transformações em Gráficos c/ gabarito

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EP 04 – 2015-1 – Transformações em Gráficos – Gabarito Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito EP 04 
Pré-Cálculo 
____________________________________________________________________________________ 
 
Exercício 1: Nos itens a), b) e c) a seguir, esboce o gráfico das funções quadráticas num mesmo sistema de 
coordenadas: 
a) 
2)( xxf 
; 
2
2
1
)( xxg 
; 
22)( xxh 
. O que acontece com o gráfico da função 
2)( xxf 
, 
quando multiplicamos 
2x
por uma constante positiva? 
b) 
2)( xxf 
; 
2)1()(  xxg
; 
2)1()(  xxh
. O que acontece com o gráfico da função 
2)( xxf 
, 
quando à variável 
x
, somamos ou subtraímos uma constante positiva? 
c) 
2)( xxf 
; 
2)( 2  xxg
; 
2)( 2  xxh
. O que acontece com o gráfico da função 
2)( xxf  , 
quando à variável 
y
, somamos ou subtraímos uma constante positiva? Note que realmente, a constante 
foi somada ou subtraída da variável 
y
. 
d) Levando em consideração as informações obtidas nos itens acima, esboce o gráfico das funções 
abaixo, a partir do gráfico da função elementar 
2xy
. Explique as transformações que ocorreram. 
 
2)1()( 2  xxg
e
1)2()( 2  xxh
 
Identifique o vértice e o eixo de simetria de cada uma dessas parábolas. 
 
Solução: 
a) 
2)( xxf 
; 
2
2
1
)( xxg 
; 
22)( xxh 
. O que acontece com 
o gráfico da função 
2)( xxf 
, quando multiplicamos 
2x
por 
uma constante positiva? 
Quando multiplicamos 
2x
por uma constante positiva, 
modificamos a "abertura" da parábola. Se a constante for maior 
que 
1
, a parábola fica "mais fechada". Se a constante for positiva e 
menor que 
1
, a parábola fica "mais aberta". 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
EP 04 – 2015-1 – Transformações em Gráficos – Gabarito Pré-Cálculo 
 
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b) 
2)( xxf 
; 
2)1()(  xxg
; 
2)1()(  xxh
. O que acontece com o gráfico da função 
2)( xxf 
, 
quando à variável 
x
, somamos ou subtraímos uma constante positiva? 
Quando somamos uma constante positiva 
a
a variável 
x
, transladamos o gráfico de 
2)( xxf 
, 
horizontalmente,
a
unidades para a esquerda. 
Quando subtraímos uma constante positiva 
a
da variável 
x
, transladamos o gráfico de 
2)( xxf 
, 
horizontalmente,
a
unidades para a direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 
2)( xxf 
; 
2)( 2  xxg
; 
2)( 2  xxh
. O que acontece com o gráfico da função 
2)( xxf 
, 
quando à variável 
y
, somamos ou subtraímos uma constante positiva? Note que realmente, a constante 
foi somada ou variável 
y
, pois 
22 22 xyxy 
 e 
22 22 xyxy 
. 
Quando subtraímos uma constante positiva
a 
da variável 
y
, transladamos o gráfico de 
2xy 
, 
verticalmente,
a
unidades para baixo. 
 
Quando somamos uma constante positiva 
a
a variável 
y
, transladamos 
o gráfico de 
2xy 
, verticalmente, 
a
unidades para a cima. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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d) Levando em consideração as informações obtidas nos itens acima, esboce o gráfico das funções 
abaixo, a partir do gráfico da função elementar 
2xy
. Explique as transformações que ocorreram. 
 
