PC_2017-2_AD2-Q1_GABARITO

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AD2-Q1 – 2017-2 – Gabarito Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito da Questão 1 da Avaliação a Distância 2 
Pré-Cálculo 
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Questão 1 [5,0 pontos]: 
(a) [valor 1,5] Calcule 𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝜽) , sabendo que 𝜃 =
17𝜋
6
 . Para isso marque no círculo 
trigonométrico desenhado abaixo, o ângulo pertencente ao intervalo [0,2𝜋] , congruente ao 
ângulo 𝛼 =
17𝜋
3
 
Calcule sen( 2𝜃) 
RESOLUÇÃO: 
Sendo 
17𝜋
3
 > 2𝜋, vamos obter um ângulo congruente a 
 
17𝜋
3
 : 
17𝜋
3
= 
12𝜋+5𝜋
3
=
5𝜋
3
+ 
12𝜋
3
 = 
5𝜋
3
+ 4𝜋 ≡ 
5𝜋
3
 ∈ [0,2𝜋]. 
Calculando cos( 2𝜃): 
 cos( 2𝜃) = cos ( 2
17𝜋
6
) = cos ( 
17𝜋
3
) = cos ( 
5𝜋
3
) =
 cos ( 
3𝜋+2𝜋
3
) = cos ( 
2𝜋
3
+ 𝜋) =
1
2
. Portanto, cos( 2𝜃) =
1
2
 . 
E, sen( 2𝜃) = sen ( 
2𝜋
3
+ 𝜋) = −
 √3 
2 
. 
Observamos que, para chegar a cos( 2𝜃) = 
1
2
 , podemos usar outros ângulos congruentes com 
 
5𝜋
3
, por exemplo, cos ( 
5𝜋
3
) = cos ( 
5𝜋
3
− 2𝜋) = cos (−
𝜋
3
) e não apenas o que está o ângulo 
 
2𝜋
3
+ 𝜋. 
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(b) [3,5 pts] 
(I) Resolva a equação sen2(𝑥) + cos(𝑥) + 1 = 0 para 𝑥 ∈ [−7, 5]. 
(II) Resolva a inequação tan(2𝑥) > 1 para 𝑥 ∈ (0 , 𝜋). 
RESOLUÇÃO: 
(I) Da identidade trigonométrica sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 segue que, sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥). 
Portanto, 
sen2(𝑥) + cos(𝑥) + 1 = 0 ⟺ 1 − cos2(𝑥) + cos(𝑥) + 1 = 0 ⟺ cos2(𝑥) − cos(𝑥) − 2 = 0. 
Chamando cos(𝑥) = 𝑧 , vamos resolver a equação do segundo grau 𝑧2 − 𝑧 − 2 = 0. 
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Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑧2 − 𝑧 − 2 : 
𝑧 = 
1±√(−1)2−4.1.(−2) 
2.1
 = 
1±√1+8 
2
=
1±3
2
 ⟹ 𝑧 = −1 ou 𝑧 = 2 . 
Temos assim que cos(𝑥) = −1 ou cos 𝑥 = 2. Como −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 para todo 𝑥 ∈ ℝ , então 
a equação cos 𝑥 = 2 não tem solução em ℝ . 
Resolvendo cos(𝑥) = −1: 
 cos(𝑥) = −1 ⟺ 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘 𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ . Para avaliar as soluções vamos usar 𝜋 ≅ 3,14. 
Para 𝒌 = 𝟎 : 𝑥 = 𝜋 ≅ 3,14 ∈ [−7 , 5]. 
Para 𝒌 = 𝟏 : 𝑥 = 𝜋 + 2 𝜋 = 3𝜋 ≅ 3 ∙ 3,14 = 9,42 ∉ [−7 , 5]. 
Para 𝒌 = −𝟏 : 𝑥 = 𝜋 − 2 𝜋 = −𝜋 ≅ −3,14 ∈ [−7 , 5]. 
Para 𝒌 = −𝟐 : 𝑥 = 𝜋 − 4 𝜋 = −3𝜋 ≅ −3 ∙ 3,14 = −9,42 ∉ [−7 , 5]. 
 
Logo, o conjunto solução de sen2(𝑥) + cos(𝑥) + 1 = 0 para 𝑥 ∈ [−7, 5] é: 
{ −𝜋 , 𝜋 }. 
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(II) Lembramos que: 𝑥 ∈ (0 , 𝜋) ⟺ 0 < 𝑥 < 𝜋 ⟺ 0 < 2𝑥 < 2𝜋 . Assim, 
 tan(2𝑥) > 1 ⟺ 
 𝜋 
4
 < 2𝑥 < 
 𝜋 
2
 ou 
 5𝜋 
4
 < 2𝑥 < 
 3𝜋 
2
 ⟺ 
 
 𝜋 
8
 < 𝑥 < 
 𝜋 
4
 ou 
 5𝜋 
8
 < 𝑥 < 
 3𝜋 
4
 
 
 
Logo, o conjunto solução de tan(2𝑥) > 1 para 𝑥 ∈ (0 , 𝜋) é 
𝑆 = (
 𝜋 
8
 ,
 𝜋 
4
) ∪ (
 5𝜋 
8
 ,
 3𝜋 
4
) 
 
 
 
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