM (HILLIER;
LIEBERMAN, 2013).
Vale apontar que tal método continua a ser utilizado amplamente hoje no gerenciamento de projetos.
3.1.2 Diferença entre os métodos
A princípio o CPM atua em um universo determinístico enquanto o PERT trabalha com dados probabilísticos
(NOVAIS et al., 2011; SÁ, 1965; TAHA, 2008). Olhe que estas informações já diferenciam bastante tais métodos. O
CPM pressupõe que a organização já sabe o que deve ser produzido e como o fazer, tendo o tempo de produção
influência direta em como os recursos estão sendo aplicados. Assim o CPM “indica, em função de um tempo de
execução total para o projeto, em face do qual o orçamento deva ser minimizado, quais os recursos (e, portanto,
quais os custos) correspondentes a cada tarefa do empreendimento” (SÁ, 1965, p. 75).
Uma diferenciação pertinente neste momento refere-se à finalidade de cada método. Sá (1965, p. 70) afirma:
“Talvez seja melhor observar PERT como instrumento próprio de controle da produção, e CPM como
instrumento específico de planejamento”. Este autor ainda aponta a dificuldade em aceitar que o PERT seja
apenas a aplicação e utilização de um gráfico de setas e círculos. “Talvez esse conceito seja válido para CPM, onde
o gráfico que se tem em mãos é lei, só faltando especificar quem ou quantos realizarão esta e aquela tarefa” (SÁ,
1965, p. 76).
1.1.3 Técnicas de aplicabilidade
Compreendemos as diferenças e similaridades dos dois métodos. Mas, quais as premissas para aplicação destes
métodos? Inicialmente, como já foi apontado anteriormente, este método/técnica pode ser aplicado para o
planejamento e controle tanto de projetos quanto de processos.
A Figura a seguir aponta para um possível processo de implementação da técnica. Este se inicia com a definição
das atividades do projeto apontando as relações de precedência e o tempo de execução de cada atividade. De
posse da lista de atividades do projeto, o passo seguinte consiste na elaboração do diagrama de rede de forma
que obedeça as relações de precedência do projeto, relações estas definidas já na lista de atividades do projeto.
Pronto, você montou o gráfico de rede! Agora devemos realizar o cálculo de rede, identificando aí o caminho
VOCÊ QUER LER?
Para aprofundar seus conhecimentos, sugerimos a leitura de “Ideias de administração: o
pensamento clássico”, de Daniel A. Wren (2007). O livro conta com riqueza de detalhes a
história da administração, desde suas origens ancestrais até os grandes nomes da ciência
administrativa. Traz ainda um debate sobre temas atuais de forma que faça o leitor refletir
sobre os modelos de gestão adotados hoje.
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que obedeça as relações de precedência do projeto, relações estas definidas já na lista de atividades do projeto.
Pronto, você montou o gráfico de rede! Agora devemos realizar o cálculo de rede, identificando aí o caminho
crítico do projeto e as folgas dos caminhos não críticos. A fase final da implementação do método PERT/CPM
trata-se da construção da Programação Temporal, que na maior parte dos casos é implementada com a
construção de um gráfico de Gantt. Percebam que existe um mecanismo de realimentação que interliga a
programação temporal ao gráfico de rede. Percebam que como o método trata-se também de uma forma de
controle do projeto, caso no percurso do projeto ocorra algum problema de execução que atrase o projeto este
deve ser recalculado e desta forma será necessário ajustar a rede e os cálculos.
Figura 1 - Fases do Planejamento de processo com PERT/COM.
Fonte: TAHA, 2008, p. 124.
1.1.4 As três durações possíveis de uma atividade
Uma das maneiras de se aplicar a metodologia PERT/CPM refere-se à técnica de identificação das três durações
possíveis para uma atividade. Para aprender mais sobre elas, clique nas abas abaixo.
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Tipos de duração
Os três tipos de duração são: a duração otimista, n mais provável e a duração pessimista para a
atividade. Esta aplicação trata-se da parte não determinística do PERT, e utiliza de método
probabilístico para tal (SLACK; CHAMBERS; JOHNSTON, 2009).
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Aplicação do método
A aplicação deste método parte da ideia de que o gestor deve prever não um tempo para a
execução de uma atividade, mas sim três. A tabela que segue apresenta as atividades que
constituem um projeto. Para cada atividade foi identificadoo tempo em semanas nos termos
otimista, provável e pessimista.
Na tabela também já foi aplicada a fórmula de cálculo para encontrar o tempo esperado das atividades. A
fórmula é esta a seguir.
Média: 
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Tabela 1 - Tempos das atividades do projeto.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em OLIVEIRA, [s.d.].
Percebam que para cada uma das atividades foi identificada uma atividade precedente. Desta forma o passo
seguinte para este projeto foi desenhar um diagrama de rede. A figura que segue apresenta este diagrama de
rede indicando a atividade e o seu respectivo tempo esperado de duração. Só para recapitular, a atividade que
interliga os eventos 2 e 5 trata-se de uma atividade fictícia, desta forma ela não possui tempo de execução e está
representada por uma seta tracejada. Vejam que os eventos (nós que interligam as atividades) foram numerados
sequencialmente de 1 a 7.
Certo, agora que construímos o diagrama de rede nos resta calcular o caminho crítico do projeto e asfolga
existentes nos caminhos não críticos. No Diagrama a seguir o caminho crítico foi enfatizado pelas setas maiores,
sendo o caminho crítico composto pelas atividades C – I – H, tendo como tempo médio de execução 21 semanas
(7 + 9 + 5 = 21). Observem que no diagrama também foram identificadas as folgas dos caminhos não críticos.
