Subespaços Vetoriais

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MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear
Unidade 5 - Subespac¸os vetoriais
A. Hefez e C. S. Fernandez
Resumo elaborado por Paulo Sousa
PROFMAT - SBM
10 de agosto de 2013
Subespac¸os vetoriais
A`s vezes, e´ necessa´rio detectar, dentro de um espac¸o vetorial V ,
subconjuntos W que sejam eles pro´prios espac¸os vetoriais “menores”.
Tais conjuntos sera˜o chamados subespac¸os de V . Isto acontece, por
exemplo, em R2 , o plano, onde W e´ uma reta deste plano, que passa
pela origem.
Por exemplo: vimos que o conjunto soluc¸a˜o Sh de um sistema de
equac¸o˜es lineares homogeˆneo com n inco´gnitas forma um espac¸o ve-
torial contido no espac¸o Rn. Esta e´ uma situac¸a˜o t´ıpica da noc¸a˜o de
subespac¸o de um espac¸o vetorial, que definiremos a seguir com maior
generalidade.
Dizemos que W e´ um subespac¸o vetorial de V , ou simplesmente
um subespac¸o de V , se W , com as operac¸o˜es de adic¸a˜o em V e de
multiplicac¸a˜o de vetores de V por escalares, e´ um espac¸o vetorial.
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Subespac¸os vetoriais
O resultado a seguir mostra que, para provarmos que um subcon-
junto W de um espac¸o vetorial V e´ subespac¸o, basta mostrar que as
operac¸o˜es de V esta˜o definidas em W .
Proposic¸a˜o: Sejam V um espac¸o vetorial e W um subconjunto na˜o
vazio de V . Enta˜o, W e´ um subespac¸o de V se, e somente se, as
seguintes condic¸o˜es sa˜o satisfeitas:
(i) Se u, v ∈W , enta˜o u + v ∈W ;
(ii) Se α ∈ R e u ∈W , enta˜o α · u ∈W .
A demonstrac¸a˜o da proposic¸a˜o acima e´ deixada a cargo do leitor.
Exemplo: Utilizando as propriedades de transposic¸a˜o de matrizes,
mostra-se facilmente que o conjunto das matrizes (anti)sime´tricas
quadradas de ordem m com coeficientes reais e´ um subespaco vetorial
de M(m,m).
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Subespac¸os vetoriais
Exemplo: Dados a1, . . . , an ∈ R, temos que o conjunto W =
{(x1, . . . , xn) ∈ Rn : a1x1 + · · · + anxn = 0} e´ um subespac¸o vetorial
de Rn, munido das operac¸o˜es usuais.
O resultado apresentado, no exemplo acima, implica que o conjunto
soluc¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es lineares nas varia´veis x1, . . . , xn e´
a intersec¸a˜o de subespac¸os de Rn. A proposic¸a˜o abaixo garante que
tal conjunto soluc¸a˜o tambe´m e´ um subespac¸o vetorial.
Proposic¸a˜o: A intersec¸a˜o de dois subespac¸os de um espac¸o vetorial
V e´ um subespac¸o de V .
O resultado contido na proposic¸a˜o na˜o e´ va´lido para a unia˜o de sub-
espac¸os. O principal problema quando consideramos a unia˜o de sub-
espac¸os e´ que se tomamos um vetor em cada subespac¸o, a soma deles
pode na˜o pertencer a` unia˜o.
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Subespac¸os vetoriais
Apresentaremos a seguir, dois exemplos para ilustrar o fato de a pro-
posic¸a˜o anterior na˜o ser va´lida para a unia˜o de subespac¸os.
Exemplo: Sejam W1,W2 ⊂ R3 definidos como segue: W1 =
{(x , y , z) ∈ R3; z = 0} e W2 = {(x , y , z) ∈ R3 : z = 0 e x = y }.
E´ fa´cil ver que W1 ∪W2 = W1, que e´ subespac¸o vetorial.
Este exemplo apresenta a condic¸a˜o necessa´rio e suficiente para a unia˜o
de subespac¸os ser um subespac¸o, a relac¸a˜o de inclusa˜o entre eles
(prove !).
ExemploF: Sejam W1,W2 ⊂ R3 definidos como segue: W1 =
{(x , y , z) ∈ R3; x = y = 0} e W2 = {(x , y , z) ∈ R3 : z = 0}. E´ claro
que (0, 0, 1), (1, 1, 0) ∈W1∪W2, mas (0, 0, 1)+(1, 1, 0) = (1, 1, 1) 6∈
W1 ∪W2. Logo, W1 ∪W2 na˜o e´ subespac¸o vetorial.
