ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE (23)

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Capítulo 3:
Elementos de Estatística e 
Probabilidades aplicados à Hidrologia 
Prof. Dr. Doalcey Antunes Ramos
Departamento de Engenharia Civil
3.1 - Objetivos3.1 - Objetivos
• Séries de variáveis hidrológicas como precipitações, 
vazões, evaporação e outras, quando observadas ao 
longo do tempo, apresentam variações sazonais. 
Estas variações não são entretanto absolutamente 
regulares.
• A observação de séries longas de dados hidrológicos 
revelará a ocorrência de extremos (máximos e 
mínimos) e diferentes seqüências de valores, que 
caracterizam as variáveis hidrológicas como 
ALEATÓRIAS. 
• Portanto, variáveis hidrológicas sempre estarão 
associadas a uma probabilidade de excedência.
• Conseqüentemente, obras hidráulicas devem sempre
ser dimensionadas para um determinado risco de falha.
• O objetivo da estatística é o de extrair informações 
significativas de uma dada massa de dados.
• As técnicas utilizadas em Estatística, aplicadas à
Hidrologia, permitem avaliar a probabilidade de 
excedência de um fenômeno hidrológico em determinada 
magnitude.
• As variáveis aleatórias podem ser classificadas em:
• Discretas: só podem assumir valores inteiros
• Ex.: nº de dias chuvosos em um ano
• Contínuas: podem assumir qualquer valor numérico 
real em um intervalo.
• Ex.: vazões médias diárias de um rio em 
uma determinada seção fluvial
Ano Vazão (m³/s)
1973 568
1974 689
1975 356
1976 258
1977 745
1978 895
1979 459
1980 256
1981 458
1982 564
1983 652
1984 598
1985 589
1986 635
1987 588
1988 721
1989 693
1990 542
1991 654
1992 459
1993 658
1994 701
1995 633
1996 548
1997 488
1998 706
1999 562
2000 588
2001 499
2002 766
HIDROGRAMA DE VAZÕES MÁXIMAS 
ANUAIS
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1970 1980 1990 2000
Q
 
(
m
³
/
s
)
3.2 – Tratamento Estatístico de Variáveis Hidrológicas3.2 – Tratamento Estatístico de Variáveis Hidrológicas
Histograma de Frequências Absolutas Simples
2
0
1
3
4
7
6
5
1 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
200 to
270
270 to
340
340 to
410
410 to
480
480 to
550
550 to
620
620 to
690
690 to
760
760 to
830
830 to
900
Intervalos de Vazões (m³/s)
m
Vazões (m³/s) Freq. Absoluta
200 to 270 2
270 to 340 0
340 to 410 1
410 to 480 3
480 to 550 4
550 to 620 7
620 to 690 6
690 to 760 5
760 to 830 1
830 to 900 1
Ano Vazão (m³/s)
1973 568
1974 689
1975 356
1976 258
1977 745
1978 895
1979 459
1980 256
1981 458
1982 564
1983 652
1984 598
1985 589
1986 635
1987 588
1988 721
1989 693
1990 542
1991 654
1992 459
1993 658
1994 701
1995 633
1996 548
1997 488
1998 706
1999 562
2000 588
2001 499
2002 766
Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa
200 to 270 2 0,067
270 to 340 0 0,000
340 to 410 1 0,033
410 to 480 3 0,100
480 to 550 4 0,133
550 to 620 7 0,233
620 to 690 6 0,200
690 to 760 5 0,167
760 to 830 1 0,033
830 to 900 1 0,033
n 30
Histograma de Frequências Relativas Simples
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
200 to
270
270 to
340
340 to
410
410 to
480
480 to
550
550 to
620
620 to
690
690 to
760
760 to
830
830 to
900
Intervalos de Vazões (m³/s)
m/n
Ano Vazão (m³/s)
1973 568
1974 689
1975 356
1976 258
1977 745
1978 895
1979 459
1980 256
1981 458
1982 564
1983 652
1984 598
1985 589
1986 635
1987 588
1988 721
1989 693
1990 542
1991 654
1992 459
1993 658
1994 701
1995 633
1996 548
1997 488
1998 706
1999 562
2000 588
2001 499
2002 766
A freqüência relativa simples representa a probabilidade de que o 
valor de uma variável aleatória X esteja entre os valores limites de 
um certo intervalo de classe.