Figura 2 - Identificação do Caminho Crítico do Projeto.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em OLIVEIRA, [s.d.].
As folgas identificadas foram de uma semana no evento 3 e duas semanas no evento 4. E você sabe como estes
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As folgas identificadas foram de uma semana no evento 3 e duas semanas no evento 4. E você sabe como estes
valores devem ser apurados? Acompanhe, clicando nas interações.
Apuração
Estes valores podem ser apurados por meio da diferença dos valores de data mais cedo de
um evento e data mais tarde de um evento. Estes valores são os que se encontram nas caixas
situadas acima de cada evento do diagrama.
Valores
É importante apontar aqui que como foram identificados três valores para cada atividade do
projeto, é possível calcular também o tempo otimista para o caminho crítico do projeto assim
como o tempo pessimista para o caminho crítico. Desta forma o tempo otimista do caminho
crítico seria de 15 semanas (5 + 6 + 4 = 15) e o tempo pessimista seria de 31 semanas (9 + 16
+ 6 = 31).
Identificaram que existe uma variação bastante grande entre os tempos otimista e pessimista, para tal que se
calcula a variância das atividades, conforme apontado na tabela de atividades do projeto. Esta variância é
encontrada através da fórmula abaixo:
Variância: 
Assim a variância do caminho crítico é de 3,333 (0,444 + 2,778 + 0,111 = 3,333), o que representa um desvio
padrão de 1,825. Bom, e para que isso serve? Serve para calcular a probabilidade do caminho crítico deixar de
ser o caminho crítico. Veja bem, o caminho não crítico com o tempo mais elevado trata-se do caminho D – F – I –
H com um tempo médio de 20 semanas (3 + 3 + 9 + 5 = 20) e uma variância de 3,111 (0,111 + 0,111 + 2,778 +
0,111 = 3,111), o que nos leva a um desvio padrão de 1,764. Bom, com estas variações de tempo tão altas entre
estes dois caminhos os tempos poderiam se inverter, basta aplicar o desvio padrão para menos no caminho
crítico ou ainda pode-se aplicar o desvio padrão para mais no caminho não crítico.
• Caminho critico:C – I – H21-1,825 = 19,175 semanas.
• Caminho não crítico:D – F – I – H20 + 1,764 = 21,764 semanas.
Percebeu a finalidade de se calcular um projeto utilizando os três tempos possíveis para o projeto?
1.2 Estruturação do Program Evaluationand Review 
 e do Método do Caminho CríticoTechnique
Agora que você compreendeu as diferenças e similaridades das técnicas do Program Evaluationand Review
– PERT e do Método do Caminho Crítico – CPM, e ainda compreendeu como utilizar as três duraçõesTechnique 
possíveis de uma atividade, vamos estudar a implementação da PERT/CPM em termos de redução de tempo do
projeto, de forma que isso cause pouco impacto nos custos do projeto.
Para tal, iremos tratar também sobre a técnica de gerenciamento de cronograma de projetos proposta por Gantt,
e que hoje é conhecida como gráfico de Gantt. Por último compreenderemos o problema do tempo-custo,
bastante discutido dentro da PO.
VOCÊ SABIA?
Desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Sim, o “desvio padrão é, por definição, a raiz
quadrada, com sinal positivo, da variância. A unidade de medida do desvio padrão é igual a
unidade de medida dos dados” (HOFFMANN, 2006, p. 49).
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bastante discutido dentro da PO.
1.2.1 Planejar e estruturar a PERT/CPM
Para que possamos aplicar a técnica PERT/CPM vários aspectos devem ser observados e como foi apresentado
no tópico anterior é necessário que seja elaborada uma programação temporal do projeto. Tudo bem que esta é
uma das fases finais do processo de planejamento do PERT/CPM, contudo esta é uma das fases cruciais da
técnica.
1.2.2Gráfico de GANTT
O gráfico de Gantt trata-se de gráfico simples que representa o tempo com uma barra. Ok, mas é só isso? Uma
barra, e pronto? Para responder a estes questionamentos vamos nos aprofundar um pouco no uso da
ferramenta.
Essa representação gráfica proposta por Gantt evoluiu para um diagrama onde “as atividades são listadas na
vertical, as datas na horizontal e sua duração é representada pelo comprimento das barras, que podem mostrar o
desempenho atual comparado com o planejado” (PEINADO; GRAEML, 2007, p. 59). A figura a seguir apresenta o
gráfico de Gantt para o projeto de pavimentação de uma rua.
VOCÊ O CONHECE?
Henry Gantt (1861-1919), estudioso que dá nome ao gráfico, foi contemporâneo de Frederick
Winslow Taylor (1856-1915), com quem trabalhou na Siderúrgica Midvale. Gantt se tornou
discípulo de Taylor. Contudo, uma de suas maiores contribuições para a ciência da
administração veio num período posterior a seu trabalho com Taylor. Ex-professor, Gantt era
acostumado a representar informações de forma gráfica para seus alunos, foi aí que elaborou o
gráfico de Gantt para representar a introdução dos comportamentos na fabricação (LIMA,
2013; PEINADO; GRAEML, 2007; WREN, 2007).
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Quadro 1 - Modelo de Gráfico de Gantt.
Fonte: PEINADO; GRAEML, 2007, p. 496.
