Aula_2_Difuso_e_introd_TM_2017

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1
Aula 2
Princípios de 
Transferência de Massa
Notas de Aula:
Profa. Dra. Camila Gambini Pereira
Mecanismos de Transferência de Massa
´ Difusão X Convecção
´ Difusão Molecular:
´análoga à condução na T.C.
´Movimento de moléculas individuais através de uma 
substância em função de sua energia térmica.
´Processo mais lento que a T.M. por convecção.
´ Convecção na T.M.
´análoga à convecção na T.C,
´Acompanha o fluido com turbulência (agitação).
´Mesmo em fluidos sobre forte agitação, em escala 
muito pequena (pequenos volumes de fluido) a T.M. 
ocorre por difusão.
2
1 Introdução à Transferência de Massa e Difusão
1A Similaridade entre os processos de Transferência de Momento, 
Calor e Massa
3
1. Introdução
Transferência de Momento ou
Quantidade de Movimento
Transferência Calor
Transferência de Massa
2
4 2. Equação Geral de transporte 
aresistênci
motrizforçaprocessooparaciatransferêndeTaxa =
dz
d
z
G
d-=y
(2.3-1)
(2.3-2)
5 3. Equação para T. de momento, calor e massa
dz
)(d x
zx
ru
r
m
=t
dz
)TC(d
A
q pz ra-=
Transferência de Momento
Transferência de Calor
Transferência de Massa
dz
dcDJ AABAz -=
(1-1)
(1-2)
(1-3)
6 4. Equação para a difusão turbulenta na 
Transferência de Massa, Calor e Momento
Transferência de Momento
Transferência de Calor
Transferência de Massa
(1-4)
(1-5)
(1-6)
( )
dz
d x
tzx
ru
÷÷ø
ö
ççè
æ
e+
r
m
-=t
( ) ( )
dz
TCd
A
q p
t
z ra+a-=
( )
dz
dCDJ AMABAz e+-=
3
LEI DA DIFUSÃO MOLECULAR DE FICK
7
Figura 1-1. Diagrama esquemático do processo de difusão molecular
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
A
A
8 Para um sistema formado pelas substâncias A e B
dz
dxcDJ AABAZ -= (1-7)
c [=] concentração molar total de A e B em kgmol (A+B)/m3
xA [=] fração molar de A
Para misturas de densidade molar constante, como
cA=cxA , temos que:
( ) AAA dccxdcdx == (1-8)
Substituindo-se (1-8) em (1-7) obtêm-se (1-3)
dz
dcDJ AABAz -= (1-3)
Difusão Molecular
9
Lei de Fick da Difusão
z
xDc
z
CDJ AABAABA ¶
¶××-=
¶
¶×-=
JA = Fluxo molar em relação à velocidade média molar das moléculas A+B
C A = Concentração molar de moléculas de A em uma mistura de A+B
D AB= Difusividade ou coeficiente de difusão
ú
û
ù
ê
ë
é
=
úû
ù
êë
é ==
ú
û
ù
ê
ë
é
==
s
m
 
