Apostila 1 - Logaritmo

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Acadêmico(a) __________________________________________________________ 
Turma: _______________________________________________________________ 
Capítulo 1: Logaritmo 
1.1 Definição 
Define-se logaritmo como a função inversa da função exponencial, ou seja: 
𝑎𝑥 = 𝑏 → log𝑎 𝑏 = 𝑥 
Em que a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo. 
Lembrando que, como 𝑎0 = 1, log𝑎 1 = 0 e como 𝑎
1 = 𝑎, log𝑎 𝑎 = 1. 
Então para o cálculo de logaritmo, usa-se a equivalência: 
log𝑎 𝑏 = 𝑥 → 𝑎
𝑥 = 𝑏 
Sendo que 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 e 𝑏 > 0, isto é, só existe logaritmo de números positivos. 
1.2 Propriedades 
a) Logaritmo de um produto: 
log𝑎(𝑏 ∗ 𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 
Ex: log2 5 ∗ 3 = log2 5 + log2 3 
b) Logaritmo de um quociente 
log𝑎 (
𝑏
𝑐
) = loga 𝑏 − log𝑎 𝑐 
Ex: log5 (
15
10
) = log5 15 − log5 10 
c) Logaritmo de uma potência 
log𝑎(𝑏)
𝑐 = 𝑐 ∗ log𝑎 𝑏 
Ex: log3 √2 =
1
2
log3 2 
d) Logaritmando igual a base 
log𝑎 𝑎 = 1 
2 
 
Ex: log2 2 = 1 
e) Exponencial do logaritmo de mesma base 
𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 
 Ex: 3log3 5 = 5 
f) Mudança de base 
log𝑎 𝑏 =
log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎
 
 Ex: log5 4 =
log4 4
log4 5
=
1
log4 5
 
1.3 Gráfico da função 
Dada a função: 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑏 
Sendo a ≠1 e a > 0 e b > 0, o domínio da função é representado pelo conjunto dos reais 
maiores que zero, e contradomínio o conjunto dos reais. 
Para a > 1, a função é crescente Para 0 < a < 1, a função é decrescente 
 
 
Figura 1. Gráfico da função logaritma 
1.4 Logaritmo Neperiano 
O logaritmo associada a base e é representada por: 
ln𝑒 𝑥 ou simplesmente ln 𝑥 
Por ser um logaritmo de uma base especifica, o logaritmo Neperiano possui todas as 
propriedades da função logaritma apresentada anteriormente. 
 
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Lista de Exercícios 
 1- Calcule o valor de x para cada igualdade abaixo: 
a) 2𝑥 =
1
8
 
b) log2
1
8
= 𝑥 
c) log3
1
3
= 𝑥 
d) log2 32 = 𝑥 
e) log9 243 = 𝑥 
f) log1/3 81 = 𝑥 
2- Resolva as equações logaritmas abaixo: 
a) log5(𝑥
2 + 3) = log5(𝑥 + 3) 
b) log2(14 − 5𝑥) = 2 
c) log(3𝑥2 + 7) − log(3𝑥 − 2) = 1 
3- (Cesgranrio-RJ) Se log √𝑎 = 1,236, qual o valor de log √𝑎
3
 ? 
4- (PUC-PR) Qual o valor da expressão log2 0,5 + log3 √3 + log4 8 ? 
5- (Fuvest) Qual o número real x que satisfaz a expressão abaixo? 
log2(12 ∗ 2
𝑥) = 2𝑥 
6- (UEL) Qual a solução real da equação −1 = log5 (
2𝑥
𝑥+1
) ? 
7-(Fuvest) Se 𝑥 = log4 7 e 𝑦 = log16 49 , qual o valor de x-y ? 
8-(Fuvest) Se log3 𝑎 = 𝑥, qual o valor de log9 𝑎
2 ? 
9- Qual o valor dos seguintes logaritmos: 
a) log5 0,0000064 
b) log
√2
5 128 
c)log2 0,25 
4 
 
d) log2 √64
8
 
10- Resolva as expressões logaritmas: 
a) log2(12 − 2
𝑥) = 2𝑥 
b) (UFRGS) log2(4 − 𝑥) = log2(𝑥 + 1) + 1 
c) log3√3 𝑥 =
1
3
 
d) (FURG-RS) 2log3 log2 𝑥 =
1
2