O diagrama de Gantt se mostrou tão eficiente que suas premissas se mantiveram inalteradas por praticamente
cem anos, visto que melhorias no gráfico apenas foram introduzidas na década de 1990, quando foram
adicionadas linhas de ligação às barras de forma a caracterizar dependências nas tarefas (LIMA, 2013).
1.2.3 O Problema Tempo x Custo
Percebam que as atividades que compõem um projeto podem sofrer com variações de tempo em que na maioria
dos casos a necessidade de redução deste tempo de execução de uma atividade pode gerar acréscimo de custos
no projeto.
Cabe lembrar que a redução de tempo de um projeto pode se fazer necessária devido a restrições de tempo de
execução ou ainda a necessidade de aceleração do projeto (HEIN; LOESCH, 2009; HILLIER; LIEBERMAN, 2013).
Clique nas setas abaixo e aprenda mais sobre este assunto.
O tempo apurado no caminho crítico do projeto é o menor tempo possível de execução de um projeto, com o
menor custo que se pode empregar. Certo, mas você precisa acelerar o cronograma do projeto, então saiba que
seus custos diretos de produção certamente irão aumentar.
Para apurar qual o melhor meio de se calcular a aceleração deste projeto surge o CPM de relações conflitantes
tempo-custo projeto (HEIN; LOESCH, 2009; HILLIER; LIEBERMAN, 2013).
Esta metodologia auxilia o gestor a encontrar o plano ótimo de aceleração do projeto, considerando o menor
VOCÊ SABIA?
O , conhecido como é um programa que permite elaborarMicrosoft Project MS Project
diagramas de rede e gráficos de Gantt. Dessa maneira, com a utilização desse recurso, é
possível resolver rápida e facilmente quaisquer problemasde planejamento e programação de
projetos (ANDRADE, 2015). Mais informações no endereço: <https://products.office.com/pt-br
>./project/project-and-portfolio-management-software
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Esta metodologia auxilia o gestor a encontrar o plano ótimo de aceleração do projeto, considerando o menor
custo possível para tal.
Vamos compreender como isso pode ser possível.
Determinada empresa necessita construir uma nova unidade fabril, para tal solicitou ao gerente de projetos para
levantar os custos e elaborar um plano de produção para a construção. A única restrição do projeto é o fato de
que a empresa precisa que a unidade fabril esteja operacional em 40 semanas. Inicialmente o gerente de projetos
apresentou a tabela abaixo com os dados das atividades do projeto.
Tabela 2 - Atividades do Projeto de construção de Unidade Fabril.
Fonte: HILLIER; LIEBERMAN, 2013, p. 380.
Como de costume, o gerente de projetos também já apresentou os tempos de duração do projeto e os caminhos
possíveis para tal. Observe que existem 6 caminhos distintos no projeto. Estes caminhos apresentam tempos
divergentes de conclusão.
• INÍCIO →A→B→C→D→G→H→M→ TÉRMINO= 40 semanas;
• INÍCIO →A→B→C→E→H→M→ TÉRMINO = 31 semanas
• INÍCIO →A→B→C→E→F→J→K→N→ TÉRMINO = 43 semanas
• INÍCIO →A→B→C→E→F→J→L→N→ TÉRMINO = 44 semanas
• INÍCIO →A→B→C→I→J→K→N→ TÉRMINO = 41 semanas
• INÍCIO →A→B→C→I→J→L→N→ TÉRMINO= 42 semanas
Neste ponto o gerente de projetos destacou o caminho crítico do projeto (em negrito) contendo 44 semanas. É aí
que surge o problema deste projeto, a fábrica precisa funcionar em 40 semanas. Como reduzir esses tempos?
Quais os custos desta aceleração? Para responder estas questões uma análise deve ser feita pelo gerente de
projetos. Esta análise nos indica a necessidade de levantar custos de aceleração e quais as atividades que causam
impacto no projeto.
Causar impacto está relacionada à adoção de medidas que irão aumentar os custos de produção, contudo
reduzirão a duração de uma atividade. Tais medidas incluem a contratação de horas extras dos operários,
contratar novos colaboradores para o projeto, adotar materiais especiais que melhorem as técnicas operacionais
economizando tempo, ou ainda empregar equipamentos mais modernos. Deste modo, impactar em um projeto
refere-se ao impacto que as atividades vão gerar no tempo total do projeto (HILLIER; LIEBERMAN, 2013).
Após o gerente de projetos e sua equipe investigar os impactos financeiros de cada atividade do projeto chegou-
se a tabela que segue, em que os custos de aceleração de cada atividade do projeto foram apresentados.
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Fonte: HILLIER; LIEBERMAN, 2013, p. 385.
Algumas ponderações podem ser feitas em relação à aceleração do projeto, a primeira seria a de que após o
estudo o projeto poderia ser concluído em incríveis 28 semanas. Tendo seu caminho crítico modificado para o
caminho: INÍCIO →A→B→C→E→F→J→K→N→TÉRMINO. A segunda ponderação refere-se ao custo do projeto que
passaria dos R$ 4,55 milhões iniciais para R$ 6,15 milhões, o que representa um aumento de 35% nos custos do
projeto.
Certo, mas então teria como causar um impacto apenas parcial em algumas destas atividades de forma que o
custo fosse minimamente impactado e o projeto fosse concluído em 40 semanas?