m
A de kmoles
Volume
A de kmoles
 
.sm
kmoles
 tempo. Área
kmoles
2
3
2
AB
A
A
D
;C
;J
4
Exp. 1.1 Difusão molecular de Hélio em Nitrogênio
Uma mistura de He e N2 encontra-se se no interior de um tubo
cuja temperatura é constante e igual a 298 K. A pressão total
no tubo é constante e igual a 1 atm. Numa das extremidades do
tubo, o ponto 1, a pressão parcial de hélio, pA1, é igual a 0,60
atm. No outro extremo, o ponto 2, distante 0,20 m do ponto 1, a
pressão parcial do gás hélio é igual a 0,20 atm. Calcule o fluxo
de hélio, se o processo ocorre em regime permanente, sabendo-
se que DAB = 0,687.10-4 m2/s.
10
Solução:
11
He + N2
1 2
Z1=0 Z2=0,20 m
pA1 = 0,60 atm pA2 = 0,20 atm
1. Cálculo da concentração molar c :
Para baixas pressões: nRTPV =
P
RT
n
V
=
Como: V
nc =
Logo: 
RT
Pc =
12
( )k 298
kgmol.k
atm .m 10x05782
atm 1
3
3
÷÷ø
ö
ççè
æ
=
-,
c
3 040895,0 m
kgmol
=
Como P e T permanecem 
constantes c = constante
2. Cálculo de xA1 e xA2
60011 ,== P
px AA
20022 ,== P
px AA
5
13
Integrando temos:
pois o regime é permanente
3. Cálculo de JAz
dz
dxcDJ AABAZ -= (1-7)
òò -=
2A
1A
2
1
x
x
AAB
z
z
Az dxcDdzJ
22
11
AA
AA
ccx
ccx
=
=
constante =AzJ
constante =c pois T e P são constantes
14
( )
( )12
2A1A
ABAZ zz
xxcDJ
-
-
= (1-11)
÷
ø
öç
è
æ
-
-
÷÷ø
ö
ççè
æ
´÷
ø
öç
è
æ= -
0200
200600
s
m 106870
m
kgmol 0,040895 
2
4
3 ,
,,,J Az
( ) ( ) ( )211212 AAABAAABAz xxcDxxcDzzJ -=--=-
2s.m
kgmol 6Az 10619,5J
-´=
1D Coeficiente Convectivo de T. M.15
Taxa de transferência de massa convectiva da
superfície para o fluido ou vice-versa:
( )LiLcA cckN -= 1 (1-14)
kc = coef.de T.M. em m/s
cL1 = conc. média no fluido em kgmol A/m3
cLi = conc. no fluido adjacente à superfície do sólido
Onde:
6
2 Difusão Molecular em Gases
2A Contra-difusão equimolar em gases.
16
Figura 2-1. Contra-difusão equimolar de gases A e B
1 2
pA1 pA2
pB1 pB2
¥¥ J*A
J*B
pA1> pA2
pB2> pB1
17
PTOTAL é constante
O número de moles de A
que se difunde para o
balão 2 deve ser igual ao
número de moles de B que
se difunde para o balão 1.
Então
BzAz JJ -= (2-1)
dz
dcDJ AABAz -= (1-3)
dz
dcDJ BBABZ -= (2-2)
18
Diferenciando-se os dois membros da Eq. (2-3) obtêm-se:
PTOTAL= pA +pB = constante , e c = constante, então:
c = cA + cB (2-3)
dc = dcA + dcB = 0, pois c = constante, logo
dcA = - dcB (2-4)
Sendo: então, igualando-se as Eqs. (1-3) e (2-2)
temos
( )
dz
dcD
dz
dcD BBAAAB --=- (2-5)
Substituindo-se a Eq. (2-4) em (2-5) obtêm-se
BAAB DD = (2-6)
BzAz JJ -=
7
2B Caso Geral: Difusão e Convecção dos Gases 
A e B.
 
m
A de kmoles
 
s
m
sm
A de kmoles
3
2
;c
;v
;J
A
Ad
A
úû
ù
êë
é=
úû
ù
êë
é=
úû
ù
êë
é
×
=
19
AzJ
AAd c.J Az n=
Velocidade de difusão de A
(2-7)
É a taxa na qual os moles de A se difunde.
Este fluxo pode ser convertido em
velocidade de difusão.
20 Fluido em deslocamento à velocidade vm
* Para um observador estacionário:
(2-8)
vA
vm
Multiplicando-se a Eq. (2-8) por cA obtém-se o fluxo
cAvA = cAvad +cAvm (2-9)
vA = vAd + vm
vAd
mAAA vcJN += (2-10)
Ou seja:
21
Sendo N o fluxo convectivo total (A+B) relativo a
uma coordenada fixa como:
(2-11)
C
NNv BAm
+
= (2-12)
Substituindo (2-12) em (2-10) temos:
÷
ø
öç
è
æ ++=
C
NNcJN BAAAA
(2-13)
BAmBmAm NNvcvccvN +=+==
( ) mBAm vcccvN +==
8
22 Como JA é a Lei de Fick, a Eq. (1-7),
( )BAAAABA NNc
c
dz
dcDN ++-= (2-14)
( )BABBBAB NNc
c
dz
dcDN ++-= (2-15)
A Eq. (2-14) é a equação geral para difusão + convecção,
relativa a um ponto estacionário.
Um equação similar pode ser escrita para NB:
A questão dos referênciais
N A = Fluxo molar de A em relação a um referêncial 
estático (o referencial estático é a fronteira de 
transferência de massa).
23
AAA vcN ×=
 
