Unid. VII Energia Potencial e Conservação da Energia

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7.1 – Energia Potencial 
7.2 – Forças Conservativas e Não Conservativas 
7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
7.4 – Trabalho de Forças Não Conservativas 
Física Geral I – Unid. VII 
Energia Potencial e 
Conservação da Energia 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 2 Física Geral I 
7.1 – Energia Potencial 
 Em um sistema composto por dois ou mais objetos que 
exercem forças entre si, se o arranjo do sistema mudar, 
então a energia potencial do sistema também mudará. 
7.1.1 – Energia Potencial Gravitacional 
 O produto entre a magnitude da força gravitacional mg 
atuando sobre um objeto e a altura y do objeto é um 
parâmetro físico importante definido como energia 
potencial gravitacional Ug e está associada à energia 
potencial do sistema formado pelo objeto e pela Terra. 
U
g
=mgy 7.1 
2 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 3 Física Geral I 
7.1 – Energia Potencial 
 Em um sistema que um dos corpos (Terra) possui massa 
muito maior que o outro (objeto), o objeto massivo pode 
ser considerado estacionário, e a energia cinética do 
sistema concentrada no objeto mais leve. 
W
g
=mgy
i
−mgy
f 7.2 
W
g
=U
i
−U
f
= −(U
f
−U
i
) = −ΔU
g 7.3 
 O trabalho Wg realizado pela força 
gravitacional mg quando um objeto 
sofre um deslocamento d para baixo 
é dado por: 
Fig. 7.1 
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7.1 – Energia Potencial 
W
s
=
kx
i
2
2
−
kx
f
2
2
7.4 
 A energia potencial elástica Us 
do sistema é definida por: 
7.1.2 – Energia Potencial Elástica 
 Em um sistema constituído por um bloco e uma mola 
(Fig. 7.2), a força exercida pela mola sobre o bloco é dada 
pela lei de Hooke Fs = – kx, e o trabalho realizado é: 
U
s
= kx
2
2
7.5 
W
s
=U
i
−U
f
= −ΔU
s 7.6 
Fig. 7.2 
3 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 5 Física Geral I 
7.2 – Forças Conservativas e Não Conservativas 
 As forças conservativas têm duas propriedades: 
 P1 – O trabalho realizado sobre uma partícula que se 
move entre dois pontos é independente do caminho 
percorrido pela partícula e depende apenas dos pontos de 
partida e chegada. 
 P2 – O trabalho realizado por uma força conservativa 
sobre uma partícula movendo-se através de qualquer 
caminho fechado (ponto de início e fim idênticos) é zero. 
 A força gravitacional e a força elástica são exemplos 
de forças conservativas. 
7.2.1 – Forças Conservativas 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 6 Física Geral I 
7.2 – Forças Conservativas e Não Conservativas 
 Em geral, o trabalho Wc realizado por um força 
conservativa sobre um objeto é igual ao negativo da 
variação da energia potencial. 
W
c
=U
i
−U
f
= −ΔU
c 7.7 
 Uma força é não conservativa se ela causa variação na 
energia mecânica. 
 A energia mecânica E é definida como a soma da 
energia cinética K e energia potencial U. 
7.2.2 – Forças Não Conservativas 
E = K +U 7.9 
W
c
= F
x
dx
xi
x f∫ 7.8 
4 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 7 Física Geral I 
7.2 – Forças Conservativas e Não Conservativas 
 A força de atrito é um exemplo de força não 
conservativa. Dependo do percurso tomado entre os 
pontos A e B da Fig. 7.3, o trabalho realizado será: 
W
AB
= − f
k
d [reta]
Fig. 7.3 
W
AB
= − f
k
(πd /2) [semi-círculo]
 A perda de energia mecânica 
devido à força de atrito cinético 
depende do caminho tomado 
quando o livro é movido de A 
para B. A perda de energia 
mecânica é maior ao longo do 
semicírculo que ao longo da reta. 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 8 Física Geral I 
7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
 A energia mecânica total permanece constante em 
qualquer sistema isolado de corpos que interagem 
somente através de forças conservativas. 
K
i
+U
i
= K
f
+U
f 7.10 
 Para mais de uma força conservativa atuando em um 
corpo dentro do sistema, temos: 
K
i
+ U
i∑ = K f + U f∑ 7.11 
 Um corpo conectado a uma mola oscilando na vertical 
fica sujeito a duas forças conservativas, logo: 
K
i
+U
gi
+U
si
= K
f
+U
gf
+U
sf
5 
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7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
Fig 7.4 – Cataratas do Iguaçu. A energia potencial gravitacional do 
sistema água-Terra quando a água está no topo das cataratas é 
convertida em energia cinética à medida que a água começa a cair. 