A análise do custo marginal deve ser feita para que se identifique os menores custos possíveis para a redução do
tempo do projeto. Esta análise consiste na identificação de qual atividade apresentou o menor custo impactado
por semana reduzida, que foi apontado na tabela anterior, e aplicar esta redução aos maiores caminhos do
projeto. Na primeira linha da tabela foram inseridos os dados referentes à quantidade de semanas que cada
caminho levaria para percorrer em condições normais.
Tabela 3 - Análise de custo marginal do projeto.
Fonte: Elaborada pela autora, baseada em HILLIER; LIEBERMAN, 2013, p. 386.
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A partir daí o passo seguinte foi identificar qual seria o menor custo de impacto por semana. Para isso foi
identificado na tabela anterior as atividades ‘I’ e ‘J’ que detém custo por semana de R$30 mil. Mas qual das duas
atividades teria maior impacto no projeto? Para responder esta questão basta avaliar os caminhos do projeto, a
atividade ‘I’ causaria impacto em duas atividades, contudo nenhuma delas tratava-se do caminho crítico do
projeto. Então foi observada a atividade ‘J’, que impacta em quatro atividades sendo uma delas o caminho crítico.
Desta forma foram lançados os dados da segunda linha da tabela, reduzindo em uma semana o prazo dos
caminhos que a atividade ‘J’ causa impacto. Como a atividade ‘J’ tem capacidade de reduzir em duas semanas seu
prazo de trabalho e foi identificada como a que melhor se encaixa nos critérios custo e maior impacto adota-se a
mesma atividade para a próxima linha da tabela.
Agora o caminho crítico já possui apenas 42 semanas e o projeto foi impactado em apenas R$ 60 mil. Contudo o
prazo é insuficiente, por isso precisamos reduzir mais duas semanas, desta forma repetiremos o processo. Ao
observar os custos por semana foram identificadas três atividades possíveis de serem atacadas, sendo elas ‘F’, ‘G’
e ’K’, estas causam impacto financeiro de R$ 40 mil. Assim voltamos aos caminhos do projeto onde foi
identificado que a única atividade destas que causaria impacto no caminho crítico seria a atividade ‘F’. Então esta
atividade foi adotada e como ela poderia ser reduzida em duas semanas o seu prazo de execução, as linhas
quatro e cinco da tabela de análise de custo marginal foram escritas.
Percebam que agora não temos mais um caminho crítico, mas sim três caminhos crítico, com 40 semanas de
prazo cada um. O custo total impactado foi de R$ 140 mil. Como o projeto agora possui três caminhos crítico as
folgas foram reduzidas, e a atenção referente a atrasos deverá ser redobrada.
1.3 Problemas de transporte
Anteriormente tratamos do PERT/CPM e várias de suas variações e usos. Neste momento iremos adentrar nos
estudos do problema de transporte.
O Problema do transporte remete às origens da pesquisa operacional e pode ser tratado e resolvido de inúmeras
maneiras possíveis. O Problema de transporte também trata-se de problema oriundo da teoria dos grafos e pode
ser resolvido de forma gráfica e também por programação linear. Contudo, aqui iremos enfatizar o método de
solução do custo mínimo para resolver um problema de transporte balanceado.
1.3.1 Principais características com problemas de transporte
Acompanhe a seguir a história de José Antônio e aprenda mais sobre o tema. Para tanto, clique nas interações
José Antônio é gestor de transportes de uma indústria de bicicletas que possui fábricas e centros de distribuição-
CD espalhados pelo país. Desta forma “Zé Antônio”, como costuma ser chamado pelos colegas, precisa roteirizar
as entregas de forma que considere as demandas existentes nos diferentes centros de distribuição e os custos
relacionados ao transporte das bicicletas para cada CD. Parece tarefa ingrata, mas Zé Antônio adora seu trabalho
e já tem neste tipo de trabalho.knowhow
O Problema descrito acima faz parte do que a pesquisa operacional convencionou a chamar de “Problema de
Transporte”. O problema de transporte está relacionado a “determinar as quantidades transportadas de uma ou
mais origens para um ou mais destinos de modo que o custo total de transporte referente a esse problema seja a
menor possível” (BARBOSA; ZANARDINI, 2015, p. 81). A resolução do problema de transporte parte do
conhecimento da capacidade de produção/carga da origem, da demanda existente pela carga transportada em
cada destino, além dos custos de transporte existente entre cada origem para cada destino. A resolução do
problema de transporte pode ser baseado em Programação Linear – PL.
Mas como poderei resolver este problema? Bom esta é uma pergunta bastante abrangente, visto as variações
possíveis em um problema de transporte. Contudo,para resolver o problema do transporte devemos considerar
a variável ‘custos de transporte’, pois este custo impacta diretamente nos custos logísticos de forma geral, que
por sua vez acaba refletindo no custo dos produtos finais.
A resolução do problema de transporte pode seguir alguns métodos conhecidos, como o canto noroeste e o
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por sua vez acaba refletindo no custo dos produtos finais.
A resolução do problema de transporte pode seguir alguns métodos conhecidos, como o canto noroeste e o
Vogel, mas para começarmos nosso estudo vamos lidar com o (BARBOSA;método do custo mínimo 
ZANARDINI, 2015). Percebam que a maioria dos problemas existentes requer a redução dos custos e para
compreendermos como isso funciona vamos resolver um dos problemas do Zé Antônio.
