TransformadaZ

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Transformada Z
É empregada para o caso de sistemas discretos.
A transformada Z corresponde à transformada de Laplace para o caso de sistemas contínuos.
Definição da transformada Z
Dada uma função f(t), amostrada com período T , ou uma sequência infinita de números
f(0), f(T ), f(2T ), f(3T ), . . . , f(kT ), . . . , a transformada Z é a série de potências
F (z) = Z [f (t)] = Z [f (kT )] ,
∞∑
k=0
f (kT )z−k
= f(0)z0 + f(T )z−1 + f(2T )z−2 + f(3T )z−3 + f(4T )z−4 . . . ,
sendo z uma variável complexa e k pertencente ao conjunto dos números naturais.
Transformada Z do impulso unitário
A sequência impulso unitário ou δ(kT ) de Kronecker vale 1 apenas no instante zero.
É definida como
δ(kT ) =
{
1 k = 0 ,
0 k 6= 0 .
F (z) =
∞∑
k=0
δ(kT )z−k
= δ(0)z0 + δ(T )z−1 + δ(2T )z−2 + δ(3T )z−3 + . . . = 1 .
= 1z0 + 0z−1 + 0z−2 + 0z−3 + . . .
= 1 .
1
-3 -2 - 0 2 3T T T T T T
.
.... . .
δ(kT )
kT
Transformada Z do degrau unitário
A sequência degrau unitário é definida como
f kT( )
kT
1 .. .
..
. .
. . .
.
-2 - 0 2 3 4 5T T T T T T T
f kT( )
f(kT ) =
{
1 k ≥ 0 ,
0 k < 0 .
F (z) =
∞∑
k=0
f(kT )z−k
= f(0)z0 + f(T )z−1 + f(2T )z−2 + f(3T )z−3 + . . .
= 1z0 + 1z−1 + 1z−2 + 1z−3 + . . .
= 1 + z−1 + z−2 + z−3 + . . .
A sequência acima representa uma progressão geométrica com razão q = z−1 e primeiro termo a1 = 1.
A soma de uma série convergente é dada por
F (z) =
a1
1− q =
1
1− z−1 =
1
1− 1z
=
1
z−1
z
=
z
z − 1 .
Propriedade do atraso
Dadas as sequências f(k) e g(k), sendo g(k) obtida por translação de f(k) para depois, ou seja:
g(k) =
{
f(k − n) k ≥ n ,
0 k < n .
=⇒ G(z) = z−nF (z) .
Exemplo
Considere o sinal do tipo degrau unitário a seguir.
f k( )
k
1 .. .
..
. .
. . .
.
-2 -1 0 1 2 3 4 5
f(k) =
{
1 k ≥ 0 ,
0 k < 0 .
=⇒ F (z) = z
z − 1 .
O degrau unitário, atrasado de n = 2 unidades de tempo, está representado a seguir.
g k( )
k
1
..
.
..
. .
. . .
.
-2 -1 0 1 2 3 4 5
g(k) = f(k − 2) =
{
1 k ≥ 2 ,
0 k < 2 .
G(z) = z−2F (z) = z−2
z
z − 1 =
1
z2 − z .
Propriedade do avanço
Dadas as sequências f(k) e g(k), sendo g(k) obtida por translação de f(k) para antes, ou seja:
g(k) =
{
f(k + n) k ≥ 0 ,
0 k < 0 .
=⇒ G(z) = zn
(
F (z)−
n−1∑
k=0
f(k)z−k
)
.
No caso de condições iniciais nulas G(z) = znF (z).
Exemplo
Considere o sinal do tipo rampa unitária a seguir, com período de amostragem T = 1.
.
.
...
.
.
2
1
3
4
-2 -1 0 1 2 3 4
f k( )
k
A rampa unitária, adiantada de n = 2 unidades de tempo, está representada a seguir
.
.
.
.
.
.
2
1
3
4
5
-2 -1 0 1 2 3
g k( )
k
f(k) =
{
k k ≥ 0 ,
0 k < 0 .
=⇒ F (z) = z
(z − 1)2 .
g(k) = f(k + 2) = k + 2.
G(z) = z2
(
F (z)−
1∑
k=0
f(k)z−k
)
= z2
(
z
(z − 1)2 − 0z
0 − 1z−1
)
=
z3
(z − 1)2 − z.
Se for considerada a condição inicial g(−1) = 0, então
G(z) = z2F (z) = z2
z
(z − 1)2 =
z3
(z − 1)2 .
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