AC - Exercícios

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ANÁLISE COMBINATÓRIA. 
EXERCÍCIOS. 
AULA 01. 
1a Questão (Ref.: 201309140584) 
Se uma sala tem 10 portas, então o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da 
mesma por uma porta diferente é: 
 
 76 
 90 
 64 
 80 
 48 
 
 2a Questão (Ref.: 201309247516) 
 
De quantos modos sete crianças podem brincar de roda, de modo que Andre e Izabella, duas 
dessas crianças, fiquem sempre juntos? 
 
 2.5 
 2!5! 
 5.2! 
 5! 
 2.5! 
 
 3a Questão (Ref.: 201309140583) 
 
Se uma sala tem 10 portas, então o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da 
mesma é: 
 
 80 
 48 
 60 
 90 
 100 
 
 4a Questão (Ref.: 201309139061) 
 
Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles 
restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente, e que o vagão restaurante não pode 
ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a 
composição é: 
 
 320 
 600 
 120 
 500 
 720 
 
 5a Questão (Ref.: 201309139004) 
 
Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 2, 
3, 5 e 8? 
 
 100 
 120 
 140 
 180 
 160 
 
 6a Questão (Ref.: 201309143134) 
 
Em uma reunião social havia n pessoas. Cada uma saudou as outras com um aperto de mão. 
Sabendo-se que houve ao todo 66 apertos de mãos, podemos afirmar que n é um: 
 
 Múltiplo de 6 
 Divisor de 125 
 Divisor de 100 
 Número primo 
 Número ímpar 
 
AULA 02. 
1a Questão (Ref.: 201309139093) 
Se uma partida de futebol termina com o resultado de 5 gols para o time A e gols para o time 
B, existem diversas maneiras de o placar evoluir de 0 x 0 a 5 x 3. Quantas maneiras, no total, 
tem o placar de evoluir de 0 x 0 a 5 x 3? 
 
 56 
 16 
 24 
 36 
 48 
 
 2a Questão (Ref.: 201309144742) 
Quatro rapazes e uma moça formam uma fila. De quantas maneiras esta fila pode ser formada, 
de modo que a moça fique sempre em 1º lugar? 
 
 6 
 18 
 12 
 24 
 4 
 
 3a Questão (Ref.: 201309140397) 
 
Quantos anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogais juntas? 
 
 744 
 48 
 840 
 96 
 120 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201309138993) 
Num carro com 5 lugares e mais o lugar do motorista viajam 6 pessoas, das quais 3 sabem 
dirigir. De quantas maneiras se podem dispor essas 6 pessoas em viagem? 
 
 120 
 240 
 360 
 100 
 200 
 
 5a Questão (Ref.: 201309140412) 
 
Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, sem repeti-los, podemos escrever x números de 4 
algarismos, maiores que 2400. O valor de x é: 
 
 72 
 68 
 96 
 84 
 78 
 
 6a Questão (Ref.: 201309144743) 
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 formam-se números naturais de 6 algarismos distintos. 
Sabendo-se que neles não aparecem juntos dois algarismos pares nem dois algarismos 
ímpares, então o número total de naturais assim formados é: 
 
 60 
 72 
 48 
 90 
 36 
 
AULA 03. 
1a Questão (Ref.: 201309139068) O número de múltiplos de três, com quatro 
algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9 é: 
 
 36 
 48 
 72 
 24 
 96 
Solução. 
 
Temos 5 algarismos e vamos formar grupos de 4 para formar os números. 
 
Combinação de 5 em 4 = 5!/4!(5-4)! = 5*4!/4! = 5. 
 
Assim, são possíveis 5 grupos que são: 
 
3+4+6+8 = 21 (serve pois é múltiplo de 3). 
3+4+6+9 = 22 (não serve) 
3+4+8+9 = 24 (serve) 
3+6+8+9 = 26 (não serve) 
4+6+8+9= 27 (serve) 
 
Temos 3 grupos que servem, mas note que com cada grupo podemos formar vários números. 
Por exemplo, com os algarismos 3, 4, 6 e 8 podemos formar os números 3468, 3486, 3648, 
etc. Esta quantidade é Permutação de 4 (temos 4 algarismos para 4 posições). 
 