Como a água chega ao topo do penhasco? Em outras palavras, qual 
foi a fonte original de energia potencial gravitacional quando a água 
estava no topo? 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 10 Física Geral I 
7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
 Quick quiz 7.1: Uma esfera está 
ligada a uma mola leve suspensa na 
vertical (Fig. 7.5). Quando deslocada 
abaixo de sua posição de equilíbrio e 
liberada, a esfera oscila para cima e 
para baixo. Se a resistência do ar é 
negligenciada, a energia mecânica 
total do sistema (esfera com mola e 
Terra) é conservada? Quantas formas 
de energia potencial estão presentes 
nesta situação? 
Fig. 7.5 
6 
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7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
 Quick quiz 7.2: Três esferas 
idênticas são lançadas do alto de um 
edifício, com ângulos diferentes, mas 
todas com a mesma velocidade 
inicial. A primeira é lançada na 
horizontal, a segunda em um ângulo 
acima da horizontal, e a terceira, em 
um ângulo abaixo da horizontal (Fig. 
7.6). Desprezando a resistência do ar, 
classificar as velocidades das esferas 
no instante em que atingem o solo. 
Fig. 7.6 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 12 Física Geral I 
7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
 EA7.1: Uma bola de massa m é 
abandonada de uma altura h acima 
do solo como ilustrado na Fig. 7.7. 
Desprezando a resistência do ar, 
determine a velocidade da bola a 
uma altura y acima do solo. 
 Sol EA7.1.: 
K
i
+U
i
= K
f
+U
f
∴v
f
= 2g(h − y)
⇒ 0 +mgh =
mv
f
2
2
+mgy
Fig. 7.7 
7 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 13 Física Geral I 
7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
 EA7.2: Uma partícula de massa m = 5,00 kg é solta do 
ponto A e desliza na pista sem atrito (Fig. 7.8). 
Determine (a) a velocidade da partícula nos pontos B e C 
e (b) o trabalho líquido realizado pela força da gravidade 
no movimento da partícula de A para C. 
!
Fig. 7.8 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 14 Física Geral I 
7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
 Sol. EA7.2: Aplicando a conservação da energia 
mecânica nos pontos A e B, vem: 
K
A
+U
A
= K
B
+U
B ⇒ 0 +mgyA =
mv
B
2
2
+mgy
B
v
B
= 2g(y
A
− y
B
) = 2 × 9,8 × (5,00 − 3,20) ∴vB ≅ 5,94 m/s
 Analogamente, para os ponto A e C, temos: 
v
C
= 2g(y
A
− y
C
) = 2 × 9,8 × (5,00 − 2,00) ∴vC ≅ 7,67 m/s
W
AC
= ΔK =
mv
C
2
2
−
mv
A
2
2
= 5 × 7,67
2
2
− 0 ∴WAC ≅147 J
8 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 15 Física Geral I 
7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
 EA7.3: Um pêndulo consiste de 
uma esfera de massa m ligado a 
um cabo leve de comprimento L 
(Fig. 7.9). A esfera é liberada do 
repouso, quando a corda faz um 
ângulo θA com a vertical. O pivô 
em P está livre de atrito e não há 
resistência do ar. (a) Encontre a 
velocidade da esfera quando ela 
está no ponto mais baixo B. (b) 
Qual é a tensão na corda em B? 
Fig. 7.9 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 16 Física Geral I 
7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
 Sol. EA7.3:Seja yP = 0, temos yA = – LcosθA e yB = – L. 
Aplicando a conservação da energia mecânica em A e B: 
K
A
+U
A
= K
B
+U
B ⇒ 0 +mgyA =
mv
B
2
2
+mgy
B
v
B
= 2g(y
A
− y
B
) = 2g[−L cosθ
A
− (−L )]
F
r∑ = TB −mg =mar =
mv
B
2
R
T
B
=
m[2gL(1− cosθ
A
)]
L
+mg ∴TB =mg(3 − 2cosθA )
∴v
B
= 2gL(1− cosθ
A
) I 
T
B
=
mv
B
2
L
+mg II 
I 
II 
9 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 17 Física Geral I 
7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
 EA7.4: Um bloco de 0,250 kg é colocado sobre uma mola 
leve, vertical, de constante k = 5000 N/m e é empurrado 
para baixo de forma que a mola é comprimida 0,100 m. 
Logo depois, o bloco é liberado e viaja para cima 
perdendo o contato com a mola. Até que altura máxima 
acima do ponto de lançamento o bloco pode subir? 
 Sol. EA7.4: Sejam os pontos A (base) e B (topo), vem: 
K
A
+U
A
= K
B
+U
B
⇒ 0 + kx
2
2
= 0 +mgy
B
⇒ y
B
= kx
2
2mg
⇒ y
B
= 5000 × 0,100
2
2 × 0,250 × 9,8
= 50,0
4,9
∴y
B
=10,2 m
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 18 Física Geral I 
7.4 – Trabalho de Forças Não Conservativas 
 Se um livro se move sobre um plano inclinado com 
atrito, há uma alteração na energia potencial 
gravitacional do sistema livro-Terra e a variação de 
energia mecânica do sistema devido à força de atrito 
cinético fk é igual a –fkd. 