A Fábrica de bicicletas possui três unidades de produção, sendo uma em Goiânia-GO que produz cerca de 1000
unidades por mês, uma fábrica em Macaé-RJ, com capacidade de produção de 2000 unidades por mês. Já a
fábrica localizada em Curitiba, tem capacidade de produzir 1500 unidade/mês. Os centros de Distribuição são
num total de quatro e estão localizados nas cidades abaixo, percebam a demanda indicada para cada cidade:
• Rio de Janeiro-RJ; demanda de 1200 bicicletas;
• Guarulhos-SP; demanda de 2300 bicicletas;
• Salvador/BA; demanda de 700 bicicletas;
• Cuiabá/MT; demanda de 300 bicicletas.
Para resolver o problema Zé Antônio levantou os custos unitários de transporte entre fábricas e centros de
distribuição. Assim chegou no Quadro que segue.
Quadro 2 - Custo unitário de transporte.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Para resolver o problema foi necessário utilizar um modelo de tabela com células matriciais, que é empregada
para facilitar o emprego do método do custo mínimo. Neste tipo de tabela são inseridos dois valores em cada
célula. No quadrado menor da célula devem ser inseridos os valores de custo de transporte.
A tabela a seguir traz parte da resolução do problema de transporte posto. Para compreendermos acompanhe o
raciocínio. Inicialmente foram inseridos os valores dos custos no quadro menor de cada célula matricial. Assim
no momento da resolução é mais fácil identificar qual o trajeto que terá o menor custo de transporte. O passo
seguinte foi identificar qual o menor custo de transporte existente. Logo, foi identificado que este custo se refere
ao transporte entre a fábrica de Macaé e o CD do Rio de janeiro, assim foi preenchido o total de bicicletas
possíveis de serem transportadas entre esta origem e seu referido destino (Macaé – Rio de Janeiro). Como a
demanda para o CD do Rio de Janeiro era de 1200 bicicletas e a fábrica de Macaé consegue entregar até 2000
bicicletas, pode-se preencher a célula com a capacidade máxima de demanda, ou seja, 1200 bicicletas.
VOCÊ QUER LER?
O livro “Modelagem de planilha e análise de decisão” (RAGSDALE, 2014) traz de uma forma
intuitiva e bem-documentada como resolver problemas de pesquisa operacional utilizando-se
de planilhas eletrônicas de cálculo.
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Tabela 4 - Identificação dos menores custos de transporte.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
Perceba que assim que a célula referente ao transporte de Macaé para o Rio de Janeiro foi preenchida, os valores
referentes à demanda e à capacidade precisam ser ajustados. Para tal foi tachado o valor inicial, e caso existam
sobras, o novo valor precisa ser apontado, é o que ocorreu na capacidade da fábrica de Macaé, que era de 2000 e
agora sobraram 800 bicicletas. Certo, agora o mesmo deve ser feito com os transportes de menor custo
identificados na sequência. São eles os que apresentam custo de R$ 3. Um deles é o transporte entre Goiânia e
Cuiabá, neste caso a demanda era de apenas 300 bicicletas, o que pode ser prontamente atendida pela fábrica de
Goiânia, sobrando para esta uma capacidade de entrega de 700 bicicletas. O outro caso de custo igual a R$3
tratava-se do transporte entre Curitiba e Guarulhos. Neste caso a demanda de Guarulhos era de 2300 bicicletas,
sendo que a fábrica de Curitiba só possui capacidade de 1500 bicicletas. Prontamente toda a capacidade de
entrega da fábrica foi comprometida, porém o CD de Guarulhos ainda necessita de 800 unidades.
Já a tabela que segue traz os valores totalmente preenchidos. Percebam que existe um fator interessante na
resolução deste problema em específico, que se trata do transporte da fábrica de Macaé para os CDs de
Guarulhos e Salvador, onde ambos apresentam o mesmo custo de transporte.
Tabela 5 - Resolução do problema de transporte.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019,
Como proceder nestes casos? Bom, aqui este caso foi tratado observando-se qual das duas unidades
demandantes teria o próximo menor custo de transporte. Como assim? Fácil, se fossem desconsideradas as
possibilidades de transporte partindo de Macaé, qual seria a melhor escolha para estes dois destinos? No caso
em debate, a melhor escolha nesta condição seria o transporte entre Goiânia e Guarulhos, com um custo de R$ 5;
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possibilidades de transporte partindo de Macaé, qual seria a melhor escolha para estes dois destinos? No caso
em debate, a melhor escolha nesta condição seria o transporte entre Goiânia e Guarulhos, com um custo de R$ 5;
visto que o custo de transporte entre Goiânia e Salvador seria de R$ 6.
Como identificamos que Guarulhos deveria ter prioridade de transporte na segunda escolha devemos fazer a
escolha inversa para a primeira escolha. Então o correto é dar preferência à Salvador, pois sua segunda escolha
seria mais onerosa que a segunda escolha de Guarulhos. Desta forma a tabela foi preenchida com a demanda de
Salvador partindo de Macaé, que ainda assim tinha capacidade de transporte de 100 unidades. Estas 100
unidades de Macaé foram imediatamente disponibilizadas para Guarulhos, que agora demandava apenas 700
unidades, que pode ser imediatamente atendido pela fábrica de Goiânia.
Por fim devemos calcular o custo total de transporte da empresa. Para tal vamos calcular o custo por transporte
realizado. Percebam abaixo que o custo total identificado está na casa dos R$ 14.500.
Um ponto importante a ser enfatizado é que este caso se trata de um caso balanceado, visto que a demanda total
é igual ao fornecimento total.