Permutação de 4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 
 
Assim o total de número de múltiplos de três, com quatro algarismos distintos é 
3 grupos * 24 permutações = 72 . 
 
 2a Questão (Ref.: 201309139039) 
 
Cinco colegas, sentados um ao lado do outro, preparam-se para uma fotografia. Entretanto 
dois desses colegas se recusam a ficar lado a lado, e outros dois insistem em aparecer um ao 
lado do outro. Nessas condições, o número de possibilidades distintas para os cinco colegas 
posarem para a foto é: 
 
 36 
 48 
 60 
 12 
 24 
Solução. 
Represente os colegas pelas letras A,B,C,D,E com AB ficando sempre juntos e CD recusando-se 
a isto. Desta forma podemos considerar AB como uma única letra, lembrando que existe a 
opção BA. 
1) Número de permutações da forma (AB)CDE = 48242!42.2 4 =×=×=P 
2) Número de permutações da forma (AB)(CD)E = 24622!3222.2 3 =××=××=P . Lembre que 
há (CD) e (DC) por isso outra multiplicação por 2. Mas esse número é o que NÃO deve constar. 
Logo, o total de possibilidades com AB juntos e CD separados é 48 – 24 = 24. 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201309143128) Quantos são os anagramas da palavra 
BRASIL começados por B e terminados por L? 
 
 24 
 720 
 120 
 1440 
 240 
Solução. 
 
A primeira letra é B e a ultima é L. Sobram entre eles 4 letras. Nesses espaços podem ter a 
permutação das 4 letras. P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24 anagramas 
 
 4a Questão (Ref.: 201309632077) 
 
Determine o número de permutações simples de 5 elementos distintos. 
 
 
 140 
 150 
 110 
 120 
 130 
 
 5a Questão (Ref.: 201309140404) 
 
O número de permutações da palavra SELADO em que as vogais A e O não aparecem juntas é: 
 
 640 
 480 
 390 
 440 
 560 
Solução. 
Temos 6 letras. Permutação simples => P6 = 6! = 720 possibilidades. 
SELD(AO) => Permutação simples de 5 vezes a permutação simples de 2 (podemos ter OA). 
P5.P2 = 5!.2! = 120.2 = 240. Como não queremos formações com AO ou OA temos => 720 -
240 = 480. 
 6a Questão (Ref.: 201309143129) 
 
De quantas maneiras podemos sentar 4 moças e 4 rapazes numa fila de 8 assentos, de modo 
que nunca haja nem dois rapazes vizinhos nem duas moças sentadas uma ao lado da outra? 
 
 576 
 1152 
 5040 
 40320 
 2880 
Solução. 
Para os homens: Ph = 4! = 4x3x2x1 = 24 (obs: H_H_H_H_) 
Para as mulheres: Pm = 4! = 4x3x2x1 = 24 (obs: _M_M_M_M) 
 
Para todos: 24x24=576. Mas temos duas maneira de organizar: HMHMHMHM ou MHMHMHMH 
 
Assim multiplicamos : 576 X 2 = 1152. 
AULA 04. 
1a Questão (Ref.: 201309632279) 
 
 
(Questões de vestibular)Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, 
no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times 
participantes em turno e returno? 
 
 90 
 110 
 80 
 100 
 70 
 
 2a Questão (Ref.: 201309632265) 
 
 
(Questões de vestibular)Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para 
as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto 
individual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas 
maneiras distintas essa escolha pode ser feita. 
 
 220 
 210 
 190 
 180 
 200 
 
 3a Questão (Ref.: 201309632236) 
 
 
(Questões de vestibular)Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra 
PARAR? 
 
 25 
 29 
 30 
 28 
 26 
 
 4a Questão (Ref.: 201309632223) 
 
 
(Questões de vestibular)Para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente da Câmara 
Federal, candidataram-se dez deputados federais. De quantas maneiras distintas a escolha 
poderá ser feita?An,p=n!/(n-p)! 
 
 80 
 50 
 90 
 70 
 60 
 
 5a Questão (Ref.: 201309632229) 
 
 
(Questões de vestibular) Quantas PALAVRAS(com sentido ou não) de 5 letras distintas 
podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto? A n , p = n! / (n-p)! 
 