 Em tais situações, o trabalho realizado pela força de 
atrito cinético é igual à variação de energia mecânica 
sofrida pelo sistema. 
ΔE = ΔK + ΔU = − f
k
d 7.12 
ΔE = E
f
− E
i
E
f
= E
i
− f
k
d 7.13 
10 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 19 Física Geral I 
7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
 EA7.5: Uma caixa de 3,00 kg desliza do repouso para 
baixo de uma rampa de 1,00 m de comprimento e 
inclinada de 30,0° (Fig. 7.10). A força de atrito é 5,00 N, 
e a caixa continua a se mover uma distância curta no 
chão plano após deixar a rampa. Usar métodos de energia 
para obter a velocidade da caixa na base da rampa. 
Fig. 7.10 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 20 Física Geral I 
7.3 – Conservação da Energia Mecânica 
 Sol. EA7.5: 
E
i
= K
i
+U
i
= 0 +U
i
=mgy
i
ΔE = − f
k
d = −5,00 ×1,00 = −5,00 J
E
i
= 3,00 × 9,80 × 0,500 =14,7 J
E
f
= K
f
+U
f
= K
f
+ 0 =
mv
f
2
2
=1,5v
f
2
ΔE = E
f
− E
i ⇒ − 5,00 =
mv
f
2
2
−14,7
⇒1,5v
f
2 =14,7 − 5,00 ∴v
f
= 2,54 m/s
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19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 21 Física Geral I 
Problemas 
 Prob7.1 (P15 Halliday): Uma pérola desliza sem atrito 
seguindo uma trajetória terminada por um loop vertical 
(Fig. 7.11). Se a pérola é liberada de uma altura h = 3,50R, 
qual é a sua velocidade no ponto A? Qual a força sobre 
ela, se sua massa é 5,00 g? . [v = (3gR)1/2 e 0,098 N para baixo] 
!
Fig. 7.11 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 22 Física Geral I 
!
Problemas Prob7.2 (P21 Halliday): Duas 
massas estão ligadas por uma 
corda leve que passa através de 
uma polia leve sem atrito (Fig. 
7.12). A massa de 5,00 kg é 
solta do repouso. Usando a lei 
de conservação de energia, (a) 
obter a velocidade da massa de 
3,00 kg no mesmo instante em 
que a massa de 5,00 kg atinge o 
solo e (b) obter a altura máxima 
que a massa 3,00 kg atinge. 
[(a) 4,43 m/s (b) 5,00 m] 
Fig. 7.12 
12 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 23 Física Geral I 
Problemas 
 Prob7.3 (P31 Halliday): O coeficiente de atrito entre o 
bloco de 3,00 kg e a superfície na Figura 7.13 é 0,400. O 
sistema inicia o movimento a partir do repouso. Qual é a 
velocidade da esfera de 5,00 kg após ter descido 1,50 m? 
[3,74 m/s ] 
!
Fig. 7.13 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 24 Física Geral I 
Problemas 
 Prob7.4 (P57 Halliday): Um bloco de 10,0 kg é solto do 
ponto A (Fig. 7.14). A pista está livre de atrito, exceto 
para o trecho entre os pontos B e C, de comprimento 6,00 
m. O bloco percorre a pista, colide em uma mola de 
constante elástica k = 2250 N/m, e a comprime de 0,300 
m em relação à sua posição de equilíbrio antes de atingir 
o repouso momentaneamente. Determine (a) a velocidade 
em B e (b) o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e 
a superfície áspera localizada entre B e C. [(a) 7,668 m/s (b) 0,327] 
!
Fig. 7.14 
13 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 25 Física Geral I 
Problemas 
 Prob7.5 (P63 Halliday): Um bloco de 0,500 kg é 
empurrado contra uma mola horizontal de massa 
desprezível até que a mesma seja comprimida de um 
distância Δx (Fig. 7.15). A constante elástica da mola é 
450 N/m. Quando liberado, o bloco percorre um trecho 
horizontal sem atrito até o ponto B, na parte inferior de 
uma faixa vertical circular de raio R = 1,00 m e continua 
a subir a trilha. A velocidade do bloco na parte inferior da 
pista é vB = 12,0 m/s, e o bloco sofre uma força de atrito 
média de 7,00 N enquanto desliza para cima da pista. (a) 
Qual o valor de Δx? (b) Que velocidade você pode prever 
para o bloco no topo do círculo? (c) O bloco realmente 
pode chegar ao topo da pista, ou ele irá cair antes de 
chegar ao topo? [(a) 0,400 m (b) 4,10 m/s (c) O bloco permanece na pista] 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 26 Física Geral I 
Problemas 
!
Fig. 7.15 
14 
19/08/13 Prof. MSc. Edson S. C. Silva 27 Física Geral I 
Referências Bibliográficas 
v Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J. 
Fundamentals of Physics Extended, Wiley, 2008, 8th Ed.