[ ] nmxXxP ji =≤≤
[ ] %1313,0550480 3 ==≤≤ smQP
Histograma de Frequências Relativas Simples
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
200 to
270
270 to
340
340 to
410
410 to
480
480 to
550
550 to
620
620 to
690
690 to
760
760 to
830
830 to
900
Intervalos de Vazões (m³/s)
m/n
Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa Freq. Rel. Acum Cresc.
200 to 270 2 0,067 0,067
270 to 340 0 0,000 0,067
340 to 410 1 0,033 0,100
410 to 480 3 0,100 0,100
480 to 550 4 0,133 0,333
550 to 620 7 0,233 0,567
620 to 690 6 0,200 0,767
690 to 760 5 0,167 0,933
760 to 830 1 0,033 0,967
830 to 900 1 0,033 1,000
n 30
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
200 to 
270
270 to 
340
340 to 
410
410 to 
480
480 to 
550
550 to 
620
620 to 
690
690 to 
760
760 to 
830
830 to 
900
m
/
n
Intervalo de Vazões (m³/s)
Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Crescente
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
200 to 
270
270 to 
340
340 to 
410
410 to 
480
480 to 
550
550 to 
620
620 to 
690
690 to 
760
760 to 
830
830 to 
900
m
/
n
Intervalo de Vazões (m³/s)
Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Crescente
A freqüência relativa acumulada crescente representa a probabilidade 
de que o valor de uma variável aleatória X seja menor do que o limite 
superior do intervalo de classe considerado.
[ ] ( )∑=≤ nmxXP j
[ ] %3,33333,0550 3 ==≤ smQP
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
200 to 
270
270 to 
340
340 to 
410
410 to 
480
480 to 
550
550 to 
620
620 to 
690
690 to 
760
760 to 
830
830 to 
900
m
/
n
Intervalo de Vazões (m³/s)
Histograma de Frequências Relativas Acumuladas 
Decrescente
Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa Freq. Rel. Acum Decresc.
200 to 270 2 0,067 1,000
270 to 340 0 0,000 0,933
340 to 410 1 0,033 0,933
410 to 480 3 0,100 0,900
480 to 550 4 0,133 0,800
550 to 620 7 0,233 0,667
620 to 690 6 0,200 0,433
690 to 760 5 0,167 0,233
760 to 830 1 0,033 0,067
830 to 900 1 0,033 0,033
n 30
A freqüência relativa acumulada decrescente representa a probabilidade 
de que o valor de uma variável aleatória X seja maior do que o limite 
inferior do intervalo de classe considerado.
[ ] ( )∑−=≥ nmxXP i 1
[ ] %7,66667,0550 3 ==≥ smQP
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
200 to 
270
270 to 
340
340 to 
410
410 to 
480
480 to 
550
550 to 
620
620 to 
690
690 to 
760
760 to 
830
830 to 
900
m
/
n
Intervalo de Vazões (m³/s)
Histograma de Frequências Relativas Acumuladas 
Decrescente
• PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA:
• PROBABILIDADE DE EXCEDÊNCIA:
[ ] nmxXxP ji =≤≤
[ ] ( )∑−=≥ nmxXP i 1
[ ] %7,66667,0550 3 ==≥ smQP
[ ] %1313,0550480 3 ==≤≤ smQP
Função Densidade de Probabilidade
( ) ( )∫=≤≤
b
a
x dxxfbxaP
( )
( ) 1
0
=
≥
∫
∞
∞−
dxxf
xf
x
x
Propriedades:
A função densidade de probabilidade fornece a probabilidade de que 
o valor de uma variável aleatória X esteja entre os valores limites de 
um certo intervalo de classe, por exemplo, entre “a” e “b”.
Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.
