Equações diferenciais 1-2

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Equações Diferenciais 
 
1 Introdução ................................................................................................................................ 2 
2 Soluções de uma equação diferencial ...................................................................................... 4 
3 Classificação das Equações Diferenciais de 1ª Ordem ........................................................... 5 
3.1 Equações Diferenciais Separáveis .................................................................................... 5 
3.2 Equações Diferenciais Homogêneas ................................................................................ 7 
3.2.1 Solução de equações diferenciais homogêneas ......................................................... 7 
3.3 Equações Diferenciais Exatas ........................................................................................... 9 
3.3.1 Método de solução .................................................................................................. 10 
3.3.2 Fatores integrantes ................................................................................................... 12 
4 Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem ............................................................. 15 
5 Equações Diferenciais Não-Lineares de Primeira ordem ..................................................... 19 
5.1 Equações de Bernoulli .................................................................................................... 19 
6 Referências Bibliográficas .................................................................................................... 21 
 
 2 
1 Introdução 
Muitas vezes em física, engenharia e outros ramos técnicos, há necessidade de encontrar uma 
função incógnita. Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equação envolvendo derivadas (ou 
diferenciais) da função incógnita. Tais equações envolvendo derivadas (ou diferenciais) são 
chamadas equações diferenciais, em que a incógnita não é um número, mas uma função. 
As equações diferenciais representam uma série de fenômenos tais como: 
 O crescimento de culturas de bactérias; → 
 Competitividade entre as espécies de um ecossistema, 
 Escoamento de fluidos em dutos, 
 O movimento dos planetas em torno do sol, 
 Trajetória de projeteis, 
 A formação do granizo na atmosfera, 
 Circulação sangüínea, 
 Movimento angular de ciclones, 
 Fenômenos de difusão, 
 Previsão de baixas em batalhas, 
 Jogos de guerra, 
 O formato de um ovo, 
 Mecanismos de transferência de calor, 
 A maré dos oceanos, 
 Ondas de choque, 
 A mudança diária da temperatura do vento, 
 Problemas de servos-mecanismos, 
 Evolução de uma epidemia devido a vírus, 
 Realimentação de sistemas, etc. 
 
Exemplo: Lei de Resfriamento de Newton 
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em 
resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante 
Tm do meio ambiente, na forma: 
 m
dT
k T T
dt
 
, k = constante 
 3 
Um ovo a 98º C é colocado em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 minutos a 
temperatura do ovo é de 38º C. Suponha que durante o experimento a temperatura da água não 
aumente apreciavelmente. Quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 20º C? 
 
   
 
 
0
ln
=18 º C; 0 98 º C; 5 38 º C;
1 38 18
5 38 ln 0,277
5 98 18
1 20 18
20 ln 13,3min
0,277 98 18
f
i
T t
f m
m i mT
m i
T TdT
k dt kt
T T T T
T T T
T k
T t t

  
 
 

   


   

 
 
Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como: 
 ( ), , ', '', ... , 0 ' ( )n
dy
F x y y y y onde y derivada de y em relação à x
dx
 
 
Se a função incógnita depende apenas de uma variável, temos uma equação diferencial 
ordinária (EDO). Se depender de mais de uma variável, temos uma equação diferencial parcial 
(EDP). 
As expressões seguintes são alguns exemplos de equações diferenciais. 
A. 
yx
dx
dy 2
 B. 
x
dx
dy
sen
 C. 
0
2
2
 y
dx
dy
x
dx
yd 
D. 
032
4
2
2
3
3
2 






dx
dy
dx
yd
y
dx
yd
x
 E. 
22  dxyxdyex
 F. 
0
2
2
2
2






t
u
x
u , u = 
(x, t) 
A ordem de uma equação diferencial é o número n que corresponde à ordem máxima das 
derivadas da equação (máxima ordem  Item D = 3). 
O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem (como 
a ordem máxima é da equação D, seu grau é 1 e não 4 como era de se esperar). 
Exemplos Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais. 
(a) 
07
3
2
2







dx
dy
dx
dy
dx
yd (b) 
03
2






y
dx
dy
dx
dy 
 A Equação (a) é uma equação diferencial de primeiro grau de ordem 2 porque d2y/dx2 é a 
derivada de maior ordem na equação e está elevada à primeira potência. Notar que a terceira 
 4 
potência de dy/dx não tem influência no grau da Equação (a) porque dy/dx é de menor ordem que 
d2y/dx2. 
A Equação (b), por outro lado, é uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem; 
dy/dx é a derivada de maior ordem (ordem 1) e 2 é a maior potência de dy/dx aparecendo na 
equação. 
 
