Unidade IV – Dinâmica da Translação

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4.1 – Força
4.2 – Primeira Lei de Newton
4.3 – Massa
4.4 – Segunda Lei de Newton
4.5 – A Força da Gravidade e o Peso
Física Geral I
Unidade IV – Dinâmica 
da Translação
4.6 – Terceira Lei de Newton
4.7 – Algumas Aplicações das Leis de Newton
4.8 – Força de Atrito
4.9 – Força Centrípeta
Física Geral I
Unidade IV – Dinâmica 
da Translação
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 3Física Geral I
4.1 – Força
4.1.1 – Definição e Classes de Forças.
Força é o agente
físico que ao atuar em
um corpo provoca
neste aceleração e/ou
deformação. Existe
duas classes de forças:
as de contato e as de
campo.
Fig. 4.1 – Exemplos de forças 
aplicadas em objetos dentro 
das caixas pontilhadas.
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4.2 – Primeira Lei de Newton
Fig. 4.2 – O jogo hockey de mesa toma 
vantagem da Primeira Lei de Newton 
para torná-lo mais divertido.
Na ausência de forças externas, um objeto em repouso
permanece em repouso e um objeto em movimento
permanece em movimento (com uma velocidade
constante em linha reta). Este enunciado é conhecido
com lei/princípio da inércia.
Em termos simples: quando nenhuma força atua sobre
um objeto, sua aceleração é nula.
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4.3 – Massa
4.1
Massa é uma propriedade inerente do objeto, sendo
independente do contorno e do método utilizado para
medição.
Massa (grandeza escalar) e peso (grandeza vetorial) são
duas quantidade diferentes.
4.4 – Segunda Lei de Newton
A aceleração de um objeto é diretamente proporcional
à força resultante atuando nele e inversamente
proporcional à sua massa (medida de inércia).
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EA4.1 (Halliday) – Duas forças atuam
em um disco de hockey de 0,3 kg em
uma pista de gelo sem atrito (Fig. 4.3).
Obtenha os módulos da aceleração ax,
ay, a e o ângulo θ entre a e o eixo x.
Fig. 4.3
Sol. EA4.1.:
Tabela 4.1 – Unidades de força, massa e aceleração.
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Fig. 4.3
Cont. Sol. EA4.1.:
θ
O vetor força e aceleração resultantes possuem a
mesma direção e sentido (mesmo o ângulo θ), logo:
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4.5 – A Força da Gravidade e o Peso
4.2
A segunda Lei de Newton permite calcular a aceleração
da gravidade g como o quociente entre a força da
gravidade P (denominada peso) e a massa m do corpo.
A aceleração da gravidade
diminui com o aumento da
altura. Ao nível do mar em
um dos polos da terra,
podemos considerar o valor
aproximado g = 9,8 m/s2.
Fig. 4.4 – Isaac Newton
analisando a queda de uma
maça para elaborar sua 2ª lei.
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 9Física Geral I
Fig. 4.5
EA4.2 – Uma caixa é abandonada do
repouso em um plano inclinado livre
de atrito, da altura h = 1,0 m para
percorrer a distância d = 2,0 m até
atingir a base. Qual o módulo da
aceleração da caixa?
Sol. EA4.2.: Decompondo a força
peso (Fig. 4.6), temos:
Fig. 4.6
4.5 – A Força da Gravidade e o Peso
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4.6 – Terceira Lei de Newton
Se dois objetos interagem, a força F12 exercida pelo
objeto 1 no objeto 2 é igual em módulo e direção, mas
oposta em sentido, à força F21 exercida pelo objeto 2 no
objeto 1.
Fig. 4.7 – Duas situações de aplicação da 3ª lei de Newton: 
(a) Forças de campo e (b) Forças de contato.
(a)
nail = prego
hammer = martelo
(b)
F21
F12
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Sol. EA4.3.:
Bloco 2:
I
II
Bloco 1:
+
P1
T
T
P2
T T
2T
EA4.3 (Halliday) – Calcule a
aceleração e a tração na corda do
sistema conhecido como Máquina de
Atwood (Fig. 4.8). Despreze todos os
atritos e a inércia da polia.
Fig. 4.8
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Cont. Sol. EA4.3.:
A equação I nos permite escrever:
Substituindo ay na equação acima, temos:
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EA4.4 (Halliday) – Uma massa M é mantida
em repouso por uma força F aplicada em
um sistema de polias (Fig. 4.9). As polias
são de massa desprezível e sem atrito.
