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38 Geometria Analítica \ 
Para calcular j|w + v|| e ||u - v|[, procedemos assim: 
||u + v||2 = (u + v). (u + v) = u . u + 2u . v + v . v = ||w||2 + ||v||2 + 2u . v = 4 + 2u . v. 
Mas 
J 3 3 
Logo, 
u . v = ||u|| j|v|| cos 30° = —. 
||M + V||2 = 4 + 2 . | = 7 . 
Portanto, 
\\u + v|| = -v/7. 
Procedendo da mesma forma, encontramos 
||u - v|| = 1. 
Portanto, 
2 2^ 7 
COS0 = I— = 
V7J 7 
A 2V7 d = arccos . 
7 
Observe que u + v e u - v são as diagonais do paralelogramo definido pelos vetores u e v. 
Exercícios 
2.31. Sejam u = (2, 4) e v = (-3, 5). Determine: 
a) o produto escalar de u por v; 
b) o ângulo entre u e v; 
c) Puv 
2.32. a) Dado ô vetor u = (x, y), mostre que os vetores v = {-y, x) e w = (y, -x) são perpendicu-
lares a « e que ||u|| = [JV|[ = ||H'|[. 
b) Faça numa figura a representação dos vetores u, v e w. 
2.33. a) Encontre um vetor de módulo 5 perpendicular ao vetor (2,-1). 
b) Determine o valor de x para que o vetor (2, x2 - 1) seja perpendicular ao vetor (-6, 4). 
2.34. Dado o triângulo cujos vértices são A(l , 1), B(4, 0) e C(3, 4), determine: 
a) os ângulos A, B e C; 
b) as projeções dos lados AC e BC sobre o lado AB\ 
c) o pé da altura relativa ao vértice C; 
O Plano 39 
d) a área do triângulo ABC; 
e) a interseção da bissetriz do ângulo B com o lado AC. 
2.35. Determine a altura (relativa ao lado AD) do paralelogramo cujos vértices são A( 1,0), B(2,2), C(5,3) 
e D(4, 1). 
2.36. Calcule a área do paralelogramo cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD, 
sendo A(0, 1), B(-4, -1), C(5, -3) e D(7, 0). 
2.37. Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (-2, 3) e v = (5, 1). 
2.38. Verif ique que os pontos A(2, 7), B{2, -6) e C(5, -6) são os vértices de um triângulo retângu-
lo. 
2.39. Seja u = (3, 1). Determine as coordenadas de um vetor v, de módulo 2, e que faz com u um ângulo 
2.40. Escreva o vetor (7, -1) como soma de dois vetores, um dos quais é paralelo e o outro é perpendicular 
ao vetor (1, -1). 
2.41. Sejam u e v vetores unitários e perpendiculares, w = a,u + Z?,v e z = a-,u + b2v. Calcule: 
a) |M|e||z||; 
b) w . z; 
c) o ângulo entre w e z. 
2.42. Sejam u ev vetores distintos. Mostre que, se u + v é perpendicular a u - v, então ||u|| = ||v||. A que 
teorema sobre quadriláteros corresponde este resultado? 
2.43. Sejam e, = (1, 0), e2 = (0, 1) e w = (x, y). Mostre que 
a) w = xex + ye2\ 
b) w = (w . e„ w . e2). 
2.44. Calcule o ângulo entre os vetores v e i e , sabendo que: 
e que o ângulo entre u e v é -TT/8. 
2.45. Se u + v + w = 0, j|«|| = 5, ||v|| = 6 e j|w|| = 7, calcule: 
a) u . v; b) u . w; c) v . w. 
2.46. Se PVU = (2 ,1) , u = (4, 2) e ||v|| = 6, determine v. 
2.47. Demonstre que todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto. (Sugestão: Demonstre que os 
vetores PA e PB, da Figura 2.21 são perpendiculares.) 
2.48. Sejam u e v vetores não-nulos. Demonstre que u é perpendicular a v - P . 
de 30°. 
M I = M = 5; !MI = 1; l k v + w|| = |w + v + vv 
u 
A B 
Fig. 2.24