2 Soluções de uma equação diferencial 
 As soluções de uma equação diferencial correspondem a uma família de curvas. Por 
exemplo, dada a seguinte equação diferencial de ordem 1: 
0 ou
dy x
xdx ydy
dx y
   
 
Por integração temos: 
2 2
2 2 2 2 2 22
2 2
xdx ydy
x y
x y R x y R
  
        
  
Isto é, uma família de circunferências centradas na origem diferenciadas pela constante R (raio). 
Para equações diferencias de ordem superior teríamos tantas constantes quanto a ordem da 
equação diferencial. 
Teorema 1. Suponha que uma família de curvas no plano xy cuja equação é: 
( , , ) 0x y C 
, 
onde C é uma constante. A ordenada y de uma destas curvas verifica uma equação diferencial de 
primeira ordem, independente de C. 
Exemplo: Seja uma família de curvas 
( , , ) 0x y K 
 na forma 
2y Kx
, isto é, uma família de 
parábolas. Tomando a derivada em um ponto P qualquer, tem-se: 
212 2 2 2 0
2
dy K dy dy dy
ydy Kdx K y y Kx y x x y
dx y dx dx dx
           
 
Isto é, a equação diferencial independe de K. 
Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma 
condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular 
de y = y0, correspondente a um valor particular de x = x0. Isto é, se y = f(x) pode ser uma 
solução da equação diferencial, então a função deve satisfazer a condição: y0 = f(x0). O problema 
de ser dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor 
inicial. 
 5 
Exemplo: Mostre que 
2xy Ce
 é uma solução para a equação diferencial 
' 2 0y y 
 e 
encontre a solução particular determinada pela condição inicial 
 0 3y 
. 
 
2 2 2
2 0 2
' 2 ' 2 2 2 0
0 3 (0) 3 3, ( ) 3
x x x
x
y Ce y y Ce Ce
y y Ce C y x e
  
  
       
      
 
 
3 Classificação das Equações Diferenciais de 1ª Ordem 
 Equações nas quais as variáveis podem ser separadas; 
 Equações homogêneas (todos os termos são do primeiro grau); 
 Equações lineares (onde y e y’ são do primeiro grau). 
 
Todas as equações acimapodem ser escritas na forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, onde M(x,y) 
e N(x,y) são funções envolvendo as variáveis x e y. Para esse tipo de equação, pode-se juntar 
todos os termos contendo x com dx e todos os termos contendo y com dy, obtendo-se uma 
solução através de integração. Tais equações são ditas separáveis, e o método de solução é o 
método de separação de variáveis. O método é descrito a seguir. 
 
3.1 Equações Diferenciais Separáveis 
Coloque a equação na forma diferencial na forma 
M(x)dx + N(y)dy = 0 ou M(x)dx = - N(y)dy 
   CdyyNdxxM )()(
. 
 
Exemplo 01 Reescreva a equação diferencial de primeiro grau 
2 3'– 2 0yx y xy 
 na forma da 
Equação 
2 3 2 3
2 3
2 3 2
'– 2 0 2 0
1
2 0 2
dy
yx y xy x y xy dx
dx
dy dx
x ydy xy dx
x y y x
    
    
 
Neste exemplo, M(x) = -2/x e N(y) = 1/y2. 
Exemplo 2 Determinar a solução geral da equação diferencial x2yy’ – 2xy3 = 0. 
 6 
2 2
2
2 1 1 2
0
1 2 1
integrando 2ln 2ln 2ln 1 2 ln 0
dx dy dy dx
x y y x
dy dx C x C y Cx
y x y
    
        
 
Exemplo 3 Resolver a equação diferencial 
1
'
2 

x
y
y
. 
2 2 2
arctan arctan
1 1 1
ln arctan , onde x C x C
dy y dy dx dy dx
C
dx x y x y x
y x C y e y ke k e
     
  
      
  
Exercícios: Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais. 
3-1.
02  dxyxdy
 
