Intervalo de confiança

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Disciplina: Probabilidade e Estatística
Fidel Ernesto Castro Morales
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciência e Tecnologia
Intervalo de confiança para µ (Caso 1)
Suposições:
I
A distribuição da população é normal
I
O valor do desvio padrão da população σ é conhecido
Lembremos que
I
a soma de v.a. normais é uma normal,
I
E (X¯ ) = µ,
I
Var(X¯ ) = σ2/n
Utilizando as propriedades da distribuição normal
X¯ − µ
σ/
√
n
∼?
Definição
Após observar X
1
= x
1
, · · · ,X
n
= x
n
, o intervalo de confiança de
100(1−α)% da média µ de uma população normal, quando o valor
de σ é conhecido, é dado por(
x¯ − z
1−α/2
σ√
n
, x¯ + z
1−α/2
σ√
n
)
,
onde z
1−α/2 é o percentil (1− α/2)%100 da normal padrão.
I
Como se interpreta um intervalo de confiança?
Exemplo 1
Assuma que a porosidade do hélio (em porcentagem) das amostras
de carvão tiradas de qualquer junta especifica seja normalmente
distribuída com desvio padrão de 0.75
I
Calcule um IC de 95 % da porosidade média real de uma junta,
caso a porosidade média de 20 da seus espécimes seja 4.85.
I
Calcule um IC de 98 % da porosidade média real de uma junta,
caso a porosidade média de 16 da seus espécimes seja 4.56.
Escolha de tamanho de amostra
A formula geral do tamanho da amostra n necessária para garantir
uma amplitude de intervalo w é obtida de w = 2Z
1−α/2σ/
√
n, já
que
n =
(
2z
1−α/2
σ
w
)
2
Limite do erro de estimação (B = Z
1−α/2σ/
√
n): A metade da
amplitude w é chamada de limite do erro de estimção associado a
um nível de confiança de (1− α)100%. Assim o tamanho de
amostras pode ser calculado com
n =
(
z
1−α/2
σ
B
)
2
Exemplo 2
Continuação do exemplo 1
I
Quão grande o tamanho de uma amostra deve ser se a
amplitude do intervalo de 95% for 0.40
I
Que tamanho de amostra é necessário para estimar a
porosidade média real dentro de 0.2 com confiança de 99%?
Intervalo de confiança para amostras grandes para a média
µ e a proporção da população
Lembremos que: Se temos uma amostra aleatória X
1
,X
2
, . . . ,X
n
tal que E (X
n
) = µ e Var(X
n
) = σ2, onde 0 < σ2 <∞, então pelo
teorema central do limite
X¯ − µ
σ/
√
n
D−→ N(0, 1), n→∞.
I
Mas que acontece quando σ é desconhecido?
Pode ser provado que
X¯ − µ
S/
√
n
D−→ N(0, 1), n→∞,
onde S
2
é variancia amostral.
Proposição
Se n é suficientemente grande, a variável padronizada
X¯ − µ
S/
√
n
D−→ N(0, 1).
Isso implica que(
x¯ − z
1−α/2
s√
n
, x¯ + z
1−α/2
s√
n
)
,
é um intervalo de confiança de amostra grande para µ com nivel de
confiança de aproximadamente 100(1− α)%.
I
n > 40 sera suficiente para justificar o uso desse intervalo.
Exemplo 3
A voltagem de quebra da Corrente Alterna (CA) de um líquido
isolante indica sua resistência dielétrica. Suponha que é se tem uma
amostra aleatoria de tamanho 48 da voltagem de quebra de um
circuito especifico sob certa condições. Tem-se que
∑
x
i
= 2626,∑
x
2
i
= 144950. Ache o intervalo de confiança de 95% para µ.
Limites de confiança
Proposição
O limite de confiança superior de amostra grande para µ é
µ < x¯ + z
1−α
s√
n
,
e o limite de confiança inferior de amostra grande para µ é
µ > x¯ − z
1−α
s√
n
.
Exemplo 4
O teste de corte inclinado é o procedimento mais amplamente
aceito para avaliar a quantidade de uma ligação entre um material
de conserto e seu substrato. Uma amostra de 48 observações de
resistência de corte forneceu uma resistência média amostral de
17.17 N/mm2 e um desvio padrão da amostra de 3.28N/mm2.
Calcule o limite de confiança inferior para a resistência de corte
média real µ com um nivel de confiança de 95%.
Intervalo de confiança para amostras grandes para uma
proporção p
Proposição
Se pˆ for uma proporção de observações em uma amostra aleatória
de tamanho n que pertença a uma classe de interesse, então um
intervalo aproximado de confiança de (1− α)100% para a
proporção p da população que pertença a essa clase será(
pˆ − z
1−α/2
√
pˆ(1− pˆ)
n
, pˆ + z
1−α/2
√
pˆ(1− pˆ)
n
)
.
Exemplo 5
Um fabricante de calculadoras eletrônicas está interessado em
estimar a fração de unidades defeituosas produzidas. Uma amostra
aleatoria de 800 calculadoras contém 10 defeitos. Calcule um
intervalo de confiança de 95% para a proporção de defeituosa.
Intervalo de confiança para µ (Caso 2)
Suposições:
I
A distribuição da população é normal
I
O valor do desvio padrão da população σ é desconhecido
X¯ − µ
S/
√
n
∼?
Intervalos de confiança para µ de uma população normal
com µ e σ desconhecidos
Suposição: A população de interesse é normal, de modo que
X
1
, . . . ,X
n
constitui uma amostra aleatória de uma distribuição
normal com média µ e desvio padrão σ desconhecidos.
Proposição
Quando X¯ é a média amostral aleatória de tamanho n de uma
distribuição normal com média µ, a variável aleatória
T =
X¯ − µ
S/
√
n
possui uma distribuição de probabilidade chamada distribuição t
com n − 1 graus de liberdade.
Distribuição t
−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
x
 
−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
x
 
−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
x
 
n=2
 n=10
Normal padrão
Proposição
Sejam x¯ e s a média e o desvio padrão amostrais calculados a partir
dos resultados de uma amostra aleatória de uma população normal
com média µ. Então, o intervalo de confiança de 100(1− α)% para
µ é (
x¯ − tα/2,n−1
s√
n
, x¯ + tα/2,n−1
s√
n
)
.
O limite de confiança superior de µ é
x¯ + tα/2,n−1
s√
n
> µ.
O limite de confiança inferior de µ é
x¯ − tα/2,n−1
s√
n
< µ.
Exemplo 6
Uma amostra aleatória de n = 8 espécimes de teste de certo tipo
de fibra de vidro E produziu uma força do rendimento de corte
interfacial média amostra de 30.2 e desvio padrão da amostra de
3.1. Assuma que a força do rendimento de corte interfacial é
normalmente distribuída, calcule o IC 95% para a força média real.