Encontrar (a) a tensão em cada seção de
corda (T1, T2, T3, T4 e T5) e (b) a magnitude
de F.
Sol. EA4.4.: M está em repouso, logo:
Mg
A polia menor está em repouso, assim:
Fig. 4.9
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Finalmente, a força F aplicada à corda
maior é igual à tensão nessa corda, logo:
Mg
Cont. Sol. EA4.4.: A polia maior também
está em repouso, logo:
Fig. 4.9
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4.8 – Força de Atrito
Um corpo em movimento
sobre uma superfície ou
meio viscoso, há uma
resistência ao movimento
devido à interação com os
contornos, denominada
força de atrito.
A força de atrito nos
permite andar, deslocar
veículos com rodas, etc.
Fig. 4.10
4.3
4.4
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 16Física Geral I
4.8 – Força de Atrito
Fig. 4.11 – Um motorista 
amador com Antilock 
Braking System (ABS) se 
aproxima da performance 
de um piloto profissional.
126 km/h
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 17Física Geral I
EA4.5 (Halliday) – Um bloco é colocado sobre uma
superfície plana inclinada em relação à horizontal (Fig.
4.12). O ângulo de inclinação é aumentado até o bloco
iniciar seu movimento (ângulo crítico θc). Obtenha uma
expressão para o coeficiente de atrito estático µs.
Fig. 4.12 Sol. EA4.5.:
I
II
Dividindo I por II: 4.5
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 18Física Geral I
EA4.6 – Na Fig. 4.13, µk é o coeficiente de atrito
cinético entre o bloco de massa m e o plano inclinado
(ângulo θ em relação à horizontal). Obtenha (a) uma
expressão para o módulo F da força que move o bloco
com velocidade constante, em função de m, g, µk e θ, (b)
Os módulos de F, da reação normal n e da força de atrito
f para mg = 5 N, µk = 0,2 e θ = 25º.
Sol. EA4.6.:
Fig. 4.13
I
II
Substituindo II em I, vem:
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Cont. Sol. EA4.6.: Para os dados fornecidos, temos:
EA4.7 – Um corpo de massa m1 está sobre uma mesa
(coeficiente de atrito cinético µk) e conectado a outro
corpo de massa m2 como na Fig. 4.14. Obtenha (a) uma
expressão para aceleração do sistema em função de m1,
m2, g e µk. Calcule o módulo da aceleração do sistema
para (b) µ1k = 0,01 e (c) µ1k = 0,001. Considere as massas
m1 = 100,0 g e m2 = 1,0 g em ambas as situações.
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Sol. EA4.7.:
P2
T
P1
n1
f1k
T
+
Fig. 4.14
II
I
Substituindo II em I, temos:
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Cont. Sol. EA4.7.:
Para m1 = 100 g, m2 = 1 g e µk = 0,01 temos:
Para m1 = 100 g, m2 = 1 g e µk = 0,001 temos:
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 22Física Geral I
EA4.8 (Halliday) – Três blocos estão conectados em
uma mesa como mostra a Fig. 4.15. A mesa possui
coeficiente de atrito cinético de 0,35. As polias são leves
e estão livres de atrito. Desenhe as forças que atuam em
cada bloco e determine: (a) o módulo e a direção da
aceleração de cada bloco e (b) as tensões nas duas
cordas.
Fig. 4.15
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Sol. EA4.8.:
I
P1
T1
P2
T2n2
f2k
T1
P3
T2
II
III
+
Para polias de
massas desprezíveis e
cordas inextensíveis,
temos:
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Cont. Sol. EA4.8.:
O bloco 2 está em repouso na direção vertical, logo:
Todos os blocos possuem o mesmo módulo da
aceleração (2,31 m/s2).Nos bloco 1 e 3 a direção da
aceleração é vertical (com sentidos opostos) e no bloco 2
é a direção é horizontal (direita para esquerda).
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 25Física Geral I
Cont. Sol. EA4.8.:
A equação I, permite obter a tensão T1:
A equação III, permite obter a tensão T2:
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 26Física Geral I
EA4.9 (Halliday) – Um bloco de alumínio de 2,0 kg e um
bloco de cobre de 6,0 kg estão conectados por uma
corrente leve sobre uma polia sem atrito. Eles estão
sobre uma superfície de aço, como mostra a Fig. 4.16, e
θ = 30º. Esses blocos entram em movimento após algum
mecanismo de contenção ser removido? Se positivo,
determine (a) o módulo da aceleração do sistema e (b) a
tensão na corrente. Se negativo, determine a soma dos
módulos das forças de atrito atuando nos blocos.