1
ln
y
Cx
 
 
3-2. 
0
2

y
e
dx
dy x
 
3xy ke
 
3-3.
03 23  xydydxyx
 
C
y
x

 
3-4.
03  xx e
dx
dy
e
 
 arccos seny x c 
 
3-5. 
0xdy ydx 
 
3 ² 2 ³y x C 
 
3-6. 
031 2  dydxyx
 
2y 3k x 
 
3-7. 
0cossec  ecydxxdy
 
 
1
²
2 sen
y
x C


 
3-8. 
 21 – 0x dy dx 
 
 
3
arctan 1xy k e 
 
3-9. 
y
x
dx
dy 2

 
3 3 xy e k 
 
3-10. 
 21 0 x dy xdx  
 
22 xy e C 
 
3-11. 
32 

x
xy
dx
dy
 
2
sen
6
x
y C
 
  
 
 
3-12. 
22221 yxyx
dx
dy

 
arctany x C 
 
3-13. 
0cos3  xy
dx
dy
 
 
1
2 2ln 1y x C

  
 
3-14. 
yxe
dx
dy 
 
3
arctan
3
x
y x C  
 
 7 
3-15. 
  0sec13 2  dyyedxtgye xx
 
1
ln
x
y
e C
 
  
 
 
3-16. 
    022  dyyxydxxyx
 
2
2
21
k x
y
x



 
3-17. 
 2 4; 1 1
dy
x y y
dx
 
 
1
³
2 ³
y
x


 
3-18. 
 2
2
; 0 4
dy x
y
dx y x y
 

 
 2 =4 2 xy e
 
3-19. 
 2 0; 0 2x
dy
ye y
dx
   
 
 
2
² ln ² 1 16y x  
 
3-20. 
 2 ; 1 1x dy ydx y 
 
1
y 
x
xe


 
 
3.2 Equações Diferenciais Homogêneas 
 Algumas equações que não são separáveis podem vir a sê-lo mediante uma mudança de 
variáveis. Isso funciona para equações da forma y’ = f(x,y), onde f é uma função homogênia, e f 
pode ser escrita como uma função 
' , enão varia sesubstituirmos e
dy x
y f x kx y ky
dx y
 
    
 
 
Exemplos: 
(1) f(x,y) = x2–3xy+5y2 
f(kx,ky) =(kx)2 – 3(kx)(ky) +5(ky)2= k2x2–3k2 xy+5k2y2 
f(kx,ky) = k2[ x2–3xy+5y2] = k2 f(x,y)  função homogênea de grau dois. 
 
 (2) f(x,y) =x3+y3+1 
f(kx,ky) = (kx)3+ (ky)3+1  k3 f(x,y)  função não é homogênea. 
 
OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida examinando o grau de cada 
termo. 
Exemplos: (1) f(x,y) = 6xy3 – x2y2  A função é homogênea de grau quatro. 
 (2) f(x,y) = x2 – y  A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são 
diferentes. 
3.2.1 Solução de equações diferenciais homogêneas 
 8 
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 
é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo 
grau. 
Para resolver uma equação diferencial homogênea pelo método de separação de variável, basta 
fazer a mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir. 
Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas 
 Se M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma 
equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável y=ux onde u é uma 
função diferenciável de x e dy/dx =u + xdu/dx. 
OBS: São válidas também as substituições x = yu e dx=ydu + udy. 
 
Exemplo: Resolva (x2 + y2)dx + (x2 – xy)dy = 0 
   
      
     
   
 
2 2 2
22 2
2 2 2 3
2
e 
– 0
– 0
1 1 1 0
1 1– 0
1
 0
1
1
ln
1
2ln 1 ln ln
ln 1
y ux dy udx xdu
x y dx x xy dy
x ux dx x x ux udx xdu
u x dx x u udx x u du
u dx x u du
u dx
du
u x
u dx
du C
u x
u u x C
x y y
C x x
  
  
   
     
  

 


  

    
 
  
 
 
 
Exercícios 
Resolva a equação diferencial homogênea dada. 
3-21. 
x
yx
y
2
'


 
  ²x C x y 
 
3-22. 
)yx(2
y
'y


 
² 2x ky y 
 
3-23. 
yx
yx
y


'
 
² 2 ²x xy y k  
 
3-24. 
xy
yx
y
2
'
22 

 
² ²x kx y 
 
 9 
3-25. 
22
'
yx
xy
y


 
2
22
x
yy Ce


 
3-26. 
x
yx
y
23
'


 
² 3y kx x 
 
3-27. 
   /2 0; 1 0y xxdy xe y dx y   
 
 ln ² 1
y
xe x 
 
3-28. 
 sec 0; 1 0
y
x y dx xdy y
x
 
    
 
 
1
y
xy e
 

 
3-29. 
   2 0; 1 1y dx x x y dy y    
 
 arcsen lny x x
 
3-30. 
   2 2 0; 1 0y x y dx xdy y    
 
1
sen lny x
x
 
  
 