1.4 Modelagem - problemas de transporte
Anteriormente já tratamos do PERT/CPM e suas várias utilizações incluindo o cálculo das três durações
possíveis de uma atividade. Foi identificado o diagrama de Gantt que auxilia na condução de um projeto, e por
último vocês conheceram o problema de transporte e o método do custo mínimo, que auxilia na resolução do
problema.
Agora iremos compreender o papel da programação Linear dentro do problema de transporte, além de
verificarmos como balancear um problema de transporte que apresenta demanda divergente da capacidade de
fornecimento.
Isso tudo nos auxiliará no processo global de tomada de decisões ótimas. Vamos lá?
1.4.1 Programação linear – PL
Podemos definir a Programação Linear (PL) como uma aplicação matemática que permite o melhor
aproveitamento possível para a produção, mitigando os desperdícios.
De acordo com Barbosa e Zanardini (2015), a PL é uma técnica de otimização aplicada em sistemas de equação e
inequação lineares representativos de modelos prévios. A modelagem em programação linear possui três
componentes básicos.
Um dos componentes trata-se da função-objetivo, que busca otimizar a meta a ser perseguida, sendo esta meta
maximizar o lucro ou minimizar os custos. Outro componente básico da PL denomina-se restrições, que são as
ressalvas que a solução a ser proposta deve satisfazer. O terceiro componente são as variáveis de decisão (TAHA,
2008).
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Para a construção do modelo de PL o primeiro passo será a definição adequada das variáveis de decisão.
Aprenda mais sobre este assunto, clicando nas abas abaixo.
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Para compreendermos vamos retomar aos problemas de transporte da indústriade bicicletas
onde Zé Antônio trabalha. Só para recapitularmos a fábrica de bicicletas possui três unidades de
produção, sendo uma em Goiânia-GO que produz cerca de 1000 unidades por mês, uma fábrica em
Macaé no estado do Rio de Janeiro, com capacidade de produção de 2000 unidades por mês.
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Já a fábrica localizada em Curitiba tem capacidade de produzir 1500 unidade/mês. Os centros de
Distribuição são num total de quatro e estão localizados nas cidades abaixo, percebam a demanda
indicada para cada cidade: Rio de Janeiro-RJ - 1200 bicicletas; Guarulhos-SP - 2300 bicicletas;
Salvador-BA - 700 bicicletas; e Cuiabá-MT - 300 bicicletas.
Neste caso vamos identificar cada variável (x) com dois índices (i e j) onde:
• i – primeiro número (índice) indica a origem (fábrica);
• j – segundo número (índice) indica o destino (depósito).
Neste caso a variável ‘x11’ indica a quantidade de bicicletas a ser transportada da fábrica em Goiânia para o
centro de distribuição do Rio de Janeiro. Ou ainda a variável ‘x12’ que por sua vez aponta para o transporte da
fábrica de Goiânia para o CD de Guarulhos.
Desta forma o modelo de PL para a função objetivo de minimização dos custos (min z) do problema de
transporte da fábrica de Bicicletas seria o seguinte:
Este modelo matemático está sujeito a restrições, tanto de produção quanto de demanda dos CDs. Para conhecê-
las, clique nas interações abaixo.
Restrição
1
Restrições de capacidade de produção:
x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 1000
x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 2000
x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 1500
Restrições de demanda dos Centros de Distribuição:
x11 + x21 + x31 + x41 ≤ 1200
x12 + x22 + x32 + x42 ≤ 2300
VOCÊ SABIA?
O é um suplemento do que pode ser usado para testar hipóteses eSolver Microsoft Excel 
encontrar valores ótimos em programação linear. Tal suplemento acompanha o pacote Office
da . Para saber mais e entender suas aplicações, acesse o endereço: <Microsoft https://support.
office.com/en-us/article/define-and-solve-a-problem-by-using-solver-5d1a388f-079d-43ac-
>.a7eb-f63e45925040?ui=en-US&rs=en-US&ad=US
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Restrição
2
x11 + x21 + x31 + x41 ≤ 1200
x12 + x22 + x32 + x42 ≤ 2300
x13 + x23 + x33 + x43 ≤ 700
x14 + x24 + x34 + x44 ≤ 300
Assista ao vídeo abaixo e aprenda mais sobre o tema.
https://cdnapisec.kaltura.com/p/1972831/sp/197283100/embedIframeJs/uiconf_id/30443981/partner_id
/1972831?iframeembed=true&playerId=kaltura_player_1548873615&entry_id=1_qfcz8ck1
Outra restrição a ser lembrada refere-se à restrição de não negatividade, onde nenhuma das variáveis (xij)
devem ser menores que zero.
Percebam que a modelagem em PL do problema de transporte da fábrica de bicicletas está pronta. A resolução
dos problemas foi apontada anteriormente utilizando-se o método do custo mínimo. Cabe apontar que existem
vários meios de se chegar a resolução deste problema. Tanto utilizando-se de softwares especializados, quanto
utilizando planilhas.
1.4.2 Problema de transporte desequilibrado
Então quando a oferta de produtos a serem transportados e a demanda pelo transporte forem iguais podemos
afirmar que existe um problema equilibrado. Mas, quando a oferta é maior que a demanda? Bom neste caso,
temos um sistema desequilibrado, pois o total da oferta é diferente do total da demanda (BARBOSA; ZANARDINI,
2015). 