Fig. 4.16
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 27Física Geral I
Sol. EA4.9.:
A resultante das
forças, em cada bloco,
na direção y é nula,
logo:
T
P2
f2
n2
P1
Tn1
f1
Bloco 1:
Bloco 2:
x
y
 sistema em repousoI
II
III
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 28Física Geral I
Cont. Sol. EA4.9.:
Os coeficientes de
atrito estático são:
Como a componente tangencial da força peso (P2senθ)
é inferior à soma das forças de atrito estático máximas
(29,4 N), o sistema permanece em repouso.
T
P2
f2
n2
P1
Tn1
f1
x
y
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 29Física Geral I
EA4.9.: (c) Qual seria o máximo ângulo θc que ainda
mantém o sistema em repouso?
Sol. EA4.9 (c).: Combinando I, II e III, obtém-se:
(Equação do 2º grau)
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 30Física Geral I
EA4.9.: (d) Qual o módulo da aceleração do sistema e a
tensão na corrente para θ = 40º?
Sol. EA4.9 (d).:
Analisando a força
resultante na direção x,
temos:
IVBloco 1:
+
VBloco 2:
T
P2
f2
n2
P1
Tn1
f1
x
y
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 31Física Geral I
Cont. Sol. EA4.9 (d).:
O módulo das forças de atrito f1k e f2k são dados por:
Combinado as três equações acima, obtém-se:
VI VII
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 32Física Geral I
Substituindo a equação VI em IV, temos:
Cont. Sol. EA4.9 (d).:
IV
VI
Dessa forma, para um ângulo θ = 40º (superior a θc =
38º) o sistema entra em movimento com aceleração de
1,54 m/s2 (0,16 g) e a tensão na corrente é de 12,29 N.
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 33Física Geral I
4.8 – Força Centrípeta
Fig. 4.17 – (a) Um carro se movendo ao longo de um caminho circular a
uma velocidade constante, experimentando um movimento circular
uniforme. (b) Uma partícula move-se de A para B, seu vetor velocidade
varia de vi para vf. (c) Construção para determinar a direção da
mudança na velocidade ∆v, que ocorre na direção o centro do círculo
para pequenos ∆r.
Definição de
aceleração: I
Semelhança 
de triângulos: II
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 34Física Geral I
4.8 – Força Centrípeta
Isolando ∆v em II e substituindo em I, temos:
A aceleração centrípeta (ar) é calculada pelo limite:
4.6
O módulo da força centrípeta
(Fr) é dada pela 2ª Lei de Newton,
sua direção é radial e o sentido
aponta para o centro da
trajetória circular (Fig. 4.18).
4.7
Fig. 4.18
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 35Física Geral I
EA4.10 (Halliday) – Um carro de 1500 kg inicia uma
curva em uma estrada plana e horizontal (Fig. 4.19). Se
o raio da curva é de 35,0 m e o coeficiente de atrito
estático entre os pneus e o pavimento seco é 0,5,
encontre a velocidade máxima que o veículo pode atingir
e ainda manter sua trajetória curva com sucesso.
Fig. 4.19
Sol. EA4.10.:
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 36Física Geral I
EA4.11 (Halliday) – Um engenheiro civil deseja projetar
uma rampa de saída em curva para uma estrada de tal
forma que um carro não terá que contar com o atrito
para completar a curva sem derrapar. Em outras
palavras, um carro em movimento na velocidade
designada pode contornar a curva mesmo quando a
estrada está coberta de gelo. Para este feito, a pista é
inclinada em direção ao interior da curva (Fig. 4.20).
Suponha que a velocidade designada para trafegar na
rampa é 13,4 m/s ( = 48,24 km/h) e que o raio da curva
é 50,0 m. (a) Em que ângulo deve ser inclinada a curva
em relação a horizontal?
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 37Física Geral I
Sol. EA4.11.:
Como não há atrito,
apenas a força peso e a
reação normal atuam
sobre o carro, logo as
componentes da reação
normal são iguais à força
centrípeta e ao peso.