 
 
3.3 Equações Diferenciais Exatas 
Embora a equação y dx + x dy = 0 seja separável e homogênea, podemos ver que ela é também 
equivalente à diferencial do produto de x e y; isto é 
y dx + x dy = d(xy) = 0, integrando  xy = c. 
Se z = f(x,y) é uma função com derivadas parciais contínuas em uma região R do plano xy, então 
sua diferencial total é 
 
f f
dz dx dy
x y
 
 
 
 (1) 
E se f(x,y) = c, então 
0
f f
dx dy
x y
 
 
 
 (2) 
Exemplo 1 Se x2 – 5xy + y3 = c, então por (2) 
(2x –5y)dx + (-5x +3y2)dy = 0 ou 
2
5 2
5 3
dy y x
dx x y


 
. 
Note que a equação anterior não é separável nem homogênea. 
 Uma equação diferencial 
M(x,y)dx + N(x,y)dy 
é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de 
alguma função f(x,y). Isto é: 
 10 
 
( , ) ( , ) e ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) 0 ( , )
f x y M x y f x y N x y
y x
ou d f x y f x y dy f x y dx
x y
f x y f x y f x y c
x y
 
 
 
 
  
 
 
   
 
 
Exemplo 2 A equação x2y3 dx + x3y2 dy = 0 é exata, pois 
3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2
2 3 3 2 3 3
( ) ( ) 3 e ( ) 3
3 3 , seesomentese
d x y x y dx x y dy x y dx x y x y dx x y
x x
x y x y x y C
 
    
 
 
 
Teorema Critério para uma Diferencial Exata 
 Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma 
região R definida a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que 
M(x,y)dx + N(x,y)dy=0, seja uma diferencial exata é 
x
N
y
M





. 
3.3.1 Método de solução 
 Dada a equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 
Mostre primeiroque 
x
N
y
M





. 
 Depois suponha que 
 yxM
x
f
,


 
Integrando, considerando y=cte, obtém-se: 
   , ( , )f x y M x y dx g y 
, onde g(y) é a constante de integração. 
Derivando f(x,y) com relação a y e supondo f/y = N(x,y) 
   
   
   
   
( , ) ( , ) ,
= , ( , )
= , ( , )
, ( , ) , ( , )
f x y M x y dx g y N x y
y y y
g y N x y M x y dx
y y
g y N x y M x y dx dy
y
f x y M x y dx N x y M x y dx dy
y
  
  
  
 

 
  
  
  
  
    
  


 
  
 
 11 
Executando os cálculos acima chega-se a f(x,y) = c. 
Exemplo 3 Resolva 2xy dx + (x2 – 1) dy = 0. 
   
 
         
           
   
2
2
2 2 2
2 2
, 2 e , –1 2 . .
Pelo teorema anterior, existe uma fun o , , tal que 
, , 2 , 2
, , –1 1
, –1
M N
M x y xy N x y x x E D exata
y x
çã f x y
f x y M x y xy f x y xydx g y x y g y
x
f x y x g y N x y g y x x g y y
y y y
f x y x y y y x C y
 
     
 

      

  
          
  
    

2 –1
C
x

 
 
Exemplo 4 Resolva o problema de valor inicial 
     2 2cos sen – 1 0, 0 2x x xy dx y x dy y    
 
       
       
       
          
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
, cos sen – e , 1
2 . .
, , , ,
, cos sen – 1 cos sen –
1
, cos 1 cos 1 2
2
M x y x x xy N x y y x
M N
xy E D exata
y x
f x y M x y dx N x y M x y dx dy
y
f x y x x xy dx y x x x xy dx dy
y
f x y x y x C x y x C K
y
   
 
   
 
  
    
  
  
       
  
          
  
  
   
   
 
2 2 2
2
2 2 2 2
2
(0) 2 cos 0 2 0 1 1 4 5
cos 5
cos 1 5
1
K K K
x
x y x y
x
          

     

 
 
Exercícios. Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral. 
3-31. 
   2 3 2 3 0x y dx y x dy   
 
² 3 ²x xy y C  
 
3-32. 
0x xye dx e dy 
 
xye C
 
3-33. 
   2 2 23 10 6 2 10 0y xy dx xy x y dy    
 
3 ² 5 ² ² 2xy x y y C  
 
3-34. 
   2cos 2 cos 2 0x y dx x y dy   
 
 sen 2 x y C 
 
 12 
3-35. 
   3 2 34 6 4 6 0x xy dx y xy dy   
 
não é exata 
3-36. 
2 222 2 0xy xyy e dx xye dy 
 2xye 
não é exata 
3-37. 
0)(
1
22


ydxxdy
yx
 
arctan
x
C
y
 
 
 
 
3-38. 
0)()(
22
 ydyxdxe yx
 
  Ce.
2
1 22 yx  
 
3-39. 
 