2)1()( 2  xxg
e
1)2()( 2  xxh
 
Identifique o vértice e o eixo de simetria de cada uma dessas parábolas. 
Observando a função 
2)1()( 2  xxg
, concluímos que a função 
2)( xxf 
foi transladada 
horizontalmente 
1
unidade para a direita e verticalmente 
2
unidades para cima. 
O gráfico de 
2)1()( 2  xxg
é uma parábola de vértice 
)2,1(V
, concavidade voltada para cima e 
seu eixo de simetria é a reta vertical 
1x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Observando a função 
1)2()( 2  xxh
, concluímos que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 foi refletida em relação 
ao eixo 
xO
 e depois foi transladada horizontalmente 
2
unidade para a esquerda e verticalmente 
1
unidade para baixo. 
O gráfico de 
1)2()( 2  xxh é uma parábola de vértice )1,2( V , concavidade voltada para 
baixo e seu eixo de simetria é a reta vertical 
.2x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 2: Seja a função 
2)( xxf 
, para 
11  x
. 
Em cada item escreva uma lei para uma função que: 
a) Estique verticalmente o gráfico de
f
por um fator multiplicativo 
3
. Dê o domínio e a imagem dessa 
nova função e esboce o seu gráfico. 
b) Comprima verticalmente o gráfico de
f
 fator multiplicativo 
2
1
. Dê o domínio e a imagem dessa nova 
função e esboce o seu gráfico. 
c) Estique horizontalmente o gráfico de
f
por um fator multiplicativo 
4
. Dê o domínio e a imagem dessa 
nova função e esboce o seu gráfico. 
d) Comprima horizontalmente o gráfico de
f
por um fator multiplicativo 
2
1
. Dê o domínio e a imagem 
dessa nova função e esboce o seu gráfico. 
Solução: 
O gráfico da função dada, 
2)( xxf 
, 
11  x
 é: 
]1,1[)( fDom
 
 
 
 
a) A função 
1f
 cujo gráfico estica verticalmente o gráfico de
f
por um fator multiplicativo 
3
é: 
2
1 3)(3)( xxfxf 
. 
O domínio de 
1f
 é o mesmo domínio de 
f
, 
]1,1[)( 1 fDom
. 
Mas, se 
0)(1  xf
, então 
0)(33  xf
 e 
]0,3[)(Im 1 f . 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) A função 
2f
 cujo gráfico comprime verticalmente o 
gráfico de
f
por um fator multiplicativo 
2
1
é: 
 
 
 
 
]0,1[)(Im f
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2
2
2
1
)(
2
1
)( xxfxf 
. O domínio de 
2f
 é o mesmo domínio de 
f
, 
]1,1[)( 2 fDom
. 
Mas, se 
0)(1  xf
, então 
1
2
× (−1) ≤
1
2
× 𝑓(𝑥) ≤
1
2
× 0 ⟹ −
1
2
≤ 
1
2
𝑓(𝑥) ≤ 0 e portanto, 
.]0,
2
1
[)(Im 2 f 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) A função 
3f
 cujo gráfico estica horizontalmente o gráfico de
f
por um fator multiplicativo 
4
é: 
2
3 )
4
1
()
4
1
()( xxfxf 
. 
Assim, 
]4,4[)(441
4
1
1)(
4
1
)( 33  fDomxxfDomxfDomx
Essa transformação não mexe com a imagem da função, pois o esticamento (alongamento) é horizontal. 
Assim, 
]0,1[)(Im)(Im 3  ff 
 
 
]4,4[)( 3 fDom
. 
]0,1[)(Im)(Im 3  ff
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) A função 
4f
 cujo gráfico comprime horizontalmenteo gráfico de
f
por um fator multiplicativo 
2
1
é: 
2
4 )2()2()( xxfxf 
. 
Assim, 
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
2
1
2
1
121)(2)( 4 xxfDomxfDomx ]
2
1
,
2
1
[)( 4 fDom
.
 
Essa transformação não mexe com a imagem da função, pois a compressão é horizontal. Assim, 
]
2
1
,
2
1
[)( 4 fDom 
]0,1[)(Im)(Im 4  ff
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico da função 
xxf )(
por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos 
eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas. 
a) 
4)(  xxg
 b) 
2)(  xxh
 c) 
2)(  xxj
 
d) 
2)(  xxm
 e) 
25)(  xxn
 f) 
34)(  xxu
 
g) 
34)(  xxv
. 
 
