Aulão Revisão AV2 _ Algebra linear-convertido

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REVISÃO AV2
ÁLGEBRA LINEAR
Álgebra Linear
Profº Milton Alexandre
TÓPICO 3.1 – ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS
conjunto V.
Questão 1 - O que são espaços e subespaços vetoriais?
Explicação:
Espaço Vetorial é todo conjunto V, cujos elementos são vetores, que satisfaz aos seguintes requisitos:
Dados dois vetores u e v, que pertencem ao conjunto V, necessariamente, a soma vetorial (u + v) também pertence ao conjunto V.
u , v	∈	V	→	(u+ v)	∈	V
Dado um vetor u, pertencente ao conjunto V, a multiplicação de u por um escalar k, que pertence ao conjunto dos reais, k * u, necessariamente, também pertence ao
u	∈	V ,	k	∈	ℝ	→	k ∗u	∈	V
Um espaço vetorial que seja munido de um produto interno entre vetores é chamado espaço vetorial euclidiano. Ou seja, dados dois vetores u e v, é possível definir o número real que é resultado do produto <u,v>. No caso em queV = ℝ2 , u = (x,y), v = (z,w), o produto interno usual é dado por <u,v> = (x * z) + (y * w). Assim, é possível
definir a norma de um vetor u como |u| = √⟨ u , u⟩ .
TÓPICO 3.1 – ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS
Questão 1 – O que são espaços e subespaços vetoriais?
Explicação:
Subespaço Vetorial, de um espaço vetorial V, é todo suconjunto S, de V, que, além de satisfazer aos requisitos exigidos pelos espaços vetoriais, também satisfaz aos seguintes requisitos:
O vetor nulo de V está inserido no conjunto S.
0	∈	S
Dados dois vetores u e v, pertencentes a S, e dois escalares k e g, pertencentes ao consjunto dos reais, necessariamente, (k * u + g * v) também pertence a S.
u , v	∈	S ,	k , g	∈	ℝ	→	(k∗u+ g∗v )	∈	S
OBS: É importante lembrar que, apesar do nome, o conceito de espaço vetorial também está associado a outros tipos de objetos matemáticos. Por exemplo, o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, o conjunto dos polinômios de grau 3, etc.
TÓPICO 3.2 – DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEARES
podem
ser	considerados
Questão	2	–	Quando	um	ou	mais	vetores linearmente independente ou dependentes?
Explicação:
É fundamental para compreender o conceito de independência (ou dependência) linear, entender primeiramente o conceito de combinação linear. Um vetor u qualquer, pertencente a um espaço vetorial V, é dito uma combinação linear dos vetores v1,
v2, …, vn, também pertencentes a V, quando é válida a relação:
u	=	k1∗v1+k2∗v2+⋯+ k n∗vn
onde k1, k2, …, kn são números reais não-nulos.
Baseando-se na relação acima, existem três situações em que se pode definir se um conjunto de vetores é linearmente independente ou dependente:
Se u ≠ 0, então k1*v1 + k2*v2 + … + k2*v2 = u e os vetores v1, v2, …, vn, são ditos
lineramente dependentes (LD);
Se u = 0, então k1*v1 + k2*v2 + … + k2*v2 = 0. Nesse caso, os vetores v1, v2, …, vn
são ditos lineramente dependentes (LD), se pelo menos um dos k1, k2, …, kn for diferente de zero;
Se u = 0, então k1*v1 + k2*v2 + … + k2*v2 = 0. Nesse caso, os vetores v1, v2, …, vn
são ditos linearmente independentes (LI) se todos os k1, k2, …, kn forem iguais a zero.
TÓPICO 3.3 – BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Questão 3 – Como definir uma base em um espaço vetorial?
Explicação:
Uma base em um espaço vetorial V, é um subconjunto B, não vazio, de V, cujos elementos podem ser usados para representar todos os vetores de V. Para ser uma base de V, os elementos do subconjunto B devem satisfazer às condições:
Os elementos de B são lineramente independentes (LI).
