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CALCULO: Limite e Continuidade
Prof. Lúcio Fassarella
As questões desta lista estão divididas em três grupos: conceitual, operacional e aplicado. Os objetivos
desses grupos de questões são distintos, mas todos são importantes: as questões conceituais visam …xar e
articular as idéias da teoria; as questões computacionais visam desenvolver a capacidade de manipulação
algébrica; as questões aplicadas visam ilustrar o uso dos conceitos na resolução de problemas práticos.
Questões conceituais
1. Explique o signi…cado do conceito de limite.
2. Explique a diferença entre limite e limite lateral.
3. Explique o signi…cado do conceito de continuidade.
4. Enuncie o Teorema do Valor Intermediário.
5. Use o Teorema do Valor Intermediário para veri…car se a equação tem solução real no intervalo dado:
(a) sin (x+ 0:5) = x2; x 2 [��; �];
(b) ex � x4 = 0; x 2 [0; 2];
(c) x� ln (x) ; x 2 (0;+1).
6. Use a de…nição para determinar se os seguintes limites existem
i) lim
x!1
1
1 + x
ii) lim
x!0
x sin (1=x) iii) lim
x!2
jx� 2j
7. Discuta a continuidade da seguinte função:
f (x) = sin
�
1
x
�
tanh
�
ecos(x
3+1)
�
+ 4
p
ln (7x5 + 3x):
8. Considere a seguinte função:
f : R! R ; f (x) =
�
x cos (1=x) ; x 6= 0
1 ; x = 0
(a) f possui limites laterais em x = 0? Por que?
(b) f possui limite em x = 0? Por que?
(c) f é contínua em x = 0? Por que?
9. Seja f : I ! R uma função contínua em x0 2 I. Prove que se f (x0) 6= 0, então existe uma vizinhança
de x0 na qual f não muda de sinal.
10. Seja f : I ! R função de…ninda num intervalo aberto I � R. Dizemos que f é derivável em x0 2 I
quando existe o seguinte limite
lim
h!0
f (x+ h)� f (x)
h
Prove que se f é derivável em x0 2 I, então f é contínua em x0.
1
Questões operacionais
1. Calcule os limites
i) limx!3 5x
2�8x�13
x2�9 ii) limx!3
x4�81
2x2�5x�3
iii) limx!4 3�
p
x+5
x�4 iv) limx!1
x1=2�1
x1=3�1
v) limx!4
p
x�2
x�4 vi) limx!1
x3�1
(x�1)2
vii) limx!0
3p8+h�2
h viii) limx!1
51=x
21=x+31=x
ix) limx!0
sin(5x)
3x x) limx!0 x
3 cos
�
2
x
�
2. Calcule os limites no in…nito
i) limx!1 x
3+5x�2
x4�100x ii) limx!1
x3=2+2x2=3+5x4=5
x2+1
iii) limx!1
�
x3 � 1000x2� iv) limx!1 �x�px2 + 7�
v) limx!1 e
x
x100 vi) limx!1
ln2(x)+45
p
x
x
vii) limx!1
sin(3x)
x viii) limx!1 ln
�
x5+27
4x5�x3
�
ix) limx!1 arcsin
�
x
x2+1
�
x) limx!1 arctan
�
2x3
�
3. Analise os limites laterais das funções em x = 0:
i) f (x) =
x
jxj ii) g (x) =
1
x
iii) h (x) = sin
�
1
x
�
:
4. Considerando
lim
x!0
cos (x)� 1
x2
= �1
2
;
calcule os limites
i) lim
x!0
cos (x)� 1
x
ii) lim
x!0
cos (ax)� 1
cos (bx)� 1 (a; b 2 R
�) iii) lim
x!0
cos (3x)� 1
x2
:
5. Analise a continuidade das funções de…nidas em R:
a (x) :=
�
3x� 5 ; x 6= 1
2 ; x = 1
b (x) :=
�
x2 + 2x ; x � �2
x3 � 6x ; x � �2
f (x) =
�
x3�8
x2�4 ; x 6= 2
3 ; x = 2
g (x) =
�
sin(x)
x ; x 6= 0
0 ; x = 0
h (x) =
�
x sin (x) ; x 6= 0
0 ; x = 0
k (x) =
� x+1
ln(x) ; x 6= 0
0 ; x = 0
6. Determine e desenhe as assíntotas das seguintes funções:
i) f (x) = ax+ b ii) g (x) = sec (x) iii) h (x) =
sin (x)
x
iv) y (x) =
p
x2 � 1 v) z (x) = x+ 1
ln (x)
:
2
Problemas de aplicação
Problema 1 Suponha seja gasto 0:5 cal calor para aumentar em 1 �C a temperatura de 1 g de gelo, que
sejam gastos 80 cal para derreter o gelo a 0 �C, e que seja gasto 1 cal para aumentar em 1 �C a temperatura
de 1 g de água. Considere que Q (�) seja o número de calorias gastas para aumentar a temperatura de 1 g
de água (congelada ou liquefeita) da temperatura de �40 �C até � �C. Faça um esboço do grá…co de Q (�)
no intervalo � 2 [�40; 20] e analise sua continuidade.