Solução: 
a) O gráfico da função 
4)(  xxg
 é uma translação horizontal para direita de 4 unidades do 
gráfico da função "elementar" 
xxf )(
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO: é interessante observar que podemos obter pontos do novo gráfico, neste caso o gráfico transladado 
horizontalmente para direita, fazendo a mesma translação em pontos do gráfico original. 
Transladar um ponto horizontalmente para direita 𝒌 unidades (𝒌 > 0) significa acrescentar 𝒌 unidades a sua 
abscissa e não modificar a sua ordenada. 
 
 
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(𝑥1 , 𝑦1) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎𝑑𝑜 
𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
(𝑘>0) 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ (𝑥1 + 𝑘 , 𝑦1) 
 
 
Observe que os pontos 
)1,1(,)0,0(,)1,1(
 do gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥| quando transladados 4 
unidades horizontalmente para direita se transformam nos seguintes pontos: 
(−1 + 4 , 1) = (𝟑 , 𝟏) , (0 + 4 , 0) = (𝟒 , 𝟎) , (1 + 4 , 1) = (𝟓 , 𝟏). 
Vamos confirmar que os pontos (𝟑 , 𝟏) , (𝟒 , 𝟎) , (𝟓 , 𝟏) são pontos do gráfico da função 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4|: 
𝑔(3) = |3 − 4| = |−1| = 1 𝑔(4) = |4 − 4| = |0| = 0 𝑔(5) = |5 − 4| = |1| = 1. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
b) O gráfico da função 
2)(  xxh
é uma translação 
horizontal para esquerda de 2 unidades do gráfico da função 
"elementar" 
xxf )(
. 
 
ATENÇÃO: é interessante observar que podemos obter pontos do 
novo gráfico, neste caso o gráfico transladado horizontalmente para 
esquerda, fazendo a mesma translação em pontos do gráfico 
original. 
Transladar um ponto horizontalmente para esquerda 𝒌 unidades (𝒌 > 0) significa subtrair 𝒌 unidades da sua 
abscissa e não modificar a sua ordenada. 
 
 
 (𝑥1 − 𝑘 , 𝑦1) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎𝑑𝑜 
𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
(𝑘>0)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
← (𝑥1 , 𝑦1) 
 