Quando o sistema está desequilibrado duas possibilidades se apresentam. Uma acontece quando a demanda pelo
transporte é maior que a oferta de produtos a serem transportados, dessa forma os destinos ficarão sem o
produto. A outra possibilidade é a de sobrar oferta de produtos, e assim o produto ficará parado no estoque da
fábrica.
O desequilíbrio do transporte é um problema que impede a aplicação de um método de resolução. Desta forma é
necessário fazer ajustes para que o problema passe a ser equilibrado. Estes ajustes seria a criação de destinos ou
origens fictícias, que receberiam ou forneceriam o produto ausente.
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Um destino fictício é a “forma de representar matematicamente que haverá sobras em uma ou mais origens.
Como essa quantidade excedente não será transportada [...] o custo de transporte será zero” (BARBOSA;
ZANARDINI, 2015, p. 83). Uma origem fictícia, por sua vez, representa a demanda total maior que a capacidade
total das origens. Neste caso, haverá falta em um ou mais destinos”(BARBOSA; ZANARDINI, 2015, p. 83). Cabe
lembrar que nestes casos o custo de transporte também será zero.
Imagine que a indústria de bicicletas que emprega Zé Antônio tornou operacional uma nova fábrica de bicicletas
localizada na cidade de Fortaleza no Ceará. Esta unidade passou a produzir 500 unidades por mês e por
possibilitar o transporte através de modais de transporte de baixo custo apresenta os seguintes custos de
transporte: Rio de Janeiro-RJ - R$ 3; Guarulhos-SP - R$ 4; Salvador/BA - R$ 3; e Cuiabá/MT - R$ 8.
CASO
O agronegócio brasileiro vem sendo profundamente impactado pela crescente
competitividade. Este fato torna a logística de escoamento da produção de grãos, assim como o
transporte de insumos, de vital importância para a economia do setor. Neste ponto surge o
Problema da Globo Transporte e Logística de Grãos. Depois de 15 anos de atuação no mercado
possui frota própria de veículos e opera terminais de grãos em dois importantes corredores de
operações logísticas para o setor. O problema posto trata exatamente da necessidade de
identificar como suprir suas barcaças de grãos oriundas de produções das regiões de Mato
grosso e Rondônia. Cada barcaça da empresa precisa ser suprida com 1.300 toneladas de grãos
e sua frota tem capacidade de transportar 45 toneladas por viagem. Nesse sentido, o quadro
traz os dados de origem e destino dos grãos, assim como os custos de transporte.
Para resolver o problema o gestor de transportes da empresa utiliza-se do método do custo
mínimo para identificar quais as rotas são mais atrativas naquele momento. Para tal ele
acabou por identificar as seguintes rotas de transporte (rota; custo total de transporte; qtd. de
viagens; capacidade transportada):
Apurou-se no escoamento para o terminal de grãos de Porto Velho (RO) um custo total de
transporte rodoviário de R$ 543.825,00 para transportar 5.175 t de grãos a um custo de R$
105,09 por tonelada transportada. Já as rotas para o terminal de Itaituba – MT apresentaram
os seguintes números:
O terminal de grãos de Itaituba apresenta-se mais competitivo para transporte rodoviário
visto que o custo total de transporte rodoviário foi de R$ 409.230,00 para transportar 7785 t
de grãos a um custo de R$ 52,57 por tonelada transportada. Contudo, a empresa não opera
somente este terminal, pois o mesmo ainda encontra-se instável do ponto de vista da
infraestrutura rodoviária que fornece acesso ao mesmo (NTC & LOGÍSTICA, 2015; AMAGGI,
2017).
• Sapezal – Porto Velho: R$ 348.300,0060 viagens2.700 t.
• Vilhena – Porto Velho: R$ 195.525,0055 viagens2.475 t.
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• Sorriso – Itaituba: R$ 139.590,0066 viagens2.970 t.
• Sinop – Itaituba: R$ 269.640,00107 viagens4.815 t.
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Perceba que a oferta de produtos cresceu para 5 mil unidades por mês, contudo a demanda dos CDs não se
alterou. Para resolver este problema precisa ser criado um destino fictício para os produtos excedentes. Dessa
forma, o início da resolução do problema seguiu a mesma lógica indicada na tabela de identificação dos menores
custos de transporte, vista anteriormente. Desta altura em diante, a identificação dos menores custos de
transporte mudou.
Como a fábrica de Fortaleza apresenta custos de transporte bastante baixos houve necessidade de observar a
segunda opção de transporte para os CDs de Salvador e Guarulhos, que também já haviam apresentado custos
iguais quando do transporte advindo de Macaé. Neste sentido observou-se os custos da terceira escolha, que
apresentou um maior custo de transporte para Salvador. Percebam que neste caso se escolhe aunidade que
apresentou o maior custo, pois é exatamente o que queremos evitar.
Tabela 6 - Resolução do problema de transporte com destino fictício.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
A tabela acima apresenta a solução ótima de transporte no caso de inclusão da nova fábrica. O novo valor total
do transporte ficou na casa de R$ 13,5 mil, contudo a fábrica de Goiânia ficou com um estoque remanescente de
500 unidades, o que irá gerar custos de estocagem e perdas financeiras pelo capital parado.
VOCÊ QUER VER?