Fig. 4.20
÷
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 38Física Geral I
EA4.12 – Um motoqueiro
de 65 kg monta em sua
moto 35 kg e estão
prontos para realizar o
número do globo da
morte. (a) Obtenha a
velocidade mínima (km/h)
para realizar o loop
vertical e (b) a reação
normal em cada roda da
moto (supostas iguais) nos
pontos mais elevado e
mais baixo do globo para
uma velocidade constante
de 32,4 km/h.
Fig. 4.21
Sol. Prob17.:
0
4.8
20
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 39Física Geral I
Cont. Sol. EA4.12.: Substituindo os valores numéricos
fornecidos na equação 4.8, temos:
Para a velocidade de 32,4 km/h (9 m/s) a reação
normal em cada roda no topo do globo é calculada por:
Na base do globo temos:
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 40Física Geral I
Prob4.1 (Halliday): Um carro de montanha-russa tem
massa de 500 kg, quando totalmente carregado com os
passageiros (Fig. 4.22). (a) Se o carro tem uma
velocidade de 20,0 m/s no ponto A, que força é exercida
pelos trilhos sobre o carro neste momento? (b) Qual é a
velocidade máxima que o carro pode ter no ponto B e
ainda permanecer nos trilhos?
Fig. 4.22
[resp.: (a) 2,49 x 104 N 
para cima e (b) 12,1 m/s]
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 41Física Geral I
Prob4.2 (Halliday): A Fig. 4.23 mostra uma roda
gigante que gira quatro vezes a cada minuto e tem um
diâmetro de 18,0 m. (a) Qual é a aceleração centrípeta
de uma cadeira? Que força exerce o assento em uma
criança de 40,0 kg (b) no ponto mais baixo do passeio e
(c) no ponto mais alto do passeio? (d) Que força
(magnitude e direção) a cadeira exerce sobre criança
quando a mesma está a meio caminho entre a parte
superior e a inferior? Fig. 4.23
[resp.: (a) 1,58 m/s2; (b) 455 N; 
(c) 329 N e (d) 397 N para cima 
e 9,15º para o interior]
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 42Física Geral I
Prob4.3 (Halliday): Um parque de diversões constituído
por uma elemento de rotação circular de 8,00 m de
diâmetro, plataforma a partir da qual assentos de 10,0
kg estão suspensos ao final de correntes de 2,50 m e
massa desprezível, como mostra a Fig. 4.24.
Fig. 4.24Ao girar, as cadeias
fazem um ângulo θ =
28,0° com a vertical. (a)
Qual é a velocidade de
cada cadeira? (b) Desenhe
um diagrama de corpo
livre de uma criança de
40,0 kg sentada na cadeira
em movimento e encontre
a tensão na corrente. [resp.: (a) 5,19 m/s]
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 43Física Geral I
Prob4.4 (Halliday): Um parque de
diversões é constituído por um grande
cilindro vertical que gira sobre seu
eixo rápido o suficiente para que
qualquer pessoa em seu interior seja
mantida contra a parede quando o
piso de apoio é removido (Fig. 4.25). O
coeficiente de atrito estático entre a
pessoa e a parede é µs, e o raio do
cilindro é R. (a) Mostre que o período
máximo de revolução necessário para
impedir a queda da pessoa é dado por:
Fig. 4.25
[resp.: (b) 2,54 s; 23,6 revoluções/min]
(b) Obter o valor numérico de T para R = 4,00 m e µs =
0,400. Quantas voltas por minuto o cilindro realiza?
25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 44Física Geral I
Prob4.5 (Halliday): Umaeromodelo de 0,750 kg de massa
voa em um círculo horizontal preso à extremidade de um
fio de controle de 60,0 m, com uma velocidade de 35,0
m/s. Calcule a tensão no fio se o mesmo faz um ângulo
constante de 20,0° com a horizontal.
Fig. 4.26
[resp.: 12,8 N]
As forças exercidas sobre
o avião são a tensão do fio
de controle, seu próprio
peso e sustentação
aerodinâmica, que atua em
um ângulo de 20,0°
interior em relação à
vertical, como na Fig. 4.26.
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25/02/2012Prof. MSc. Edson S. C. Silva 45Física Geral I
Referências Bibliográficas
 Halliday, D.; Resnick, R.; Krane, K. S.;
Física, Vol. 1 – LTC, 1996, 4ª Ed.
 Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J.
Fundamentals of Physics Extended, Wiley, 2008, 8th Ed.
 Tipler, Paul. A.; Física, Vol. 1 – LTC, 1999, 4ª Ed.
www.feiradeciencias.com.br
www.walter-fendt.de/ph14br/