Observe que os pontos 
)1,1(,)0,0(,)1,1(
 do gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥| quando transladados 
horizontalmente 2 unidades para esquerda se transformam nos seguintes pontos: 
(−1 − 2 , 1) = (−𝟑 , 𝟏) , (0 − 2 , 0) = (−𝟐 , 𝟎) , (1 − 2 , 1) = (−𝟏 , 𝟏). 
Vamos confirmar que os pontos (−𝟑 , 𝟏) , (−𝟐 , 𝟎) , (−𝟏 , 𝟏) são pontos do gráfico da função ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2|: 
ℎ(3) = |−3 + 2| = |−1| = 1 ℎ(−2) = |−2 + 2| = |0| = 0 ℎ(−1) = |−1 + 2| = |1| = 1 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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c) O gráfico da função 
2)(  xxj
é uma translação 
vertical para cima de 2 unidades do gráfico da função 
"elementar" 
xxf )(
. 
ATENÇÃO: Transladar um ponto verticalmente para cima 𝒌 
unidades (𝒌 > 0) significa acrescentar 𝒌 unidades a sua 
ordenada e não modificar a sua abscissa. 
Observe que os pontos 
)1,1(,)0,0(,)1,1(
 quando transladados 2 unidades 
verticalmente para cima são transformados nos pontos 
(−1 , 1 + 2) = (−𝟏 , 𝟑) , (0 , 0 + 2) = (𝟎 , 𝟐) , (1 , 1 + 2) = (𝟏 , 𝟑), 
que são pontos do gráfico da função 𝑗(𝑥) = |𝑥| + 2 , pois 
𝑗(−1) = |−1| + 2 = 1 + 2 = 3 𝑗(0) = |0| + 2 = 0 + 2 = 2 𝑗(1) = |1| + 2 = 1 + 2 = 3 . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) O gráfico da função 
2)(  xxm
é uma reflexão em torno do eixo 
xO
 do gráfico da função 
2)(  xxh
 do item b). 
ATENÇÃO: ao refletir um ponto (𝒙, 𝒚) em torno do eixo 𝑶𝒙 , 
obtemos o ponto (𝒙,−𝒚). 
Observe que os pontos 
(−3 , 1) , (−2 , 0) , (−1 , 1) do gráfico da função 
2)(  xxh
 do item b), quando refletidos em torno do 
eixo 𝑶𝒙, são transformados respectivamente nos pontos: 
(−𝟑 , −𝟏) , (−𝟐 , 𝟎) , (−𝟏 ,−𝟏), que são pontos do gráfico da 
função 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2|, pois 
𝑚(−3) = −|−3 + 2| = −|−1| = −1 𝑚(−2) = −|−2 + 2| = −|0| = 0 
𝑚(−1) = −|−1 + 2| = −|1| = −1 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e) O gráfico da função 
25)(  xxn
é uma translação vertical para cima de 5 unidades do gráfico da 
função 
2)(  xxm
apresentado no item d) acima. 
Observe que os pontos (−3 ,−1) , (−2 , 0) , (−1 , −1) do gráfico da 
função 
2)(  xxm
 são transladados 5 unidades verticalmente 
para cima para os pontos: 
(−3 , −1 + 5) = (−𝟑 , 𝟒) , (−2 , 0 + 5) = (−𝟐 , 𝟓) , 
 (−1 , −1 + 5) = (−𝟏 , 𝟒), que são pontos do gráfico 
 𝑛(𝑥) = 5 − |𝑥 + 2| , pois 
𝑛(−3) = 5 − |−3 + 2| = 5 − |−1| = 5 − 1 = 4 𝑛(−2) = 5 − |−2 + 2| = 5 − |0| = 5 − 0 = 5 
𝑛(−1) = 5 − |−1 + 2| = 5 − |1| = 5 − 1 = 4 . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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e) O gráfico da função 
34)(  xxu
 é uma translação 
vertical para baixo de 3 unidades do gráfico de
4)(  xxg
apresentado no item a) acima. 
ATENÇÃO: Transladar um ponto verticalmente para baixo 𝒌 unidades 
(𝒌 > 0) significa subtrair 𝒌 unidades da sua ordenada e não modificar 
a sua abscissa. 
Observe que os pontos 
(−3 , 1) , (4 , 0) , (5 , 1) do gráfico da função 
4)(  xxg
 
são transladados 3 unidades verticalmente para baixo, respectivamente, para os pontos 
(3 , 1 − 3) = (𝟑 , −𝟐) , (4 , 0 − 3) = (𝟒 , −𝟑) , 
(5 , 1 − 3) = (𝟓 , −𝟐), que são pontos do gráfico da função gráfico 𝑢(𝑥) = |𝑥 − 4| − 3, pois 
𝑢(3) = |3 − 4| − 3 = |−1| − 3 = 1 − 3 = −2 𝑢(4) = |4 − 4| − 3 = |0| − 3 = 0 − 3 = −3 
𝑢(5) = |5 − 4| − 3 = |1| − 3 = 1 − 3 = −2 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
g) O gráfico da função 
34)(  xxv
 é a "modulação" do gráfico da função 
34)(  xxu
 do 
item f) acima. Isto significa que foi feito um rebatimento para cima do eixo 
xO
, da parte negativa da 
função (a parte do gráfico que estava abaixo do eixo 
xO
) e foi 
mantida a parte positiva ou nula da função (a parte do gráfico 
que estava acima do eixo 
xO
 ou sobre ele). 
ATENÇÃO: Quando modulamos ográfico de uma função, os pontos 
desse gráfico têm as suas ordenadas moduladas, assim um ponto 
(𝒙, 𝒚) do gráfico de uma função 𝒇 , é transformado no ponto 
 (𝒙, |𝑦|) do gráfico da função |𝑓| . 
Observe que os pontos 
(−3 , −2) , (4 , −3) , (5 , −2) do gráfico da função 
34)(  xxu
 são rebatidos respectivamente para 
os pontos (3 , |−2|) = (𝟑 , 𝟐) , (4 , |−3|) = (𝟒 , 𝟑) , (5 , |−2|) = (𝟓 , 𝟐), que são pontos do gráfico da função 
gráfico 𝜈(𝑥) = ||𝑥 − 4| − 3| , pois 
𝜈(3) = ||3 − 4| − 3| = ||−1| − 3| = |1 − 3| = |−2| = 2 
𝜈(4) = ||4 − 4| − 3| = ||0| − 3| = |0 − 3| = |−3| = 3 
𝜈(5) = ||5 − 4| − 3| = ||1| − 3| = |1 − 3| = |−2| = 2 
____________________________________________________________________________________ 
Exercício 4: 
Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função 
"elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos 
eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar" e as transformações ocorridas. 
Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
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a) 
xxM )(
 b) 
23)(  xxF
 c) 
41)(  xxG
 