Medidas Descritivas PopulacionaisMedidas Descritivas Populacionais
[ ] ∑== )( iXiX xpxXE µ
Valor Esperado:Valor Esperado:
[ ] dxxfxXE XX ∫
∞
∞−
== )(µ
V.A. discreta:V.A. discreta:
V.A. contínua:V.A. contínua:
O Valor Esperado é uma medida de tendência central
[ ] ( )[ ] [ ]( )[ ]2222 XEXEXEXVar XX −=−=== µµσ
Variância:Variância:
[ ] ( )2222 ][][ XEXEXVar X −=== µσ
Medidas de dispersão em torno da medida centralMedidas de dispersãoem torno da medida central
Desvio-padrão:Desvio-padrão:
[ ] ( )( )22 ][][ XEXEXVarX −==σ
[ ] ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−






−==
2
2 )()( dxxfxdxxfxXVar XXXσ
Coeficiente de VariaçãoCoeficiente de Variação
X
X
XCV µ
σ
=
Coeficiente de Assimetria:Coeficiente de Assimetria:
Coeficiente de CurtoseCoeficiente de Curtose
( )
( )[ ]
( )3
3
3
3
X
X
X
XE
σ
µ
σ
µγ −==
( )
( )[ ]
( )4
4
4
4
X
X
X
XE
σ
µ
σ
µ
κ
−
==
Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.
Medidas Descritivas AmostraisMedidas Descritivas Amostrais
∑
=
=
N
i
ixN
X
1
1
Média Aritmética Simples:Média Aritmética Simples:
Média Aritmética Ponderada:Média Aritmética Ponderada:
∑∑
==
==
+++
=
k
i
ii
k
i
ii
kk xpxN
NN
xNxNxNX
11
2211 1...
• Mediana : valor de x para o qual as probabilidades de 
ocorrência de valores superiores e inferiores são as 
mesmas e iguais a 50%
• Moda : valor de x que possui a máxima 
probabilidade, ou em outras palavras, é o mais 
frequente.
• Mediana : valor de x para o qual as probabilidades de 
ocorrência de valores superiores e inferiores são as 
mesmas e iguais a 50%
• Moda : valor de x que possui a máxima 
probabilidade, ou em outras palavras, é o mais 
frequente.
Desvio-Padrão Amostral:Desvio-Padrão Amostral:
( ) ( ) 






−
−
=
−
−
==
∑∑
−−
2
22
11 11
X
N
x
N
N
N
Xx
s
i
NN σ
Coeficiente de Variação AmostralCoeficiente de Variação Amostral
X
sC NV 1−=
Coeficiente de Assimetria Amostral:Coeficiente de Assimetria Amostral:
( )( ) 





+⋅−
−−
=
∑∑ XX
N
x
N
x
NN
Ng 2
²
3
³
21
2
Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.
• A correlação entre duas variáveis aleatórias é uma 
técnica muito utilizada em Hidrologia. Muitas 
análises se baseiam nesta estatística.
• A teoria da regressão e da correlação visa 
determinar a melhor relação de dependência entre 
as variáveis e estabelecer qual é o grau dessa 
dependência estocástica.
REGRESSÃO E CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEISREGRESSÃO E CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS
• Utilização das técnicas de regressão e correlação em 
hidrologia:
• Extensão de séries
• Previsão hidrológica
• Regionalização hidrológica
• Curva-chave
( )
??
0
==
−=
na
hhaQ n
• Problema Estatístico ou de CORRELAÇÃO:
• Qual é o grau de dependência estocástica entre x e y ? 
• Qual é o coeficiente de correlação R entre x e y ?
• Problema Geométrico ou de REGRESSÃO:
• Qual é a melhor relação entre x e y ? 
• Qual é o lugar geométrico dos pontos (xi , yi ) que tornam 
mínimos os desvios entre os pontos observados e 
estimados ?
• 1º Problema: R = ?
• 2º Problema: a = ?
b = ?
Fonte: Naghettini, 1999.
-1 ≤ R ≤ 1
R = 0 não existe correlação
R = 1 relação funcional
R = -1relação funcional
Fonte: Naghettini, 1999.
Modelos de Regressão:
• Simples :
• Linear: y = a X + b
• Não linear: y = a X b
• Múltipla :
• Linear: y = a X + b Z + c T + ...
