Gabarito EM406 P2 2008 Questo 2

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EM 406 – Resistência dos Materiais I – Gabarito da Segunda Prova 
Arquivo: Gabarito EM406 P2 2008 Questão 2.doc 
Segunda questão da segunda prova 
EM 406 Resistência dos Materiais I - Gabarito – versão nov 2008 
Prof. Renato Pavanello – PEDs Josué Labaki/Rafael Morini 
1 
Gabarito: Segunda Prova de Resistência dos Materiais I – EM406 
27 de Novembro de 2008 
 
Questão 2 (3,0 pontos): Uma estaca de madeira sustentando um píer desenvolve uma 
força de atrito f por unidade de comprimento da estaca sobre a porção de seu 
comprimento que esta submersa no solo (veja na figura). A intensidade da força de 
tração varia linearmente com a distância y a partir da base da estaca, isto é, cyf = , em 
que c é uma constante. O comprimento de submersão é 1L e a porção superior da 
estaca tem comprimento 2L . A carga na estaca é P , sua área de seção transversal é A e 
seu módulo de elasticidade é E. 
a) Mostre que a fórmula para o encurtamento da estaca é dada por: 
EA
LLP
3
)3( 21 +
=δ . 
Dica: A reação de apoio no ponto O é nula. 
b) Desenhe um diagrama mostrando a tensão de compressão Cσ varia ao longo do 
comprimento da estaca. 
 
 
Figura 1: Estaca de madeira enterrada. 
 
Solução 
 
 
Figura 2: Modelo de barra para a estaca do píer. 
EM 406 – Resistência dos Materiais I – Gabarito da Segunda Prova 
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Segunda questão da segunda prova 
EM 406 Resistência dos Materiais I - Gabarito – versão nov 2008 
Prof. Renato Pavanello – PEDs Josué Labaki/Rafael Morini 
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A estaca proposta pela questão pode ser modelada como um problema de barra, como 
mostrado na Figura 2. Sabe-se também que a reação no apoio é a carga P. Resolvendo o 
problema da barra: 
 
1) Eixos e convenções 
 
 
 
2) Equação Diferencial 
 
 
2
2
dEA u(x) p(x)
dx
= − (1) 
 
3) Equação de carregamento 
 
 
0 1
1 2 2p(x) cL x L c x L= − − + − (2) 
 
4) Condições de Contorno e restrição 
 
u(x 0) 0= = (3) 
X 1 2N (x L L ) 0= + = (4) 
 
 
5) Integração da equação diferencial 
 
2
0 1
1 2 22
dEA u(x) cL x L c x L
dx
= − − − (5) 
↓ ∫
 
1 2
X 1 2 2 1
d 1EA u(x) N (x) cL x L c x L C
dx 2
= = − − − + (6) 
↓ ∫
 
2 31
2 2 1 2
cL cEAu(x) x L x L C x C
2 6
= − − − + + (7) 
 
6) Determinação das incógnitas e constantes de integração 
 
Substituindo (3) em (7), tem-se: 
2 31
2 2 1 2
0 0
cL cEAu(x 0) x L x L C 0 C 0
2 6
= =
= = − − − + ⋅ + =
��������� ���������
 
EM 406 – Resistência dos Materiais I – Gabarito da Segunda Prova 
Arquivo: Gabarito EM406 P2 2008 Questão 2.doc 
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2C 0⇒ = (8) 
 
Substituindo (4) e (8) em (6), tem-se: 
( ) ( )2X 1 2 1 1 2 2 1 2 2 11N (x L L ) cL L L L c L L L C 02= + = + − − + − + = 
( )2 21 1 2 2 1 11cL L L L cL C 02+ − − + = 
2
1 1
1C cL
2
= − (9) 
 
7) Equações finais 
 
Substituindo (8) e (9) em (6) e (7), obtém-se as equações finais de esforço normal e 
deslocamento: 
 
2
1 2 1
X 1 2 2
cLcN (x) cL x L x L
2 2
= − − − − (10) 
2
2 31 1
2 2
cL cLcEAu(x) x L x L x
2 6 2
= − − − − (11) 
 
8) Fórmula do encurtamento 
 
( ) ( ) ( )
( )
1 2
2
2 31 1
1 2 2 1 2 2 1 2
3 3 3 2 3 2 2
1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2
2 2
1 1 2 1
1 2
u(x L L )
cL cL1 cL L L L L L L L
EA 2 6 2
cL cL cL cL L cL cL L cL L L1 1
EA 2 6 2 2 EA 6 2 EA 6 2
cL L 3L cL L 3L
EA 6 6EA
δ = = +
 δ = + − − + − − + 
 
     δ = − − − = − − = − +         
+ δ = − = − +  
 
(o sinal negativo representa encurtamento). 
 
Por outro lado, do equilíbrio da estaca (Figura 2), sabe-se que: 
 
( )( )
2
1
X 1 1
cL1F 0 P cL L
2 2
= ⇒ = =∑ 
 
Assim, tem-se finalmente que: 
 
( )1 2P L 3L3EAδ = + 
 
 
 
 
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Segunda questão da segunda prova 
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9) Tensão de compressão σσσσC ao longo da estaca 
 
X
C
N (x)(x)
A
σ = 
2
1 2 1
C 1 2 2
cL1 c(x) cL x L x L
A 2 2
 
∴σ = − − − − 
 
 
 
Como 2
1
2P
c
L
= , então: 
 
1 2
C 2 22
1 1
P 2 1(x) x L x L 1
A L L
 
σ = − − − − 
 
 
1 2
C 2 2 22
1 10 0
P 2 1 P(0 x L ) x L x L 1
A L L A
= =
 
σ < < = − − − − = − 
  
��������� ���������
 
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
1 2
C 2 1 2 2 22
1 1
x L x L
2
2 22
1 1
P 2 1(L x L L ) x L x L 1
A L L
P 2 1
x L x L 1
A L L
−
−
 
 σ < < + = − − − − =
 
  
 
= − − − − 
 
��������� ���������
 
C 2
C 1 2
P(x L )
A
(x L L ) 0

σ = = −

σ = + =
 
 
 
Figura 3: Diagrama de tensão de compressão ao longo da estaca.