m
A de kmoles
 
s
m
sm
A de kmoles
3
2
;c
;v
;N
A
A
A
úû
ù
êë
é=
úû
ù
êë
é=
úû
ù
êë
é
×
=
vA = velocidade das moléculas do tipo A
c A = Concentração molar de A
24
AzJ
Fluxo molar de A em relação à velocidade
média molar dos componentes da mistura
(referência não fixa)
AN Fluxo molar de A em relação a umreferencial estático (o referencial estático
é a fronteira de transferência de massa).
A questão dos referênciais
9
1) Contra-difusão EQUIMOLAR:
´Destilação de etanol
25
A= Etanol
B= H2O
Netanol
NH2O
OHetanol
BA
NN
NN
2
-=
-=
Dois casos distintos de DIFUSÃO
2) Difusão de A (etanol) por um B (H2O) que não 
se difunde:
´Recuperação de etanol perdido por evaporação nas 
dornas de fermentação via absorção em água.
26
A= Etanol
B= H2O
Netanol
0
0
2 ==
¹=
OHB
oltaneA
NN
NN
Conclusão: A mesma substância se 
difunde nos dois casos, mas em 
situações bem diferentes.
Dois casos distintos de DIFUSÃO
1) Contra-difusão equimolar (Destilação):27
( )21 AAABA
BA
cc
z
DN
NN
-×=
-=
10
´ Contra-difusão equimolar em gases:28
[ ] [ ]2121 AAABAAABA yyPzTR
DPP
zTR
DN -××
××
=-×
××
=PP
z1 distância, z z2
p B
p B 1 p A2
p B2
p A
A
B
p A 1
´ Contra-difusão equimolar em líquidos (N A = - N B )29
( ) ( )
2
 :onde 21
m
21
m
21
÷
ø
öç
è
æ r+÷
ø
öç
è
æ r
=÷
ø
öç
è
æ r
-×÷
ø
öç
è
æ r×=-×=
MM
M
xx
Mz
Dcc
z
DN AAABAAABA
= densidade da mistura
M = peso molecular (médio) da mistura
r
´ Exercício 2:
Uma mistura etanol-água em fase vapor está sendo retificada
por contato com uma solução etanol-água em fase
líquida. O etanol está sendo transferido do líquido para o
gás e a água do gás para o líquido. Os fluxos molares dos
dois componentes são iguais mas em direção oposta. A
temperatura é 95ºC e a pressão é 1 atm. Ambos os
componentes estão difundindo através de um filme gasoso
de espessura igual a 0,1 mm. Fora do filme gasoso a
porcentagem molar do etanol é 80%, enquanto na
interface líquido-gas é 10%. Calcule a taxa de difusão do
etanol e da água em kg;h através de uma área de 1m².
Dados: DAB= 0,206 cm²/s
30
11
31
Figura 2-2. Difusão de A através de B estacionário: (a) benzeno 
evaporando em ar; (b) amônia sendo absorvida por água
ZF
Z
Z2 –
Z1
Zo
Água 
líquida
Z2 –
Z1NA
NA
2
1
1
2
p A1
p A2
Ar (B)
NH3 (A)
Ar (B)
(a) (b)
Benzeno 
líquido 
(A)
2) DIFUSÃO DE A ATRAVÉS DE B ESTACIONÁRIO 
(NB=0)
32
( )0++-= AAAABA Nc
c
dz
dcDN (2-16)
Para derivar o caso de A difundindo através de B
estacionário B , NB é substituído na Eq. (2-14),
Com P = constante, substituindo c = P/RT, p A = x AP
e c A/c = p A/P , na Eq. (6.2-16),
A
AAAB
A Np
p
dz
dp
RT
DN +-= (2-17)
Reordenando,
(2-18)dz
dp
RT
D
p
pN AABAA -=÷÷ø
ö
ççè
æ
-1
33 N dz D
R T
dp