• Não linear: y = a X m . Z n . T p 
• Seqüência para a regressão simples:
• Agrupar as 2 amostras convenientemente
• Verificar o sentido físico
• Plotar os pontos (x , y)
• Escolher o modelo de regressão, ou seja, a forma 
da equação
• Resolver matematicamente o problema
• Verificar se os resultados estão de acordo com os 
princípios físicos
• Covariância
( )( )∑ −−= YyXxNYX ii1),cov(
YX
YX
YXR
σσ
ρ
.
),cov(2
,
==
• Coeficiente de Correlação
Linearização de Funções: anamorfose logaritmica
Função
Transf. Y
Transf. X
Forma 
linearizada
BAXY =
( )Ylog
( )Xlog
( ) ( ) ( )XBAY logloglog +=
3.3 – Determinação da Probabilidade de um Evento 
Hidrológico ser Excedido
3.3 – Determinação da Probabilidade de um Evento 
Hidrológico ser Excedido
Problema: 
Qual é a probabilidade P de uma variável hidrológica X
ser igualada ou excedida em um ano qualquer ?
Exemplo:
Vazão em uma seção: P [ Q ≥ 40 m³/s ] = ?
Altura de chuva: P [ h ≥ 120 mm] = ?
Nível d’água: P [ y ≥ 4,0 m ] = ?
Período de Retorno ( ou Tempo de Recorrência): Período de Retorno ( ou Tempo de Recorrência): 
Intervalo de tempo, em anos, em que uma variável 
hidrológica é igualada ou excedida, em mem méédiadia.
T ( em anos) = 1/P
É calculado como o inverso da probabilidade de 
excedência da variável aleatória hidrológica
• Se uma vazão Q tem um período de retorno de 50 
anos isto significa que, em média(!), esta vazão é
igualada ou excedida a cada 50 anos.
• Em outros termos: A vazão Q tem uma probabilidade 
P = 1/T = 1/50 = 0.02 (ou 2%) de ser igualada ou 
excedida, em um ano qualquer.
• OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
– Período de Retorno é um conceito probabilístico (não significa 
periodicidade!)
– O período de retorno, T, é o inverso da probabilidade de 
excedência de um certo valor da variável aleatória.
• Risco é a probabilidade de uma obra falhar pelo 
menos uma vez durante sua vida útil, n, para um certo 
período de retorno.
Risco associado a um Período de Retorno: Risco associado a um Período de Retorno: 
• Exemplo:
– Qual o risco da canalização de um rio falhar pelo menos uma 
vez durante sua vida útil, estimada em 30 anos? Suponha que a 
obra tenha sido projetada para T = 100 anos.
– Resposta: r = 1 - (1 - 1/100)30 = 0,2603 = 26,03%
n
T
r 





−−=
111
0 
20 
40 
60 
80 
100 
R
i
s
c
o
(
%
)
0 10 20 30 40 50 
Vida Útil (anos)
T = 5 anos
T = 10 anos
T = 50 anos
T = 100 anos
T = 500 anos
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
Função de Distribuição Acumulada
( ) ( ) ( )bxPdxxfbF
b
xx ≤== ∫
∞−
A função de distribuição acumulada representa a 
probabilidade de não-excedência do valor b
Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.
Probabilidade de Excedência
[ ] [ ] ( ) ( )dxxfbFbXPbXP
b
xx ∫
∞−
−=−=≤−=> 111
Período de RetornoPeríodo de Retorno
[ ] [ ] ( ) ( )dxxfbFbXPbXP
T b
x
x
∫
∞−
−
=
−
=
≤−
=
>
=
1
1
1
1
1
11
Exemplo:Exemplo:
[ ] [ ] ( ) ( )dhhfFhPhP
T
h
h
∫
∞−
−
=
−
=
≤−
=
>
= 100
1
1
1001
1
1001
1
100
1
Qual o período de retorno de uma chuva de 100mm na 
cidade de Joinville?