d) 
29)(  xxH
 e) 
xxJ  43)(
 f) 
34)(  xxK 
g) 
34)(  xxL
. 
Solução: 
a) 









0,
0,
)(
xx
xx
xxM
 
 
xy 
 
xy 
 
xxM )(
 
 
),0[)(ImIR)(  MeMDom 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) O gráfico da função 
23)(  xxF
é uma translação 
horizontal para direita de 3 unidades seguida de uma translação 
vertical para baixo de 2 unidades do gráfico de 
xy
. 
 
 
),2[)(Im),3[)(  FeFDom
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) O gráfico da função 
41)(  xxG
 é uma translação 
horizontal para esquerda 
de 4 unidades seguida de uma translação 
vertical para cima de 1 unidade 
do gráfico de 
xy 
. 
]1,()(Im),4[)(  FeFDom
. 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
EP 04 – 2015-1 – Transformações em Gráficos – Gabarito Pré-Cálculo 
 
11 de 23 
d) O gráfico da função 
29)(  xxH
é uma translação horizontal para direita de 9 unidades 
seguida de uma translação vertical para baixo de 2 
unidades do gráfico de 
xy 
. 
),2[)(Im]9,()(  HeHDom
. 
 
 
ATENÇÃO: para ver exatamente a translação horizontal 
que está ocorrendo, é preciso colocar o coeficiente da 
variável 
x
 em evidência. Caso contrário podemos nos 
equivocar. 
Fazendo isso nesse exemplo, 
2)9(29)(  xxxH
, vemos que a translação horizontal será para a direita e não para 
a esquerda como poderia parecer inicialmente. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e) O gráfico de 
)4(343)(  xxxJ
 
é uma translação horizontal para direita de 4 unidades seguida 
de uma translação vertical para cima de 3 unidades do gráfico 
de 
xy 
. 
]3,()(Im]4,()(  JeJDom
. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f) O gráfico de 
34)(  xxK
 é uma translação horizontal para direita de 4 unidades seguida de 
uma translação vertical para baixo de 3 unidades do gráfico de 
xy
. 
O gráfico de 







0,
0,
xsex
xsex
xy
 
 
 
4 xy
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ,𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
→ 
 
 
 
 
 
EP 04 – 2015-1 – Transformações em Gráficos – Gabarito Pré-Cálculo 
 
12 de 23 
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
→ 
 
 
 
 
 
34)(  xxK
 
 
),3[)(Im)(  KeKDom lR
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
g) O gráfico de 
34)(  xxL
 é a "modulação" do gráfico da função 
34)(  xxK
 do 
item e) acima. Isto significa que será feito um rebatimento para cima do eixo 
xO
, da parte negativa da 
função (a parte do gráfico que estava abaixo do eixo 
xO
) e será mantida a parte positiva ou nula da função 
(a parte do gráfico que estava acima do eixo 
xO
 ou sobre 
ele). 
Para isso, vamos encontrar os pontos onde o gráfico de 
34)(  xxK
 intercepta o eixo
xO
: 
Esses pontos têm ordenada 
0y
, portanto temos: 
 34034 xx 
(elevando ao quadrado ambos os membros) 
   9434 22 xx
 
