Lista2_EquaesDiferenciais

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Centro Universitário UNA / Unidade Raja 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Lista de Exercícios 2: Equações Diferenciais de 1ª ordem - Aplicações 
Professora: Bruna A. Gonçalves e Maria Clara Monteiro 
 
1. Mostre que y = sen(x)cos(x) – cos(x) é uma solução do problema de valor inicial �� +
	����	
�� = 	 
����	
	����	��0
 = 	−1 
2. Determine os valores da constante r para os quais a função y(t) é solução da equação dada. 
a) ���
 = 	 ����	� ; �� + ��� = 0 c)	���
 = 	
�
���� ; �
� − 6��� = 0 
b)	���
 = 	 ����� ; �� − 2��� = 0 d)	���
 = 	
�
���	� ; �
� − ��� = 0 
3. Determine qual ou quais funções ��	
 = 		�, ��	
 = 	�	"	 ��	
 = 	 "�#	 são soluções da 
equação �	 + 3
�′′ +	�	 + 2
�′ − 	� = 0. 
4. Um tanque contém 20kg de sal dissolvidos em 5000L de água. Água salgada com 0,03kg de sal 
por litro entra no tanque a uma taxa de 25L/min. A solução é misturada completamente e sai do 
tanque à mesma taxa. Qual é a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia 
hora? 
5. Um tanque contém 1000L de água salgada com 15kg de sal dissolvido. Água pura entra no 
tanque a uma taxa de 10L/min. A solução é mantida bem misturada e escoa do tanque na mesma 
taxa. Determine: 
a) Quanto sal há no tanque após t minutos? 
b) Quanto sal há no tanque após 20 minutos? 
6. Um barril com 2000L de cerveja contém 4% de álcool (por volume). Cerveja com 6% de álcool é 
bombeada para dentro do barril a uma taxa de 20L/min e a mistura é bombeada para fora do barril 
à mesma taxa. Qual é a porcentagem de álcool depois de uma hora? 
7. Suponha que uma cultura de bactérias inicie com 200 bactérias e cresça a um taxa proporcional 
ao seu tamanho. Considere que depois de 1 hora existam 8000 bactérias. 
a) Encontre a equação para o número de bactérias após t horas. 
b) Quando essa população alcançará 40000 bactérias? 
8. O núcleo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial &'&� =	−0,0525) 
onde Q está em miligramas e t em anos. 
a) Determinar a meia vida	do plutônio. 
b) Se 50mg de plutônio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá 
daqui a 10 anos? 
9. O einsteinio 253 decai a uma taxa proporcional à quantidade de nuclídeo presente. Determinar 
a meia vida se o material perde um terço da sua massa em 11,7 dias. 
10. O rádio 226 tem a meia vida de 1620 anos. Achar o intervalo de tempo no qual uma amostra 
deste nuclídeo se reduz a três quartos da sua massa original. 
Centro Universitário UNA / Unidade Raja 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Lista de Exercícios 2: Equações Diferenciais de 1ª ordem - Aplicações 
Professora: Bruna A. Gonçalves e Maria Clara Monteiro 
 
11. O cardume de atum do Pacífico foi modelado pela equação diferencial &*&� = +� ,1 −
*
-. onde 
y(t) é a biomassa (massa total dos membros da população) em quilogramas no instante t (medido 
em anos), a capacidade de suporte é estimada como / = 8 × 102	+�, "	+ = 0,71 por ano. 
a) Se ��0
 = 	2 × 102kg, calcule a biomassa um ano depois. 
b) Quanto tempo levará para a biomassa alcançar 4 × 102kg? 
12. Os biólogos colocaram em um lago 400 peixes e estimaram a capacidade suporte (a 
população máxima de peixes daquela espécie no lago) como 10 000. O número de peixes triplicou 
no primeiro ano. 
a) Presumindo que o tamanho da população de peixes satisfaça a equação logística, encontre 
uma expressão para o tamanho da população depois de t anos. 
b) Quanto tempo levará para que a população aumente para 5000 peixes? 
13. Admitamos que uma xícara de café quente obedeça à lei do resfriamento de Newton. Se a 
temperatura do café for 93,3ºC, logo depois de coado, e um minuto depois for 87,8ºC, num 
ambiente a 21,1ºC, determinar o instante em que a temperatura do café é 65,6ºC. 
 
 
Respostas 
2a) r = 0 ou r = 2 b) r = 0 ou r = -1 c)r = 0 ou r = -1/3 d)r = 0 ou r = -2 
3) f3 é solução 
4) ���
 = 150 − 130"�� �55⁄ 							; 						��30
 = 38,1+� 
5) ���
 = 15"�� �55⁄ 							; 						��20
 = 12,3+� 
6) 4,9% 
7) ���
 = 200"�,89�		 b) � ≅ 1,44	horas 
8) )��
 = �5"�5,5;�;� b) ��10
 = 29,6	� 
9) + ≅ 0,0347						� ≅ 19,97 ≅ 20 dias 
10) + ≅ 0,0004						� ≅ 719,20 ≅ 720 anos 
11a) =��
 = >∙�5@���ABC,@D	E b)� ≅1,55 anos 
12a) =��
 = 	 �5555���FABD,DGCG	E b) � ≅ 2,69 anos 
13) H��
 = 21,1 + 72"�5,528F	� t= 6,3 min