O conjunto B gera o espaço vetorial V.
A condição (2) significa que B é um sistema de geradores do espaço V, ou seja, todos os vetores de V podem ser escritos como uma combinação linear dos vetores de B.
É possível concluir algumas propriedades do conjunto B:
Se V é um espaço vetorial e possui uma base com n vetores, V tem dimensão n.
Qualquer conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele gerado.
Se B = {v1, v2, …, vn} for base de um espaço vetorial V, todo conjunto com mais
den vetores em V é LD.
Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.
TÓPICO 3.3 – BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Questão 4 – Como realizar uma mudança entre diferentes bases de um espaço vetorial?
Explicação:
Dadas duas basesw A e B de um espaço vetorial V, é possível estabelecer uma relação entre as componentes de um vetor v, escritas na base A, e as componentes do mesmo vetor escritas na base B.
Para facilitar, considere o caso em que dim V = 2, ou seja, os conjuntos A = {v1, v2} e B
= {w1, w2} são bases de V. Dado um vetor v em V, este será uma combinação linear dos vetores das bases:
e
, onde
é a matriz de mudança da base A para a
Logo, temos que base B.
Base A: vA = x1v1 + x2v2 ou vA = ( x1 , x2) =
1
2
[ ]
Base B: vB = y1w1 + y2w2 ou v
B
1	2
= ( y , y ) =
1
y y
2
x x
[ ]
vB = M v
A
M=
11
a	a
12
a21	a22
[	]
{
1
y	= a11 x1+ a12 x2
y
2
= a21 x1 +a22 x2
TÓPICO 4.1 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Questão 5 – Como definir uma transformação linear?
Explicação:
Uma função (ou aplicação) cujo domínio e contradomínio são espaços vetoriais reais é chamada de função vetorial ou transformação vetorial. Sejam, então, V e W espaços vetoriais. Uma transformação vetorial f : V → W é chamada transformação linear de V em W, se, para ∀ u , v ∈ V e ∀ k ∈ ℝ :
f(u+v) = f(u) + f(v)
f(ku) = kf(u)
Assim,	é	possível	definir	alguma	propriedades	importantes	das	transformações lineares:
Chama-se núcleo de uma transformação linear	f : V → W	, N(f), o conjunto de todos os vetores de V que são transformados no 0 de W.
Chama-se imagem de uma trasnformação f : V → W , Im(f), o conjunto de vetores em W que são imagens de vetores v em V.
O núcleo da transformação f é um suespaço vetorial de V e a imagem de f é um
subespaço vetorial de W.
Se V é um espaço vetorial de dimensão finita, dim N(f) + dim Im(f) = dim V.
TÓPICO 4.1 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Questão	6	–	Como	obter	a	representação	matricial	de	uma	transformação linear?
Explicação:
Sejam	uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W.
Considerando o caso em que dim V = 2, dim W = 3 e A = {v1, v2} e B = {w1, w2, w3} são bases de V e de W, respectivamente. Dado um vetor v de V, este pode ser expresso na base A como vA = x1v1 + x2v2, enquanto a imagem de v, pode ser expressa na base B
como f(v)B = y1w1 + y2w2 + y3w3. Por outro lado, temos que
é denominada matriz de f em relação às
Que nos fornece f(v)B = TvA, onde bases A e B.
OBS: A matriz T é de ordem 3 x 2 pois dim V = 2 e dim W = 3. Se a transformação linear tivesse dim V = n e dim W = m, T seria uma matriz de ordem m x n.
f : V → W
{
1
y = a11 x1 +a12 x2 y2 = a21 x1 +a22 x2 y3 = a31 x1 +a32 x2
a	a
11	12
T= a21
a22
a31	a32
[	]
TÓPICO 4.1 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Diltações e Contrações:
Questão 7 – O que são transformações lineares planas?