O professor Matuzalém Vieira Martins se destaca na internet por trazer conteúdos de
matemática em suas vídeo aulas. No a seguir você encontrará uma contendolink playlist
resoluções de problemas de PO de maneira bastante didática. Disponível em: <https://youtu.be
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Você Conseguiu identificar que a técnica PERT/CPM auxilia o gestor no planejamento e execução de um projeto,
projeto este que pode incluir o suprimento de centros de distribuição, o que abrange diretamente o problema de
transporte? Se compreendeu estas relações a leitura foi proveitosa. Obrigado e até mais!
Síntese
Concluímos os estudos sobre as técnicas que irão auxiliá-lo na resolução de problemas tais como o problema de
transporte. Você pôde conhecer também as similaridades que fizeram o PERT e o CPM se fundirem em uma
única técnica conhecida agora com PERT/CPM.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• conhecer a técnica PERT/COM e sua aplicabilidade;
• mapear e identificar o cálculo a partir da média ponderada de 3 durações possíveis de uma atividade;
• planejar, estruturar e analisar a estrutura de vários cenários da PERT/CPM;
• conhecer e entender as demandas dos problemas de transporte;
• mapear, padronizar e melhorar processos para capacidade de entrega ou de produção;
• analisar a estrutura que envolve o custo de transporte em termos de custos de entrega e tempo de 
entrega com o objetivo de minimizar o custo;
• planejar, estruturar, implementar e aprimorar a decisão ótima dos problemas de transporte;
• conhecer o modelo de programação linear;
• planejar, estruturar, implementar e aprimorar o problema de transporte indicando a capacidade de 
entrega, estocagem e demanda a ser atendida.
Bibliografia
AMAGGI. Logística para escoamento de grãos. , 2017. Disponível em: <Relatório de sustentabilidade
/>. Acesso em: 27/01/2019.https://amaggi.com.br/relatorio2017/logisticaparaescoamentodegraos
ANDRADE, E. : métodos e modelos para análise de decisões. 5. ed. Rio deIntrodução à Pesquisa Operacional
Janeiro: LTC, 2015.
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, D. . 3. ed. rev. e atual.Iniciação à Pesquisa Operacional no ambiente de gestão
Curitiba: InterSaberes, 2015.
HEIN, N.; LOESCH, C. : fundamentos e modelos. São Paulo: Saraiva, 2009.Pesquisa Operacional
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. . 9. ed.Tradução de Ariovaldo Griesi. PortoIntrodução à Pesquisa Operacional
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HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. . 9. ed.Tradução de Ariovaldo Griesi. PortoIntrodução à Pesquisa Operacional
Alegre: McGraw Hill Brasil, 2013.
HOFFMANN, R. ed. rev. ampl. São Paulo: Cengage Learning, 2006.Estatística para economistas. 
LIMA, P. M. R. de. Uma comparação da aplicabilidade do PERT/CPM com o método de corrente crítica no
. Dissertaçãogerenciamento de projetos de construção de linhas de distribuição de energia elétrica
(Mestrado em Engenharia de Produção) – Universidade Federal da Paraíba, João Pessoa-PB, 2013.
MICROSOFT. Software de gerenciamento de projetos – Microsoft Project. Disponível em: < https://products.office.
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______. Definir e resolver um problema usando o Solver. Disponível em: <https://support.office.com/pt-br/article
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NOVAIS, I. F. et al. Gerenciamento de Projeto Otimista (GPO): um método que integra PERT/CPM à CCPM. 
, v. 2, n. 2, p. 150-165, 2011.Revista de Gestão e Projetos-GeP
NTC & LOGÍSTICA. Planilha de custos do transporte rodoviário de grãos. , jan., 2017. Disponível em: <NTCtec
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OLIVEIRA, J. F. Capítulo 7 – exercícios de CPM e PERT – enunciados, [s.d.]. Disponível em: < https://web.fe.up.pt
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PEINADO, J.; GRAEML, A. R. : operações industriais e de serviços. Curitiba: UnicenP,Administração da produção
2007.
PESQUISA Operacional: construção de modelo de programação linear, exemplo 1. Produção e apresentação:
Matusalém Vieira Martins. Brasil, 2014, videoaula, 09min22s. Disponível em: <https://youtu.be/_wJUzN8MoMg
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SÁ, G. Métodos PERT e CPM: problemas e aplicações. , v. 5, n. 16, p. 69-Revista de Administração de Empresas
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>. Acesso em: 27/01/2019.75901965000300003
SLACK, N.; CHAMBERS, S.; JOHNSTON, R. . Traducao Maria Tereza Corrêa deAdministração da produção
Oliveira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
TAHA, H. A. : uma visão geral. Pesquisa Operacional 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
WREN, D. A. : o pensamento clássico. Tradução de Cid Knipel. São Paulo: Ática, 2007.Ideias de administração
	Introdução
	3.1 O estudo do Program Evaluation and Review Technique e do Método do Caminho Crítico
	3.1.1 Técnica (PERT/CPM) e sua aplicabilidade
	3.1.2 Diferença entre os métodos
	1.1.3 Técnicas de aplicabilidade
	1.1.4 As três durações possíveis de uma atividade
	Tipos de duração
	Aplicação do método
	1.2 Estruturação do Program Evaluationand Review Technique e do Método do Caminho Crítico
	1.2.1 Planejar e estruturar a PERT/CPM
	1.2.2Gráfico de GANTT
	1.2.3 O Problema Tempo x Custo
	1.3 Problemas de transporte
	1.3.1 Principais características com problemas de transporte
	1.4 Modelagem - problemas de transporte
	1.4.1 Programação linear – PL
	1.4.2 Problema de transporte desequilibrado
	Síntese
	Bibliografia