 1870580 
 1850380 
 1840780 
 18604801820680 
 
 6a Questão (Ref.: 201309632242) 
 
 
Num determinado país, as matrículas dos automóveis são formadas por 4 letras do alfabeto 
(de 26 letras). Quantas matrículas distintas são possíveis arranjar desta forma? 
 
 425879 
 456976 
 457896 
 466845 
 478596 
 
 
AULA 05. 
1. 
 
 
Resolva a equação: Cn,6 = C n-1,5 
 
 40 
 25 
 36 
 
26 
 
35 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um conjunto A possui 10 elementos. Qual o total dos subconjuntos de A que não 
possuem 5 elementos? 
 
 
775 
 772 
 
768 
 
777 
 
770 
 3. 
 
 
Qual é a soma dos coeficientes de (5a+5b)3? 
 
 1000 
 
10 
 
100 
 
10.000 
 
1 
 4. 
 
 
Qual o valor de 6M/a6 sabendo que: 
M = (a4-1)4 + 4(a4-1)3 + 6(a4-1)2 + 4(a4-1) + 1. 
 
 
6a10 
 
6a 
 
6a20 
 
6a5 
 
6a15 
 5. 
 
 
Numa escola há 15 professores, sendo que 3 deles lecionam Matemática. Deseja-se 
formar uma comissão de 5 professores para analisar os preços cobrados na cantina da 
escola. Nessa comissão, exatamente um membro deve lecionar Matemática. De quantas 
maneiras diferentes pode-se formar a comissão? 
 
 120 
 1485 
 
1370 
 
3325 
 
1874 
 
 6. 
 
 
De um grupo de 6 pessoas, de quantas maneiras distintas posso convidar uma ou mais 
para jantar? 
 
 36 
 42 
 50 
 
63 
 
74 
 
 
AULA 06. 
 
1a Questão (Ref.: 201309209022) 
 
 
O triângulo De Pascal é composto de números binomiais. 
Na figura abaixo temos um fragmento do Triângulo de Pascal. Sobre este Triângulo é SOMENTE 
correto afirmar que: 
(I) Em cada número binomial , (nk), n, o numerador, está relacionado ao número da linha e k, 
o denominador, ao número da coluna. 
(II) A quantidade de elementos por coluna é infinita, pois o número de linhas do Triângulo de 
Pascal também é infinito. 
(III) As linhas de um Triângulo de Pascal possuem uma quantidade finita de elementos, que é 
igual ao número da linha mais 1. 
 
 (I), (II) e (III) 
 (I) e (II) 
 (III) 
 (II) 
 (I) 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201309632583) 
 
 
Qual é a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (3x+2y)5? 
 
 3125 
 3025 
 625 
 3225 
 1225 
 
 3a Questão (Ref.: 201309247975) 
 
 
Calcule o valor de n sendo: 
 
 
 14 
 10 
 16 
 8 
 12 
 
 4a Questão (Ref.: 201309209019) 
 
O triângulo De Pascal é composto de números binomiais. 
Na figura abaixo temos um fragmento do Triângulo de Pascal. Sobre este Triângulo é SOMENTE 
correto afirmar que: 
(I) Em cada número binomial , (nk), n, o numerador, está relacionado ao número da linha e k, 
o denominador, ao número da coluna. 
(II) Linhas e colunas começam em 0. 
(III) As linhas de um Triângulo de Pascal possuem uma quantidade finita de elementos, que é 
igual ao número da linha mais 1. 
 
 
 (I), (II) e (III) 
 (I) e (II) 
 (II) 
 (III) 
 (I) 
 
 
AULA 07. 
 
1a Questão (Ref.: 201309639114) 
 
 
No produto (x+y)(x+y)(x+y)(x+y) podemos afirmar que a soma dos coeficientes é: 
 
 12 
 64 
 16 
 6 
 32 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201309247996) 
 
 
Determine o coeficiente de x² no desenvolvimento de (x3-1/x²)9 
 
 -124 
 -128 
 128 
 120 
 -126 
 
AULA 08. 
 