0)(
1 22
2


dyxdxy
yx
 
não é exata 
3-40. 
 cos tan 0ye xy ydx x xy dy    
 
senye xy C
 
3-41. 
   ln( 1) 2 0; 2 4
1
y
dx x y dy y
x
    

 
 ln 1 ² 16y x y  
 
3-42. 
 
2 2
1
( ) 0; 4 3xdx ydy y
x y
  

 
5yx 22 
 
3-43. 
 2 2
1
( ) 0; 0 4xdx ydy y
x y
  

 
² ² 16x y 
 
3-44. 
 3 (sen 3 cos3 ) 0; 0xe ydx ydy y   
 
3 sen3 0xe y 
 
3-45. 
     2 22 tan 5 sec 0; 0 0x y dx x y dy y   
 
 ² tan 5 0x y x 
 
3-46. 
   2 2 2 0; 3 1x y dx xydy y   
 
3
² 12
3
x
xy  
 
 
3.3.2 Fatores integrantes 
 Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial não exata em uma equação 
exata multiplicando-a por uma função (x,y) chamada fator de integração. Porém, a equação 
exata resultante: 
(x,y)M(x,y)dx + (x,y)N(x,y)dy = 0 
Pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução 
para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções. 
 
Exemplo Se a equação diferencial 
2y dx + x dy = 0 (Não é uma equação exata) 
for multiplicada pelo fator integrante (x,y) = x, a equação resultante 
2xy dx + x2 dy = 0 (Equação exata) 
 13 
é exata, ou seja, 
2
M N
x
y x
 
 
 
. 
 Pode ser difícil encontrar um fator integrante. No entanto, existem duas classes de 
equações diferenciais cujos fatores integrantes podem ser encontrados de maneira rotineira - 
aquelas que possuem fatores integrantes que são funções que dependem apenas de x ou apenas 
de y. O Teorema a seguir, que enunciaremos sem demonstração, fornece um roteiro para 
encontrar esses dois tipos especiais de fatores integrantes. 
Teorema Fatores Integrantes 
 Considere a equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. 
1. Se 
     
1
, – , 
( , )
M x y N x y h x
N x y y x
  
 
  
 é uma função só de x, então ( )h x dx
e
 é um 
fator integrante. 
2. Se 
     
1
, – , 
( , )
N x y M x y k y
M x y x y
  
 
  
é uma função só de y, então ( )k y dy
e
 é um 
fator integrante. 
Exemplo 1 Encontre a solução geral da equação diferencial (y2 – x) dx + 2y dy = 0. 
A equação dada não é exata, pois 
2 e 0
M N
y
y x
 
 
 
. Entretanto, como 
     
    0
1
, – , 
( , )
1
2 – 0 1 
2
M x y N x y h x
N x y y x
y h x x
y
  
 
  
  
 
Temos que  dxxhe )( = xdx ee 1 é um fator integrante. Multiplicando a equação dada por e
x, 
obtemos a equação diferencial exata 
(y2ex – x ex) dx + 2yex dy = 0 
cuja solução é obtida da seguinte maneira: 
 14 
   
       
     
 
2
2 2
2
, e , 2
, , , ,
, 2 
, 0
x x x
x x x x x
x x x
M x y y e x e N x y ye
f x y M x y dx N x y M x y dx dy
y
f x y y e x e dx ye y e x e dx dy
y
f x y y e x e e
  
  
    
  
  
      
  
   
  
   
Outra forma de encontrar o fator integrante é em E. D. na forma: 
M(x,y) = y. f(x,y) e N(x,y) = x. g(x,y), então 
 
   
1
,
, ,
x y
xM x y yN x y
 

 
Exemplo 2 Resolva 2dy xy y
dx x


. 
   
