Aula_N08

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Cálculo a uma Variável
Sinésio Pesco
CAP 7 - Derivada (Regra da Cadeia, Exponencial e 
Logaritmo)
Regra da Cadeia
> restart; 
D(f@g)(x);
Exemplo:
 Considere f(x) = ex e g(x) = ( )sin x
> f := x -> exp(x);
> g := x -> sin(x);
> (g@f)(x);
> D(g@f)(x);
> (f@g)(x);
> D(f@g)(x);
Funções f(x) = xr
> restart; 
with(plots): 
animate(plot,[x^a, x = -4..4], a = 0..5, view=[-4..4,-4..4]);
> animate(plot,[x^a, x = -4..4], a = -3..0, 
view=[-4..4,-4..4]);
Exercícios Resolvidos
Exercício 1: Considere f(x) = ( )ln x e g(x) = − + 3 x4 x3 5. Exiba as funções (fog)(x) e (
gof)(x). Calcule (fog)' (x) e (gof)' (x). Verifique com auxilio do maple o gráfico de (fog
)(x) e (fog)'(x). Qual o domínio desta função ? Repita o mesmo exercício trocando a 
função g por g(x) = x .
Solução:
> f := x -> ln(x);
> g := x -> 3*x^4-x^3+5;
> (f@g)(x);
> (g@f)(x);
> D(f@g)(x);
> D(g@f)(x);
> plot((f@g)(x),x=-10..10);
Exercícios Propostos
Exercício 1: Considere = ( )f x 3x e = ( )g x − 1 x. Exiba as funções ( )fog x e ( )gof x . 
Qual o domínio destas funções? Verifique os seus gráficos utilizando o maple. 
Identidique as transformações ocorridas no gráfico da f após cada composição. Calcule 
( fog)'(x) e (gof)'(x). Verifique com auxilio do maple o gráfico destas derivadas. 
Exercício 2: Considere = ( )f x ex e = ( )g x − 3 x2 18 x. Exiba as funções ( )fog x e 
( )gof x . Calcule ( fog)'(x) e (gof)'(x). Verifique com auxilio do maple o gráfico de 
( )fog x e ( fog)'(x). Qual o domínio desta função ?
Exercício 3: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de = ( )g x ( )ln x em = x 1
. Faça o gráfico da reta e da função g simultaneamente. Acrescente a função = g
( )−1
ex e 
sua reta tangente em = x 0.
Exercício 4: Considere = ( )f x ( )cos x e = ( )g x + 3 x 1. Exiba as funções ( )fog x e 
( )gof x . Qual o domínio destas funções? Verifique os seus gráficos utilizando o maple. 
Identifique as transformações ocorridas no gráfico da f após cada composição. Calcule ( 
fog)'(x) e (gof)'(x). Verifique com auxilio do maple o gráfico destas derivadas. 
Exercício 5: Considere = ( )f x ( )arctg x (obs: no maple corresponde a funcao 
 = ( )f x ( )arctan x ) e = ( )g x ex. Exiba as funções ( )fog x e ( )gof x . Qual a imagem de 
( )fog x e ( )gof x ? Calcule ( fog)'(x) e (gof)'(x). Verifique com auxilio do maple o 
gráfico de ( )fog x e ( fog)'(x). Qual o domínio desta função ?
Exercício 6: Explique o resultado da seguinte animação:
> with(plots):
> animate(plot,[ln(x^r),x=0..4],r=-5..5);
Exercício 7: Explique o resultado da seguinte animação:
> with(plots):
> animate(plot,[exp(a*x),x=-2..2],a=-2..2,view=[-2..2,-1..10]);
Exercício 8: Explique o resultado da seguinte animação:
> with(plots):
> animate(plot,[{a^x,log[a](x)},x=-4..4],a=0..3,view=[-4..4,-5..5]);
Exercício 9: Determine um valor para a tal que a equação = ax ( )loga x possua duas 
soluções. 
Exercício 10: Explique o resultado da seguinte animação:
> with(plots):
> animate(plot,[{arctan(x),1/(1+x^2),1/(1+a^2)*(x-a)+arctan(a)},x=-7..7],a=-7..7,
view=[-7..7,-2..2]);
Exercício 11: Explique o resultado da seguinte animação:
> with(plots):
> animate(plot,[sin(a*x),x=-4..7],a=1..3,view=[-4..7,-2..2]);
> 
>