1a Questão (Ref.: 201309248010) 
 
 
O coeficiente de x³ no desenvolvimento de (x² + 2x + 1)10 é: 
 
 138 
 1140 
 3780 
 978 
 568 
Solução: 
(x² +2x +1) = (x+1)(x+1) =(x+1)² => [(x+1)²]10 =>(x+1)20 
� = 	�20� � 	
��	1�����.	 
Queremos x³, logo 	
�� = 
³	 ⇒ � = 3. 
� = 	�203 � 	
�
�	1��� = �203 � 	
�
�. Calculando �203 �	temos �
20
3 � = 	
��.��.��
� = 20.19.3 =
1140. 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201309269544) 
 
 
O coeficiente de x4 no polinômio P(x)=(x+2)6 é: 
 
 12 
 64 
 60 
 24 
 4 
� = 	�6�� 	
��	2����.	Queremos x4, logo 	
�� = 
	 ⇒ � = 4. � = 	�
6
4� 	
�
 	2�� 
Calculando �64�	temos �
6
4� = 	
�!
 !�! =
�."
� = 15. 
Mas temos 2² = 4 e assim ficamos com � = 15	
� 	2�� = 15.4. 
 = 60
 . 
O coeficiente do termo é 60. 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201309248035) 
 
 
No desenvolvimento de (x + m/x)10, para que o coeficiente do termo em x4 seja 15, m deve ser 
igual a: 
 
 3 
 1/3 
 1/2 
 2 
 4 
� =	 �10� � 	
��	$/
����� = �
10
� � 	
��	$. 
������� = 	�
10
� � 	
��	
���&��	$����� = �
10
� � 	
������	$����� 
Queremos x4, logo 	
������ = 
	 ⇒ 2� − 10 = 4 ⇒ 2� = 14	 ⇒ � = 7. 
Aplicando p=7 no termo temos:T = �10� � 	
������	$����� = 	 �
10
7 � 	
 �	$��. 
Calculando �107 �	temos �
10
7 � = 	
��!
�!�! =
��.�.�
� = 120. 
T =	�107 � 	
 �	$�� = 120
 $³	 Mas queremos 120m³ = 15. 
120m³ = 15 => m³= 15/120 => m³ = 1/8 => m = ½. 
AULA 09. 
1. 
 
 
O número de soluções inteiras e não negativas da equação x +y+z+w = 5 é: 
 
 36 
 52 
 
56 
 48 
 54 
 
Somas possíveis: 
 
0+0+0+5 =5 
0+0+1+4 =5 
0+0+2+3 =5 
0+1+1+3 =5 
0+1+2+2 =5 
1+1+1+2 =5 
 
Note que o caso 0+0+0+5, onde x = 0, y =0, z=0 e w = 5 é uma solução; x = 0, y =0, z=5 e 
w = 0 é outra solução e assim sucessivamente. 
 
Logo temos que achar o número de permutações possíveis de cada combinação acima. 
 
Assim temos: 
 
0005 
Nº de permutações possíveis (permutação com repetição) = P ³ 4 = 4! / 3! = 4 
 
0014 
Nº de permutações possíveis (permutação com repetição) = P ² 4 = 4! / 2! = 4*3 = 12 
 
0023 
Nº de permutações possíveis (permutação com repetição) = P ² 4 = 4! / 2! = 4*3 = 12 
 
0113 
Nº de permutações possíveis (permutação com repetição) = P ² 4 = 4! / 2! = 4*3 = 12 
 
0122 
 
Nº de permutações possíveis (permutação com repetição) = P ² 4 = 4! / 2! = 4*3 = 12 
 
1112 
Nº de permutações possíveis (permutação com repetição) = P ³ 4 = 4! / 3! = 4 
 
 
Agora é só somar: (2* 4) + (4*12) = 8+48 = 56 soluções possíveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (x + y + z)2. 
 
 
12 
 
4 
 
9 
 
6 
 10 
 Aplicação direta da fórmula : 
	) + + − 1�!
)! 	+ − 1�
=
	2 + 3 − 1�!
2! 	3 − 1�
= 
4!
2! 2
= 6 
 3. 
 
 
Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (1 - 2x + x2)5. 
 
 
21 
 
24 
 
10 
 
16 
 
18 
 Aplicação direta da fórmula : 
	) + + − 1�!
)! 	+ − 1�
=
	5 + 3 − 1�!
5! 	3 − 1�
= 
7!
5! 2
=
7.6
2
= 21 
 4. 
 
 
Qual é a soma dos coeficientes de (5a+5b)3? 
 
 
1000 
 
1 
 
10 
 
100 
 
10.000 
 (5.1+5.1)³ = (10)³ = 1000. 
 5. 
 