Fator de Frequência:Fator de Frequência:
Chow (1964): 
TX Kxondexx ⋅=∆∆+= σµ
TXT Kx ⋅+=⇒ σµ
Usando as estimativas amostrais:
TXT KXx ⋅+= σ
KT é o fator de frequência associado ao modelo 
probabilístico e ao período de retorno T. 
Funções de Distribuição Acumuladas mais utilizadas em 
Hidrologia 
( ) ( ) ( )bxPdxxfbF
b
xx ≤== ∫
∞−
A função de distribuição acumulada representa a 
probabilidade de não-excedência do valor b
A função de distribuição acumulada representa a 
probabilidade de não-excedência do valor b
Distribuições:
Normal: vazões médias e totais de chuvas anuais
Log-Normal: vazões médias e totais de chuvas anuais e mensais
vazões máximas anuais e vazões máximas mensais
Gumbel: vazões máximas anuais e mensais
chuvas diárias máximas anuais e mensais
Log-Pearson III: vazões máximas e chuvas diárias máximas anuais
Distribuições:
Normal: vazões médias e totais de chuvas anuais
Log-Normal: vazões médias e totais de chuvas anuais e mensais
vazões máximas anuais e vazões máximas mensais
Gumbel: vazões máximas anuais e mensais
chuvas diárias máximas anuais e mensais
Log-Pearson III: vazões máximas e chuvas diárias máximas anuais
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou de GAUSS)
É uma distribuição simétrica de 2 parâmetros: µ e σÉ uma distribuição simétrica de 2 parâmetros: µ e σ
( )
( )
∞<<∞−⋅=
−−
xexf
x
X
2
2
2
2
1 σ
µ
piσ
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou de GAUSS)
( )
( )
dxedxxfxF
x xx
X ∫∫
∞−
−
−
∞−
⋅==
2
2
2
2
1)( σ
µ
piσ
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou de GAUSS)
( ) ∫
∞−
−
=Φ⇒⋅=
z
Z
z
z dzzfzezf )()(2
1 2
2
pi
σ
µ−
=
x
z
( )
( )
∞<<∞−⋅=
−
−
xexf
x
X
2
2
2
2
1 σ
µ
piσ
Distribuição Normal Padrão N(0,1) – tabelada :Distribuição Normal Padrão N(0,1) – tabelada :
Variável central reduzida:Variável central reduzida:
Fonte: Pinto e outros, 1976.
Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.
XTT KXx σ+=
Nesse caso:
X
T
Xx
zK
σ
−
==
DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL
( ) ∫
∞−
−
=Φ⇒⋅=
z
Z
z
z dzzfzezf )()(2
1 2
2
pi
• É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: µy e σy
• É a distribuição normal dos logaritmos de X:
• É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: µy e σy
• É a distribuição normal dos logaritmos de X:
Y
Yyz
σ
µ−
=
ii xy ln=
Distribuição Normal Padrão N(0,1) – tabelada :Distribuição Normal Padrão N(0,1) – tabelada :
Variável central reduzida:Variável central reduzida:
YTT KYy σ+=
Nesse caso:
Y
T
Yy
zK
σ
−
==
Ty
T ex =
DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL
É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: α e βÉ uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: α e β
β
α−
=
xy
σσ
pi
β
σµβµα
⋅=⋅=
⋅−=⋅−=
7797,06
45,05772,0
Variável reduzida:Variável reduzida:
b
ax
e
X exXPXF
−
−
−
=≤= )()(
ye
Y eyF
−
−
=)(
DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL
σ
σµ
β
α
7797,0
45,0+−
=
−
=
xxy
Variável reduzida:Variável reduzida:
ye
Y eyF
−
−
=)(
T
eyFxXP
ye
Y
11)(1)( =−=−=≥ −−












−−−=
T
y 11lnln
yee
T
−
−
−
=
1
1
X
XXT
T
XKXy
σ
σσ
7797,0
45,0+−+
=
XTT KXx σ+=
X
XT
T
Xxy
σ
σ
7797,0
45,0+−
=
45,07797,0 += TT yK
Exemplo de aplicação: 
Determinação de Q para um certo período de retorno T
Exemplo de aplicação: 
Determinação de Q para um certo período de retorno T
1. Com o valor de TT desejado calcula-se yyTT
2. O valor de KKTT depende somente de yy
3. O valor de QQTT é então calculado por:












−−−=
T
y T
11lnln
45,07797,0 −= TT yK
QTT KQQ σ⋅+=