 
     
   
       
       
 
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
– – 1– 0
1 1 1
,
, , 1–
1 1 1
1– 0 1– 0 . .
1 1 1
, 1– e , ,
, , , ,
,
xy y dx xdy y xy dx xdy
x y
xM x y yN x y xy xy yx x y
y xy dx xdy xy dx dy E D exata
x y x y xy
M x y xy N x y M x y
x y xy y x y
f x y M x y dx N x y M x y dx dy
y
f x y

  
   
 
         

     

  
    
  
  
1 1
ln ln
ln
x C K y
yx x Kx
       
 
 
Exercícios 
Encontre o fator integrante que é função apenas de x ou apenas de y, e use-o para encontrar a 
solução geral da equação diferencial dada. 
3-47. ydx - (x + 6y2)dy = 0 
FI: 1/y²  (x/y) – 6y = C 
3-48. (2x2y – 1)dx + x3dy = 0 
FI: 1/x²  (y/x) – x² = C 
3-49. (2x3 + y)dx - xdy = 0 
FI: 1/x²  (y/x) + 5x = C 
3-50. y2dx + (xy - 1)dy = 0 
FI: e-x  e-x (y² - 5x² - 10x – 10) = C 
3-51. (5x2 - y)dx + xdy = 0 3-52. (x2 +2x + y)dx + 2dy = 0 
 15 
FI: cos x  y sen x + x sen x + cos x = C FI: x -1  x²y – ln x = C 
3-53. (5x2 – y2)dx + 2ydy = 0 
FI: (1/y)  xy – ln y = C 
3-54. 2ydx + (x – sen 
y
)dy = 0 
FI: 
2
x
e
  
2
x
e
(2y + 2x² - 4x + 8) = C 
3-55. (x + y)dx + tgxdy = 0 
FI: (1/
y
)  x. 
y
 + cos 
y
 = C 
3-56. (-2y3 + 1)dx + (3xy2 + x3)dy = 0 
FI: x -3  x -2y³ + y - (1/ 2x²) = C 
 
4 EquaçõesDiferenciais Lineares de Primeira ordem 
 Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como, 
       
-1
-1 1 0-1
( )
n n
n nn n
d y d y dy
a x a x a x a x y g x
dx dx dx
    
. 
A linearidade significa que todos os coeficientes 
 na x
são funções de x somente e que y 
e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. 
 Quando n = 1, a equação linear é de primeira ordem: 
     
 
1 0 1( ) ou
( )
dy
a x a x y g x a x
dx
dy
P x y Q x
dx
  
 
 
Procuramos uma solução para a equação acima em um intervalo no qual as funções P(x) e Q(x) 
são contínuas. Rescrevendo na forma: 
  ( ) 0P x y Q x dx dy    
 
Podemos sempre encontrar uma função (x) para equações lineares, isto é: 
     ( ) 0x P x y Q x dx x dy     
 
é uma equação diferencial exata. Neste caso: 
 16 
     
     
 
 
     
 
 
( )
ln
P x dx
x P x y Q x dx x dy
y x
d
x x P x
dx
d x
P x dx x P x dx
x
x e
 
 




 
    

  


 
 Portanto, (x) é um fator de integração para a equação linear. Note que não precisamos 
usar uma constante de integração pois a equação diferencial não se altera se multiplicarmos 
todos os temos por uma constante. Para (x)  0, é contínua e diferenciável. 
 
   
 
 
 
 
 
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
mas ( )
portanto ( ). ( )
( )
P x dx P x dx P x dx
P x dxP x dx P x dx P x dx P x dx
P x dx P x dx P x dx P x dx
P x dx P x d
dy
P x y Q x
dx
dy
e e P x y Q x e
dx
d dy d dy
ye e y e e yP x e
dx dx dx dx
d
ye Q x e ye Q x e dx C
dx
y Q x e dx C e
   
   

 
   
   
   
 


aSolução da ED linear de1 . ordemx 
 
Esta solução pode ser obtida diretamente pelo método Método de Lagrange. Resolve-se a 
equação considerando Q(x)=0, e obtendo-se y(x)=Af(x), com A=Cte. Depois, substitui-se A por 
uma função A(x) e resolve a equação completa, e então obtém-se o valor de A(x). 
     
 
     
 
   
 
   
 
 
( ) ( ) 0 ( ) ln ( ) ln ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P x dx
P x dx P x dx P x dx
P x dx P x dx
P x dx P x dx P x d
d d
y x P x y x y x P x dx y x P x dx A y x Ae
dx y
A A x
d d d
y x A x e y x A x e e A x
dx dx dx
d d
y x A x P x e e A x
dx dx
d
A x P x e e A x P x A x e
dx

  
 
  
          

     
  
    
 
 
 
 
 
 
 
   
( ) ( )
( )
x
P x dx P x dx
P x dx P x dx
Q x
d
A x Q x e A x Q x e dx C
dx
y x Q x e dx C e


    
    
 


 
 
 17 
Exemplo 1: Encontre a solução geral de 
64 x
dy
x y x e
dx
 
. 
 