 
Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (x + y + z)4. 
 
 
14 
 
10 
 
12 
 
15 
 
16 
 
 
 Aplicação direta da fórmula : 
	) + + − 1�!
)! 	+ − 1�
=
	4 + 3 − 1�!
4! 	3 − 1�
= 
6!
4! 2
=
6.5
2
= 15. 
 6. 
 
 
A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x+3y)m é 625. O valor de m é: 
 
 
10 
 
4 
 6 
 3 
 5 
(2.1+3.1)m = (5)m = 625. Fatorando 625 temos 54. Logo m = 4. 
 
 
AULA 10. 
 
1a Questão (Ref.: 201309266078) 
 
 
Um aluno é candidato a presidente do Diretório Acadêmico da faculdade. Ele faz 3 promessas 
distintas por comício. Como estratégia eleitoral, ele nunca repete, em um comício, as mesmas 
3 promessas já feitas em outro. Marque a alternativa que indica o número mínimo de 
promessas que ele deve compor para poder realizar 30 comícios para os alunos da faculdade. 
 
 3 
 76 
 5 
 4 
 
 2a Questão (Ref.: 201309266084) 
 
 
Uma empresa possui 30 funcionários, dos quais 15 são homens e 15 são mulheres. Desse 
modo marque a alternativa que indica o número de comissões de 5 pessoas que a empresa 
pode formar com três homens e duas mulheres. 
 
 45.775 
 47.775 
 40.775 
 46.775 
 47.770 
,�",� =	 �"!�!	���!	 =
�".� 
� = 105.		,�",� 	
�"!
�!	���!	 =
�".� .��
�.� = 255.	 R => 105 x 255 =47775 . 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201309266082) 
 
 
As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 5, para que elas arrecadem 
prendas para a festa junina da escola. Marque a alternativa que indica o número de maneiras 
que as crianças poderão ser agrupadas. 
 
 1800 
 2000 
 2002 
 2003 
 2005 
,�",� =	 14!5! 	9�!	 =
14.13.12.11.10
5.4.3.2 = 14.13.11 = 2002. 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201309266087) 
 
 
Maria é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de reabilitação para 10 pacientes. 
Para obter melhores resultados neste programa, Maria precisa distribuir esses 10 pacientes em 
três salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e 
na sala 3 fiquem, também, 3 pacientes. Assim, marque a alternativa que indica o número de 
diferentes maneiras que Maria pode distribuir seus pacientes, nas três salas. 
 
 4000 
 4100 
 4150 
 4050 
 4200 
Total de pacientes = 10 
Sala 01 – 4 pacientes, sala 02 – 3 pacientes, sala 03 – 3 pacientes. 
1ª sala - ,��, =	 ��! !	��!	 =
��.�.�.�
 .�.� = 10.3.7 = 210.	 
 
 2ª sala - ,�,� =	 �!�!	��!	 =
���
�� = 20. 
 2ª sala - ,�,� =	 �!�!	��!	 =
�!
�! = 1. 
R = 210x20x1 = 4200. 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201309266083) 
 
 
Considere um total de seis pratos à base carboidratos e quatro pratos à base de proteína. Um 
atleta deseja montar o seu prato com cinco destes itens (distintos). Ele também deseja que ao 
montar o seu prato ele tenha ao menos duas proteínas. Marque a alternativa que indica o 
número máximo de pratos distintos que o atleta pode montar. 
 
 183 
 180 
 186 
 184 
 185 
Carboidratos (C) = 6 e Proteína (P) = 4. Pratos possíveis: CCCPP, CCPPP, CCCCP. 
CCCPP => ,�,�	∗	, ,�	 = 20 ∗ 6 = 120. 
CCPPP => ,�,�	∗	, ,�	 = 15 ∗ 4 = 60 
CCPPP => ,�,�	∗	, , 	 = 6 ∗ 1 = 60 Pratos possíveis = 120+60+6 = 186. 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201309266086) 
 
 
Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser 
aprovada, ela só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, marque a alternativa 
que indica de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões. 
 
 3000 
 3002 
 3003 
 3001 
 3004 
 
 
,�",�� =	 15!10! 	5�!	 =
15.14.13.12.11
5.4.3.2 = 3.7.13.11 = 3003.