 
 9494 xoux
 
513  xoux
 
),0[)(Im)(  LeLDom lR
. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 5: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma 
função "elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em 
torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar" e as transformações 
ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
a) 
21)(  xxF
 b) 
1)1()( 3  xxG
 c) 
3
2
1
)( 


x
xH
 
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d) Esboce os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 . Além de identificar as 
funções "elementares" e as transformações ocorridas, esboce os gráficos intermediários. Esboce num 
mesmo par de eixos os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 e 𝑦 =
𝑥.Observe a relação que existe entre esses gráficos. 
 
Solução: 
a) O gráfico da função
21)(  xxF
é: 
),1[]1,)(  -(FDom
. 
),2[)(Im F
 
 
 
 
 
Este gráfico é obtido do gráfico da função 







)1(01,)1(1
)1(01,1
1)(
xxsexx
xxsex
xxf
 
 
fazendo-se uma translação vertical para baixo de 2 unidades. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Construímos o gráfico de 
1)1()( 3  xxG
 fazendo as seguintes operações: 

1
3  xy
3)1(  xy

2

1)1( 3  xy

3

1)1()( 3  xxG
 
(1): translada-se o gráfico de 
3xy
 horizontalmente1 unidade para esquerda, obtendo o gráfico de 
3)1(  xy
 
(2): translada-se esse gráfico, 
,)1( 3 xy
verticalmente 1 unidade para baixo, obtendo o gráfico de 
.1)1( 3  xy
 
(3): "modular" o gráfico de 
.1)1( 3  xy
 
3xy
 
3)1(  xy
 
1)1( 3  xy
 
 
 
 
 
 
 
 
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E depois é só "modular" esse gráfico. 
Isto é, fazer um rebatimento para cima do eixo 
xO
, da parte 
negativa da função (a parte do gráfico que estava abaixo do eixo 
xO
) e manter a parte positiva ou nula da função (a parte do 
gráfico que estava acima do eixo 
xOou sobre ele). 
),0[)(Im)(  GeGDom lR
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Construímos o gráfico de 
3
2
1
)( 


x
xH
 fazendo as seguintes operações: 
Translada-se o gráfico de 
x
xh
1
)( 
, 
0x
, 2 unidades horizontalmente para esquerda, 
x
xh
1
)( 
 , 
0x
 
 
 
 
 
 
 
 
obtendo-se: 
2
1


x
y
, 
2x
 
 
 
 
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A seguir, translada-se o gráfico de 
2
1


x
y
, 
2x
 , 
3 unidades verticalmente para cima, obtendo-se: 
3
2
1
)( 


x
xH
   3)(Im2)( -lR-lR  HeHDom
. 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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d) Esboce os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 . Além de identificar as 
funções "elementares" e as transformações ocorridas, esboce os gráficos intermediários. Esboce num 
mesmo par de eixos os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 e 𝑦 =
𝑥.Observe a relação que existe entre esses gráficos. 
 
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 é a seguinte sequência de transformações 
em gráficos de funções: 
𝑦 = √𝑥
3 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑦 = √𝑥 − 1
3
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 
 
 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 é a seguinte sequência de 
transformações em gráficos de funções: 
𝑦 = 𝑥3 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑦 = (𝑥 − 1)3 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 
 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 6: Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então 
aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, 
compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. 
a) 
2
2
1
)(  xxf
 b) 
2
2
1
)(  xxg
 c) 
 