   
4 4
5 5
( ) ( )
4 ln 4 ln 4
4 4
4 4
( ) e ( )
( )
4
( ) ln e
x x
P x dx P x dx
x x
x x x
dy
y x e P x Q x x e
dx x x
y Q x e dx C e
P x dx dx x e x e x
x
y xe dx C x xe e C x
 
 
  
     
 
     
    

 

 
Pelo Método de Langrange 
 
 
 
 
1
4 4 4
4 3 4
3 4 4 5
4
4
0 4 ln 4 ln ln ln ln
( ); 4
4
4 x x x x x
x x
dy dy dx
y y x A y Ax y Ax
dx x y x
dy dA
A A x y Ax A x x
dx dx
dA dA
x A x Ax x e xe A xe dx C xe e C
dx x dx
y xe e C x
          
    
          
  
 
Exemplo 2: Um corpo de massa m, afunda em um fluido e sofre a resistência deste. Como as 
velocidades são pequenas, a resistência é proporcional à velocidade na forma f=Bv. Determine a 
velocidade do corpo. 
   
   ( ) ( )
Da segunda lei de Newton
( ) ( )
( ) e ( ) ( )
( ) ( )
(0) 0 velocidade inicial nula
(0)
B B B B
m m m m
t t t tP t dt P t dt
d d B
F ma m v t P f mg Bv t v v g
dt dt m
dy B B
P t y Q t P t Q t g P t dt t
dt m m
mg
v t Q t e dt C e ge dt C e e C e
B
v
mg
v
B
  
        
      
 
      
 
 



 
 
0
( ) 1
, ( )
B
m
t
mg
C C
B
mg
v t e
B
mg P
Quando t v t
B B

    
 
  
 
Exemplo 3 Uma esfera de diâmetro D e massa m, com velocidade inicial de translação v0, é 
desacelerada pela ação do ar. Se a força de resistência do ar fR=CD
2v, onde C é uma constante e 
D2 refere-se a área de seção transversal da esfera em relação ao movimento. Calcule o 
comportamento da velocidade e do deslocamento da esfera. 
 18 
   
 
2
2
2
2
2
2 2
( ) ( )
0
0
0
2
( ) ( ) 0
( ) e ( ) 0 ( )
( ) ( ) , (0)
( )
( ) ( )
(0) 0
CD
m
CD
m
CD
m
R
tP t dt P t dt
t
t
d d CD
F ma m v t f CD v t v v
dt dt m
dy CD CD
P t y Q t P t Q t P t dt t
dt m m
v t Q t e dt C e Ce v C v
v t v e
mv
a trajetória é x t v t dt E e E
CD
m
x E
C
 


        
      
    

    
  




 
2
0
02 2
( ) 1
CD
m
tmv
v x t e
D CD

  
 
Exemplo 3 Calcule a corrente elétrica que circula em um circuito composto por uma fonte 
V=V0 cos(wt), onde w é a frequencia angular, conectada em série com um resistor R e um 
capacitor C. 
     
     
 
   
0 0
0 0
2
2
2
0
2 2
( )
( ) ( ) 0, mas ( )
1 1 1
cos e ( ) cos ( )
1
( ) cos cos sen
1
1
( ) cos sen
1
t
t t t
q t d
E t Ri t i q t
C dt
V Vdq t
q wt P t Q t wt P t dt
dt RC R RC R
V Ve
q t wt e dt C e wt w wt C e
R R
w
V
q t wt w wt
w R

  
 




 
   
       
 
    
       
    
 
 
  
  


 
   
   
 
0 0
22 2
20
2
0
0
( 0) 0 ( ) sen cos
11
1
( ) ( ) cos sen
1
, 0 0
( ) ( ) 1
t
t
t
t t
Ce A w
V V
q t C q t A wt wt e
A Rw R
Vd
i t q t A wt A wt e
dt A R
Se a fonte não depender do tempo w e A
V
i t e e q t CV e
R



 

 




 
  
         
 
    
 
 
  
 
 
Exercícios 
Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais. 
4-1. 
 
3
3 5
5
1
 
2
x
x x
dy
y e
dx
y e Ce
 
  
 4-2. 2
2 3
3 x
x x
dy
y e
dx
y e Ce

 
 
 
 4-3.
 