DISTRIBUIÇÃO LOG-GUMBEL (ou FRÉCHET)
É a distribuição de Gumbel dos logaritmos de X:É a distribuição de Gumbel dos logaritmos de X:
ii xz ln=
45,07797,0 −= yKT












−−−=
T
y 11lnln
ZTT KZz σ⋅+=
Tz
T ex =
DISTRIBUIÇÃO LOG-PEARSON III
• É uma distribuição assimétrica de 3 parâmetros: a média µ, o 
desvio-padrão σ , e o coeficiente de assimetria g, aplicados aos 
logaritmos de X :
• É uma distribuição assimétrica de 3 parâmetros: a média µ, o 
desvio-padrão σ , e o coeficiente de assimetria g, aplicados aos 
logaritmos de X :
ii xy ln= ( )
( ) ( ) 23
1
2
1
3
2 





−−
−⋅
=
∑
∑
=
=
N
i
i
N
i
i
YyN
YyN
g
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
DISTRIBUIÇÃO LOG-PEARSON III
YTT KYy σ+= T
y
T ex =
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
Exemplo numérico:
Calcular a vazão de 10 anos de período 
de retorno do Rio do Peixe
Exemplo numérico:
Calcular a vazão de 10 anos de período 
de retorno do Rio do Peixe
QmaxAno
81.61947
73.11948
60.21949
49.71950
68.31951
114.51952
89.91953
40.41954
44.61955
68.71956
59.61957
67.71958
70.31959
47.01960
69.41961
48.81962
33.91963
71.51964
93.51965
79.51966
107.91967
73.31968
40.71969
92.21970
68.31971
54.81972
61.91973
38.41974
59.21975
52.41976
Vazão média: Qm= 63,04 m
3/s
Desvio padrão: σQ= 19,70 m
3/s
TT KQ 70,1904,63 +=
1 – Usando a Distribuição Normal
QTT KQQ σ+=
Q
T
QQ
zK
σ
−
==
TT KQ 70,1904,63 +=
10,0
10
1110 ===⇒=
T
PanosT
90,010,011 =−=− P
( ) 28,190,01 10 ==⇒=−⇒ KzPpara
( ) 28,190,01 10 ==⇒=−⇒ KzPpara
TT KQ 70,1904,63 +=
smQ
Q
Kpara
3
10
10
10
256,88
28,1.70,1904,63
28,1
=⇒
+=⇒
==⇒
Q10= 63,04 + 1,304 x 19,70
Q10= 88,74 m3/sQ10= 88,74 m3/s
250,2
10
11lnln =











−−−=y
304,145,0250,2.7797,0 =−=TK
2 – Usando a Distribuição de Gumbel
y10= 2,250 Q10 = 89 m3/s
y100= 4,601 Q100 = 125 m3/s
y1000= 6,907 Q1000= 160 m3/s
Calculando y para outros valores de T
Para T= 10 anos:
Para T= 100 anos:
Para T= 1000 anos:
Papel de ProbabilidadePapel de Probabilidade
-1 1 3 5 7 9 
variável reduzida (y)
Papel de Probabilidades de Gumbel
1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000
T(anos)
Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 
variável reduzida (z)
Papel de Probabilidades Normal
2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 100001.1
T(anos)
Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 
variável reduzida (z)
Papel de Probabilidades Log-Normal
2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 100001.1
T(anos)
Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
-1 1 3 5 7 9 
variável reduzida (y)
Papel de Probabilidades de Gumbel
1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000
T(anos)
Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
DISTRIBUIÇÃO DE GUMBELDISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL
-1 1 3 5 7 9 
variável reduzida (y)
Papel de Probabilidades de Gumbel
1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000
T(anos)
Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto
para T= 10 anos: y10= 2,250 Q10= 89 m3/s
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
para T= 100 anos: y100= 4,601 Q100= 125 m3/spara T= 1000 anos: y1000= 6,907 Q1000= 161 m3/s
Reta teórica
• Ordenar as vazões em ordem decrescente e 
atribuir a cada uma delas uma probabilidade 
empírica dada pela expressão:
P(q > Q) = m/(N+1)
como na Tabela:
Processo Gráfico 
Número de Vazão Probabilidade Período de
Ordem Retorno 
m Q P(q >= Q) T = 1/P
1 Q 1 1/(N+1) (N+1)
2 Q 2 2/(N+1) (N+1)/2
3 Q 3 3/(N+1) (N+1)/3
... ... ... ...