p PA z
z
AB A
A tp
p
A
A
1
2
2
1
1ò ò= - -. . /
N D P
R T z z
P p
P pA
AB t t A
t A
=
-
-
-
.
. .( )
.ln
2 1
2
1
(2-19)
(2-20)
Integrando
22 AB PPP -=
Usando a média logarítmica: 
1
2
21
1
2
12
lnln
B
B
AA
B
B
BB
BM
P
P
PP
P
P
PPP -=-= (2-21)
( )
( )
BM
AAAB
A P
PP
zzRT
PDN 21
12
-
-
= (2-22)
Como,
Substituindo na Eq. (2-20):
1
2
12
ln.
).(.
.
B
BtAB
A p
p
zzTR
PDN
-
=
12
´ Difusão de A em B (que não se difunde) em gases:34
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-×
××
×
=ú
û
ù
ê
ë
é
-
-×
××
×
=
1A
2AAB
1A
2AAB
A y1
y1ln
TRz
PD
pP
pPln
TRz
PDN
[ ]
÷ø
öçè
æ
-
=
-×
×××
×
=
1
2
12
,
21
,
ln
 :onde
B
B
BB
mB
AA
mB
AB
A
p
p
ppp
pp
pTRz
PDN
PP
z1 distância, z z2
p B
p B 1
p A2
p B2
p A
A
p A 1
35´ Difusão de A em B (que não se difunde) em líquidos
[ ]
( )
÷ø
öçè
æ
-
=
-×÷
ø
öç
è
æ r×=
1B
2B
1B2B
m,B
m,B
2A1AAB
A
x
xln
xxx
x
xx
Mz
DN
 :onde
m
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-×÷
ø
öç
è
æ r×=
1A
2AAB
A x1
x1ln
Mz
DN
m
0N0N BA =¹ e 
ou
Exercício 3
36
Um tubo metálico mantido à temperatura constante de
293K contem água. A pressão total do ar seco é igual a
1,01325.105Pa (1,0 atm) e a temperatura igual a 293 K
(20oC). A água se evapora e se difunde a partir da
superfície do líquido. A distância da superfície do líquido
até a extremidade do tubo metálico é igual a 0,1524m.
Calcule a taxa de evaporação da água para operação em
regime permanente. O coeficiente de difusão da água no
ar a 293 K é igual a 0,250.10-4m2/s. Assuma que o sistema
pode ser tratado como isotérmico.
13
Exemplo Resolvido
Difusão em tubo com comprimento variável
Um recipiente cilíndrico (proveta) contendo uma
pequena quantidade de água (A) é colocado em
repouso em um ambiente onde a temperatura é
praticamente constante (26°°°°C) e a umidade relativa do
ar (B) é de 50%. Deseja-se fazer uma estimativa
aproximada do tempo para evaporação de toda água.
PTOTAL = 1 atm.; Dvapor-ar = 0,26 cm2/s ( 26oC, 1 atm.).
37
Solução:
Assumiremos a condição de pseudo regime permanente,
pois o nível de água varia lentamente. Conforme o tempo
passa, o trajeto difusional aumenta. Para um tempo t , a
Eq. (2-22) descreve o comportamento do sistema, logo:
38
)pp(
p.z.T.R
D.PN 2A1A
M,B
ABt
A -= (2-23)
Considerando que a área da seção transversal é igual a S,
temos que para um intervalo de tempo dt o nível decresce
em dZ e a massa evaporada é igual a CA (S.dz), então:
td
)dz.S(CS.N AA = (2-24)
39 Igualando-se as Eqs. (2-23) e (2-24), reagrupando e
integrando obtêm-se:
òò
-
=
FF
0
d
p.T.R
)pp(D.Pdz.zC
M,B
2A1AABt
z
z
A
t
0
t
Resolvendo para t F, temos:
(2-25)
(2-26))(.2
..)(
t
21
,
2
0
2
AAtAB
MBA
F ppPD
pTRzzC
F
-
-
=