Explicação:
Transformação linear plana é toda transformação linear cujo domínio e o contradomínio são iguais a ℝ2 . As principais transformações lineares planas são:
Refexões: f : ℝ2 →ℝ2 ,	f (x , y)=( x ,− y )
f : ℝ2 →ℝ2 ,	f (x , y)=(− x , y )
(com relação ao eixo x ) (com relação ao eixo y )
f : ℝ2 →ℝ2 ,	f (x , y)=(− x ,− y ) (com relação à origem )
f : ℝ2 →ℝ2 ,	f (x , y)=( y , x)	(com relação à reta y = x )
f : ℝ2 →ℝ2 ,	f (x , y)=(− y ,− x ) (com relação à reta y = -x )
f : ℝ2 →ℝ2 , f : ℝ2 →ℝ2 , f : ℝ2 →ℝ2 ,
f (x , y)=k ( x , y )=(kx , ky ), f (x , y)=(kx , y ),	k≥0
f (x , y)=( x , ky ),	k≥0
k ∈ℝ	(na direção do vetor ) (na direção do eixo x ) (na direção do eixo y )
f : ℝ2 →ℝ2 ,	f (x , y)=( x +ky , y )
Cisalhamentos: f : ℝ2 →ℝ2 ,
f (x , y)=( x , y + kx )
(na direção do eixo x ) (na direção do eixo y )
2	2
Rotações: f θ : ℝ →ℝ ,	f θ ( x , y )=( x cos θ− y sen θ , x sen θ + y cos θ)	(no sentido anti-horário )
TÓPICO 4.2 – OPERADORES LINEARES
(3) Um operador linear	é dito ortogonal se preserva o módulo de cada vetor,
Questão 8 – O que são operadores lineares e quais suas propriedades?
Explicação:
As transformações lineares de um espaço vetorial V em si mesmo, isto é, f : V → V , são chamadas operadores lineares sobre V. Um operador f : V → V associa a cada vetorv de V, um vetor f(v), em V. É possível definir algumas propriedades dos operadores lineares:
Se por meio de outro operador g for possível inverter a correspondência, de tal modo que a cada vetor transformadao f(v) se associe o vetor de partida v, diz-se que g é o operador inverso de f, ou seja, g = f-1. Neste caso f-1(f(v)) = v.
Seja f : V → V , um operador linear. Se A e B são bases de V e TA e TB as matrizes que representam o operador f nas bases A e B, respectivamente, então TB = Q-1TAQ, sendo Q a matriz de mudança de base de B para A.
f : V → V
isto é, se para qualquer v em V: |f(v)| = |v|.
(4) Diz-se que um operador linear	f : V → V	é simétrico se a matriz A que o representa numa base ortonormal é simétrica, isto é, se A = At.
TÓPICO 4.3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES
Considere um operador linear	cuja matriz canônica é
Os autovalores de f	são as soluções da equação característica de f
Já os autovetores de f serão obtidos substituindo cada valor de λ na equação
e resolvendo o respectivo sistema homogêneo de equações lineares.
Questão 9 – Com encontrar os autovalores e autovetores de um operador linear?
Explicação:
Seja f : V → V um operador linear. Um vetor v de V, v≠0, é autovetor do operador f se existe um λ real tal que f(v) = λv. Já o número real λ é denominado autovalor de f associado ao autovetor v.
Sempre que um vetor v for o autovetor de um operdor linear f associado ao autovalor λ, o vetor kv, para qualquer k≠0, também será um autovetor de f associado ao mesmo λ.
f : ℝ2 →ℝ2
A =
a	a
11	12
a21	a22
[	]
det ( A −λ I ) =
11
a − λ
a12
a21
a22− λ
|	|
= 0
11
a −λ
a21
a12 a22 −λ
[	]
=
x	0
y	0
[ ]	[ ]