Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Sistemas Lineares - Resolução de Sistemas I

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MA170408
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS FAZENDO USO DOS MÉTODOS E 
ANÁLISES GRÁFICAS, 
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
 
PROFº: BOSCO SILVEIRA 
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CONTEÚDO 
A Certeza de Vencer 
07
4 
Método de Gauss-Jordan 
 
Esse método, usado para resolver sistemas 
lineares consiste na aplicação de operações elementares 
às linhas da matriz aumentada do 
sistema até que obtenhamos uma 
matriz numa forma em que o 
sistema associado a esta matriz seja 
de fácil resolução. 
Vamos procurar obter uma 
matriz numa forma em que todas as 
linhas não nulas possuam como 
primeiro elemento não nulo 
(chamado pivô) o número 1. Além 
disso, se uma coluna contém um pivô, então todos os 
seus outros elementos terão que ser iguais a zero. 
 
Vamos ver no exemplo seguinte como 
conseguimos isso. Neste exemplo veremos como a partir 
dos preços de cada produto, do preço de cada lata e da 
quantidade de produtos por lata podemos calcular as 
quantidades de materiais necessários. 
 
Exercícios. 
01. Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoin, 
castanha de caju e castanha-do-pará. 
Sabe-se que o quilo de amendoin custa 
R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 
20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$ 
16,00. Cada lata deve conter meio quilo 
da mistura e o custo total dos 
ingredientes de cada lata deve ser de R$ 
5,75. Além disso a quantidade de 
castanha de caju em cada lata deve ser 
igual a um terço da soma das outras 
duas. Qual a quantidade, em gramas, de cada 
ingrediente, por lata? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação de um sistema linear. 
Os sistemas lineares são classificados quanto ao 
número de soluções da seguinte forma: 
 
Através da regra de Cramer, temos: 
 
Indicando por D o determinante da matriz 
reduzida ou dos coeficientes de um sistema linear com 
número de equações igual ao número de incógnitas, tem-
se que: 
0 SPD
0 SPI ou SI
D
D
≠ ⇔
= ⇔ 
ƒ Se 0 e 0x y zD D D D SPI= = = = ⇔ 
ƒ Se 0 e 0 ou 0 ou 0x y zD D D D SI= ≠ ≠ ≠ ⇔ 
02. Determinar k, de modo que o sistema abaixo tenha 
solução única. 
⎧⎪⎨⎪⎩
kx + 2y - z = 0
x - 3y + z = 0
x + 2z = 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Discutir em função de a o sistema 
⎧⎪⎨⎪⎩
x + y = 3
-x + 3y =1
x + ay = 8
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
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 FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!
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09
 
 
 
Sistema Linear Homogêneo (SLH). 
 Chamamos de SLH à todo sistema que apresenta 
todos os termos independentes iguais a zero. 
 
Exemplo: 
⎧⎪⎨⎪⎩
x + 2y - z = 0
x + y - z = 0
2x - 2y - z = 0
 O sistema ao lado é um SLH. 
 
Todo sistema linear homogêneo é possível, ou 
seja, admite solução, mas o mesmo pode admitir uma 
única solução, que é a solução trivial, (0, 0, 0), ou infinitas 
soluções, ou seja, outras soluções além da trivial. 
 
No SLH, temos que: 
 
Se D = 0 ⇒SPI 
Se D≠ 0 ⇒SPD 
Exercícios. 
 
04. Calcular o valor de m para que o sistema 
⎧⎪⎨⎪⎩
-x + y - z = 0
x - y +mz = 0
x + y - z = 0
 tenha somente a solução trivial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. Numa loja , os artigos A e B, juntos custam R$ 70,00, 
dois artigos A mais um C custam R$ 105,00 e a diferença 
de preço entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. 
Qual é o preço do artigo C? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06. Durante uma semana o Shopping Ubirama reservou 
uma área para as crianças brincarem sobre rodas e 
colocou a disposição bicicletas (2 rodas), triciclos (3 
rodas) e carrinhos (4 rodas). Ao final da promoção, 
devido ao desgaste, tiveram que trocar todos os pneus. 
Entre bicicletas e triciclos foram trocados 90 pneus, entre 
bicicletas e carrinhos, 130 e entre triciclos e carrinhos, 
160. 
Quantas eram as bicicletas que estiveram à disposição 
das crianças? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07. Represente graficamente o sistema 
3
3 3 9
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩ e 
classifique-o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Resolução 
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