3
7 4
3
2
1
2 7
14 ³
dy y
x
dx x
y x x C
x
  
  
 
 19 
4-4. 2
2
5
³ 5 ²
dy y
x
dx x
y x x Cx
  
  
 
4-5. 
2
3
3
1
2 (3 2 )x
xx
dy
xy e x
dx
y e Ce
 
    
  
 
 4-6.
2 23 (3 1)x
x
dy
x y e x
dx
y e C
  
  
 
4-7. 2 4
4
4
3 ³
x
x
dy ydx x e dx
y x e C
 
 
 
4-8.
3
2 23
1
:
3
x
dy x ydx x dx
R y Ce
 
  
 4-9.  
6
6 5
5 4
:
xdy ydx x x dx
R y x x Cx
  
  
 
4-10. 
   
3
3 ; 0 1
1
– +
3 9
x
dy x y dx y
x
y Ce
  

 4-11. 
2 2(1 ) 2 3
 ³
1 ²
x dy xydx x dx
x C
y
x
  



 
4-12.
tan sen
sen² 
sec
2
dy
y x x
dx
xy C x
 
 
  
 
 
4-13.
 
2 4
5
2 7
1
35
5 ²
dy
x xy x
dx
y x x C
x
  
  
 4-14 
2 32 5
5
² ln ²
3
dy
x xy x
dx
y x x x Cx
  
  
 4-15. 
 
 
2
2
3 ; 0 2
3 1
x
x x
dy
y e y
dx
y e e
  
 
 
4-16. 
2
2
3
3; (1) 3
ln
2
dy y
x y
dx x
x
y x x C
   
 
   
 
 
4-17.
 
cosec cot
3
2 2
1
sen
dy
x y x
dx
y
y x
x
 

 
 
 
 
 
 
4-18.  
2 3
4
2
2
2 ( 4)
41
:
8
dy
x y x
dx
x
R y C
x
  
 
  
 
 
 
 
5 Equações Diferenciais Não-Lineares de Primeira ordem 
5.1 Equações de Bernoulli 
 A equação diferencial 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )n
d
y x P x y x Q x y x
dx
 
 
em que n é um número real qualquer, é uma equação não-linear, chamada de equação de 
Bernoulli. Dividindo por 
( )ny x
, obtém-se: 
 20  
 
   
1
1
a
(1 ) ( 1)1
1
(1 ) (1 ) Equação linear de1 ordem
( ) (1 )
n n
n n
n P x dx n P x dxn
dy
y Py Q
dx
dw dy
fazendo w y n y
dx dx
dw
n Pw n Q
dx
y x n Q x e dx C e
 
 
 
 
   
    
     
 
 
Exemplo: resolva 
21dy y xy
dx x
 
 
Comparando com 
ndy Py Qy
dx
 
 verificamos que 
1
; e 2P Q x n
x
  
. 
 
   
 
     
(1 ) ( 1)1
1 ln ln
2
( ) (1 ) ln
( )
1
( )
n P x dx n P x dxn
x x
dx
y x n Q x e dx C e P x x
x
y x xe dx C e dx C x x x C
y x
x C
 
 
        
 
        
 

  
 
 
Exercícios 
Resolva a equação diferencial de Bernoulli dada. 
5-1. y’ + 3x2y = x2y3 
32 2 1
3
xy Ce  
 
5-2. yy’ – 2y2 = ex 
42²
3
x xy e Ce
 
   
 
 
5-3. y’ - y = x3 3 y 
22
3 23 3
1
(4 18 54 81)
4
x
y Ce x x x    
 
5-4. y’ + 2xy = xy2 
2
2
1 x
y
ke


 
5-5. y’ + 






x
1
y = x
y
 
21
5
C
y x
x
 
 
5-6. 
2' lnxy y y x 
 
1
ln
y
x C


 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
6 Referências Bibliográficas 
 
BRONSON, R. Moderna Introdução às Equações Diferenciais. 
BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores 
de Contorno. 
EDWARDS, C. H. Jr. e PENNEY, David E. Equações Diferenciais Elementares e Problemas 
de Valores de Contorno. 
GUIDORRIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo (vol. 2). 
ZILL, Dennis G. e CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais. (vol 1) 
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica (vol 2) 
LARSON, Hostetler & Edwards. Cálculo com Geometria Analítica (vol 2). 
STEWART, James. Cálculo (vol 2). 
KREIDER, D.L. e Outros. Equações Diferenciais.