A seguir, definimos a operac¸a˜o soma de subespac¸os vetoriais cujo
resultado e´ um subespac¸o vetorial.
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Subespac¸os vetoriais
Dados U e W subespac¸os de um espac¸o vetorial V , definimos a soma
de U e W , denotada por U +W , como o conjunto
U +W = {u + w : u ∈ U e w ∈W }.
Proposic¸a˜o: A soma de dois subespac¸os U e W de um espac¸o vetorial
V e´ um subespac¸o de V . Este e´ o menor subespac¸o de V que conte´m
cada um dos subespac¸os.
Prova: A primeira parte da demostrac¸a˜o e´ deixada a cargo do leitor.
Para mostrar que U + W e´ o menor subespac¸o vetorial de V que
conte´m U e W , seja L um subespac¸o de V que conte´m U e W . Para
todos u ∈ U e w ∈ W , temos que u,w ∈ L, logo u + w ∈ L. Isto
mostra que U +W ⊂ L.
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Subespac¸os vetoriais
Voltando ao Exemplo F, temos que: dado (x , y , z) ∈ R3 enta˜o
w1 = (0, 0, z) ∈ W1, w2 = (x , y , 0) ∈ W2 e w1 + w2 = (x , y , z).
Neste caso, dizemos que R3 e´ soma de W1 e W2. Mais geralmente,
sejam U e W subespac¸os de um espac¸o vetorial V . O espac¸o vetorial
V e´ dito ser a soma de U e W , e representamos por V = U +W , se
dado v ∈ V existem u ∈ U e w ∈ W tais que v = u + w . Quando
U ∩ W = {0}, dizemos que a soma e´ direta e representamos por
V = U ⊕W .
O pro´ximo resultado mostra uma importante propriedade das somas
diretas.
Teorema: Sejam U e W subespac¸os de um espac¸o vetorial V . Temos
que V = U ⊕W se, e somente se, todo vetor v em V se escreve de
modo u´nico como v = u + w , onde u ∈ U e w ∈W .
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Subespac¸os vetoriais
Como vimos, a unia˜o de subespac¸os nem sempre e´ um subespac¸o.
Contudo, a partir da unia˜o podemos obter o menor subespac¸o que
conte´m os subespac¸os dados (a soma). Para tanto, precisamos da
definic¸a˜o de combinac¸a˜o linear: Seja V um espac¸o vetorial e sejam
v1, . . . , vr vetores de V . Diremos que um vetor v ∈ V e´ uma com-
binac¸a˜o linear de v1, . . . , vr se existirem nu´meros reais a1, . . . , ar tais
que
v = a1v1 + · · ·+ arvr .
Definic¸a˜o: Sejam V um espaco vetorial e S um subconjunto na˜o
vazio de V . Usaremos o s´ımbolo G (S) para denotar o conjunto de
todas as combinacoes lineares dos elementos de S . Se S e´ finito, S =
{v1, . . . , vr } enta˜o denotamos G (S) = G (v1, . . . , vr ). Este subespac¸o
e´ chamado o subespac¸o gerado por v1, . . . , vr e dizemos que v1, . . . , vr
geram G (S) ou que {v1, . . . , vr } e´ um conjunto gerador de G (S).
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Subespac¸os vetoriais
O resultado a seguir mostra que G (S) e´ um subespac¸o de V .
Teorema: Seja W = G (S). Valem as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) W e´ um subespac¸o de V ;
(b) W e´ o menor subespac¸o de V contendo S .
Como consequeˆncia imediata deste teorema temos que: se U e W
sa˜o subespac¸os de V , enta˜o G (U ∪W ) = U +W .
Exemplo: Vamos encontrar o subespac¸o de R3 gerado pelos vetores
v1 = (1,−2,−1) e v2 = (2, 1, 1). Dado (x , y , z) ∈ R3, temos que
(x , y , z) ∈W = G (v1, v2) se so´ se existem a, b ∈ R tais que
(x , y , z) = a(1,−2,−2) + b(2, 1, 1).
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Subespac¸os vetoriais
Ou, equivalentemente se, e somente se, o sistema linear
a + 2b = x
−2a + b = y
−a + b = z
tem soluc¸a˜o. A matriz ampliada do sistema e´ equivalente a` matriz 1 2 x0 1 (x + z)/3
0 0 (x + 3y − 5z)/3
 .
Portanto, o sistema tem soluc¸a˜o se, somente se, x + 3y − 5z = 0.
Da´ı, W = {(x , y , z) : x + 3y − 5z = 0}.
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