... ... ... ...
N Q N N/(N+1) (N+1)/N
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
QmaxAno
81.61947
73.11948
60.21949
49.71950
68.31951
114.51952
89.91953
40.41954
44.61955
68.71956
59.61957
67.71958
70.31959
47.01960
69.41961
48.81962
33.91963
71.51964
93.51965
79.51966
107.91967
73.31968
40.71969
92.21970
68.31971
54.81972
61.91973
38.41974
59.21975
52.41976
Aplicação do procedimento gráficoAplicação do procedimento gráfico
TPacumQmaxAnoN. de Ordem
N+1m/N+1m
31.000.03114.519521
15.500.06107.919672
10.330.1093.519653
7.750.1392.219704
6.200.1689.919535
5.170.1981.619476
4.430.2379.519667
3.880.2673.319688
3.440.2973.119489
3.100.3271.5196410
2.820.3570.3195911
2.580.3969.4196112
2.380.4268.7195613
2.210.4568.3195114
2.070.4868.3197115
1.940.5267.7195816
1.820.5561.9197317
1.720.5860.2194918
1.630.6159.6195719
1.550.6559.2197520
1.480.6854.8197221
1.410.7152.4197622
1.350.7449.7195023
1.290.7748.8196224
1.240.8147.0196025
1.190.8444.6195526
1.150.8740.7196927
1.110.9040.4195428
1.070.9438.4197429
1.030.9733.9196330
Fonte: Zahed e Mello, 2010.
-1 1 3 5 7 9 
variável reduzida (y)
Papel de Probabilidadesde Gumbel
1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000
T(anos)
Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
TPacumQmax
N+1m/N+1
31.000.03114.5
15.500.06107.9
10.330.1093.5
7.750.1392.2
6.200.1689.9
5.170.1981.6
4.430.2379.5
3.880.2673.3
3.440.2973.1
3.100.3271.5
2.820.3570.3
2.580.3969.4
2.380.4268.7
2.210.4568.3
2.070.4868.3
1.940.5267.7
1.820.5561.9
1.720.5860.2
1.630.6159.6
1.550.6559.2
1.480.6854.8
1.410.7152.4
1.350.7449.7
1.290.7748.8
1.240.8147.0
1.190.8444.6
1.150.8740.7
1.110.9040.4
1.070.9438.4
1.030.9733.9
Q100= 136 m3/s
Reta empírica
Aplicação do procedimento gráficoAplicação do procedimento gráfico
-1 1 3 5 7 9 
Papel de Probabilidades de Gumbel
1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000
T(anos)
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Reta empírica
Reta teórica
Aplicação do procedimento gráficoAplicação do procedimento gráfico
Fontes :
• Naghettini, M. Engenharia de Recursos Hídricos – Notas de Aula, Departamento de 
Engenharia Hidráulica e Recursos Hídricos, EE-UFMG, Belo Horizonte, 1999.
• Zahed Fº, K & Mello Jr. A. V. Material de Aulas - Disciplina PHD2307 -Hidrologia 
Aplicada, Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental, Poli-USP, São Paulo, 
2010.
• Naghettini, M. e Pinto, E. J. A. Hidrologia Estatística, CPRM, Belo Horizonte, 2007.
(in: http://www.cprm.gov.br).
. Pinto, N.L.S. e outros. Hidrologia Básica, Edit. Edgard Blucher, São Paulo, 1976.