2
2
1
2
1
)(  xxh
 
d) 
2
2
1
2)(  xxj
 e) 
22
2
1
)(  xxr
 
 f) 
222)(  xxs
 
Solução: 
 
a) 
2
2
1
)(  xxf
 
Uma possível sequência de transformações é a seguinte: 
2
2
1
2
)2()1(
 xyxyxy
 
(1): O gráfico da função 
xy 
 é transladado 
2
 unidades para esquerda, chegando ao gráfico da função 
2 xy
. 
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(2): O gráfico da função 
2 xy
 é comprimido verticalmente por um fator multiplicativo de 
2
1
k
 
unidades, chegando ao gráfico da função 
2
2
1
)(  xxf
. 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 
2
2
1
)(  xxg
 
Uma possível sequência de transformações é a seguinte: 
2
2
1
2
)2()1(
 xyxyxy
 
(1): O gráfico da função 
xy 
 é transladado 
2
 unidades para esquerda, chegando ao gráfico da função 
2 xy
. 
(2): O gráfico da função 
2 xy
 é esticado (alongado) horizontalmente por um fator multiplicativo de 
2
2
1
11

k
 unidades, chegando ao gráfico da função 
2
2
1
)(  xxg
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 
 
2
2
1
2
1
)(  xxh
 
Uma possível sequência de transformações é a seguinte: 
2
2
1
2
1
2
2
1
2
)3()2()1(
 xyxyxyxy
 
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(1): O gráfico da função 
xy 
 é transladado 
2
 unidades para esquerda, chegando ao gráfico da função 
2 xy
. 
(2): O gráfico da função 
2 xy
 é comprimido verticalmente por um fator multiplicativo de 
2
1
k
 
unidades, chegando ao gráfico da função 
2
2
1
 xy
. 
(3): O gráfico da função 
2
2
1
 xy
 é esticado (alongado) horizontalmente por um fator multiplicativo 
de 
2
2
1
11

k
 unidades, chegando ao gráfico da 
função 
2
2
1
2
1
)(  xxh
. 
 
 
 
 
 
 
---------------------------------------
---------------------------------------
---------------------------------------
---------------- 
 
d) 
2
2
1
2)(  xxj
 
Uma possível sequência de transformações é a seguinte: 
2
2
1
2222
)3()2()1(
 xyxyxyxy
 
(1): O gráfico da função 
xy 
 é transladado 
2
 unidades para esquerda, chegando ao gráfico da função 
2 xy
. 
(2): O gráfico da função 
2 xy
 é esticado (alongado) verticalmente por um fator multiplicativo de 
2k
 unidades, chegando ao gráfico da função 
22  xy
. 
(3): O gráfico da função 
22  xy
 é esticado (alongado) horizontalmente por um fator multiplicativo 
de 
2
2
1
11

k
 unidades, chegando ao gráfico da função 
2
2
1
2)(  xxj
. 
 
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
e) 
22
2
1
)(  xxr
 
Uma possível sequência de transformações é a seguinte: 
22
2
1
2
2
1
2
)3()2()1(
 xyxyxyxy
 
(1): O gráfico da função 
xy 
 é transladado 
2
 unidades para esquerda, chegando ao gráfico da função 
2 xy
. 
(2): O gráfico da função 
2 xy
 é comprimido verticalmente por um fator multiplicativo de 
2
1
k
 
unidades,chegando ao gráfico da função 
2
2
1
 xy
. 
 
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(3): O gráfico da função 
2
2
1
 xy
 é comprimido horizontalmente por um fator multiplicativo de 
2
11

k
 unidades, chegando ao gráfico da função 
22
2
1
)(  xxh
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f) 
222)(  xxs 
Uma possível sequência de transformações é a seguinte: 
222222
)3()2()1(
 xyxyxyxy
 
(1): O gráfico da função 
xy 
 é transladado 
2
 unidades para esquerda, chegando ao gráfico da função 
2 xy
. 
(2): O gráfico da função 
2 xy
 é esticado (alongado) verticalmente por um fator multiplicativo de 
2k
 unidades, chegando ao gráfico da função 
22  xy
. 
(3): O gráfico da função 
22  xy
 é comprimido horizontalmente por um fator multiplicativo de 
2
11

k
 
unidades, chegando ao gráfico da função 
222)(  xxj
. 
 
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