Operadores Lineares

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Milene Pimenta 
As transformações lineares T:V V de um 
espaço sobre si mesmo são chamadas de 
Operadores Lineares. 
Operadores Inversíveis: 
Quando o operador linear T admite a inversa 
T-1, diz -se que T é inversível, invertível, 
regular ou não-singular. 
Os seguintes operadores lineares não são 
inversíveis: 
1) T(x,y) = (x+3y, 5x + 15y) 
2) T(x,y, z) = ( x – y, x – 3z, 2x -2y ++3z) 
3) T(x,y,z) = ( x+ 3y + z, x – 2y-2z, 2x+y -z) 
Propriedades: 
1)T o T
-1 = I 
2)T é inversível  N(T) = {0} 
3)Se T é inversível, T transforma base em 
base. 
4)T é inversível  det(T) 0 
 
 
Mudança de Base: 
Sejam A={u 1,...,un } e B={v 1,...,v n }, 
respectivamente, bases do espaço vetorial V. 
Dado um vetor v  V, podemos escrevê -lo do 
seguinte modo na base A: 
V = x1u1 + x2u2 + ... + xnun 
Analogamente, podemos escrever v na base 
B, da seguinte forma: 
v = y 1 v 1 + y2 v 2 + ... + yn v n 
Como {v 1,...,v n } é uma base de V, podemos 
escrever cada vetor u i como combinação 
linear dos v j , do seguinte modo: 
u1=a11 v 1 + a21 v 2 +...+ ai1 v i +...+ an1 v n 
u2=a12 v 1 + a22 v 2 +...+ ai1 v i +...+ an2 v n 
... 
u j =a1j v 1 + a2j v 2 +...+ aij v i +...+ anj v n 
 ... 
un=a1n v 1 + a2n v 2 +...+ ain v i +...+ ann v n 
A matriz mudança de base A para B é a 
seguinte matriz: 
 
 
 
 













nnnn
n
n
A
B
aaa
aaa
aaa
I
...
.................
...
...
21
22221
11211
OBS: 1) 
 
 
 2) A matriz é também 
conhecida como matriz de transição de A 
para B e corresponde a matriz do operedor 
linear identidade. 
 













nk
k
k
Bk
a
a
a
u
...
2
1
 ABI
Matrizes Semelhantes: Seja T :V V um 
operador linear. As matrizes [T]A e [T]B são 
chamadas matrizes semelhantes por 
representarem o mesmo operador linear em 
bases distintas. 
 
Relação entre Matrizes Semelhantes: 
Seja T: V  V um operador linear e A e B 
bases de V. Então : 
Se M = 
OBS: Matrizes semelhantes possuem o 
mesmo determinante. 
 
        BAABAB ITIT
1

      MTMTI AB
B
A
1
Matriz Ortogonal: Uma matriz quadrada A é 
ortogonal se e somente se A-1 = At . 
Propriedades: 
 a) Se A é uma matriz ortogonal então detA =  1. 
 b) Se A é uma matriz ortogonal e det A = 1 então A 
é uma matriz rotação . 
 c) Uma matriz A é ortogonal sse as colunas(ou 
linhas) de A são vetores ortonormais. 
 
Operador Ortogonal: Seja T: V V um 
operador linear e B uma base ortonormal de 
V. T é ortogonal se e somente se [T] B é uma 
matriz ortogonal. 
 
 
Exemplo: O operador linear: 
 T( x, y) = (3x/5 + 4y/5, -4x/5 + 3t/5) é 
operador ortogonal. 
Propriedades: Seja T: V V um operador linear 
ortogonal. 
a) T preserva o produto escalar, isto é, u.v = T(u).T(v ), u,v 
V. 
b) T preserva o módulo de cada vetor, isto é ,| T(u) |=| u |, 
uV . 
 Conseq : T preserva o ângulo dos vetores e T 
transforma bases ortonormais em bases ortonormais 
Operador Linear Simétrico : 
Seja T: V V um operador linear e B uma 
base ortonormal de V. T é um operador 
linear simétrico se e somente se [T] B é uma 
matriz simétrica. 
Propriedade: Se T: V V um operador linear 
simétrico então u.T(v ) = v.T(u), u,v V .