Problema 2 Suponha que a bandeirada de um táxi custa 60 centavos mais 10 centavos para cada quarto de
km ou porção disso. Denote por f (x) a bandeirada para uma viajem de x km; determine o domínio de f ,
trace seu grá…co e analise sua continuidade.
Problema 3 Uma empresa fabrica latas na forma de cilindro circular reto com altura igual ao diâmetro;
considerando que as latas devem ter volume igual a 500ml, determine a precisão com que se deve medir as
dimensões da lata para que a variação do volume em torno de 500ml seja inferior a 2%.
Problema 4 Escreva a área da superfície de uma esfera em função do seu volume e determine o volume v0
para o qual a área é numericamente igual a esse volume. Então, determine o maior intervalo de variação
do volume da esfera em torno de v0 no qual a variação da área seja menor do que o máximo de 1%.
Problema 5 (Radioterapia) Radioterapia é qualquer técnica de combate a tumores que utiliza radição
ionizante. Nas seções de radioterapia por bombardeio de raios-X, a exposição dos pacientes pode ser con-
trolada mediante o emprego de materiais que absorvem ou bloqueiam parcialmente a passagem de radiação.
Considere um aparelho radioterápico que produz um feixe de raios-X com intensidade constante I0 e cujo
controle da intensidade da radiação que deve incidir sobre um paciente seja feito pela inserção de placas
de chumbo na trajetória do feixe de raios-X. Teoricamente se prevê e experimentalmente se veri…ca que a
intensidade de um feixe de raios-X que atravessa uma placa de chumbo decai exponencialmente em função
da expessura s da placa, i.e.,
I (s) = I0e
�as;
onde a é uma constante positiva característica da interação entre os raios-X e o chumbo. Suponha que a
intensidade do feixe produzido pelo aparelho seja I0 = 1MeV cm�2 s�1 e que tenhamos o valor da constante
a = 0; 151 cm�1; se as placas de chumbo têm expessura " = 1mm, quantas devem ser usadas no bombardeio
de um paciente para o qual foram prescritas seções de radioterapia com intensidades entre 0:3MeV cm�2 s
�1e 0:4MeV cm�2 s�1?1
Problema 6 Uma partícula de massa m que cai próxima à superfície terrestre sofre uma força de resistência
do ar que depende da sua velocidade; quando a força de resistência é proporcional à velocidade
f (v) = �bv (b > 0) :
e sua velocidade inicial é v0, podemos deduzir que a velocidade depende do tempo de acordo com a seguinte
função
v (t) =
mg
b
+
�
v0 � mg
b
�
e�
b
m t:
1. Calcule e interprete o limite limt!1 v (t).
2. Faça um esboço do grá…co de v (t).
1Observações: Neste problema, a concepção do aparelho radioterápico e os valores numéricos são …ctícios. O MeV é uma
unidade de medida de energia e o MeV cm�2 s�1 é uma unidade de ‡uxo de energia.
3
Problema 7 O espaço percorrido por uma partícula em função do tempo é dado por
s (t) = 32� 12t+ 5t2 ; t � 0:
1. Faça um esboço do grá…co de s (t);
2. Determine as velocidades médias da partícula entre os instantes t = 1 e t = 2;
3. Determine a expressão para a velocidade média da partícula entre t0 = 1 e t 6= 1;
4. Calcule a velocidade instantânea da partícula em t0 = 1, de…nida pelo limite
lim
t!1
�
32� 12t+ 5t2�� 25
t� 1 :
Problema 8 Suponha seja gasto 0:5 cal calor para aumentar em 1 �C a temperatura de 1 g de gelo, que
sejam gastos 80 cal para derreter o gelo a 0 �C, e que seja gasto 1 cal para aumentar em 1 �C a temperatura
de 1 g de água. Considere que Q (�) seja o número de calorias gastas para aumentar a temperatura de 1 g
de água (congelada ou liquefeita) da temperatura de �40 �C até � �C. Trace o grá…co de Q (�) no intervalo
� 2 [�40; 20] e analise sua continuidade.
1. Determine a expressão de Q (�) em função de � 2 [�40; 20];
2. Faça um esboço do grá…co de Q (�);
3. Determine os limites laterais e inteprete a diferença:
lim
�!0+
Q (�)� lim
�!0�
Q (�) :
Problema 9 A órbita da estação espacial LYX é descrita pela seguinte equação carteziana (referente a um
sistema de coordenadas adequado e a unidades de medida convenientes):
x2
18
+y2
2
= 1:
1. Para cada ponto (x; y) distinto de (3; 1) da órbita de LYX, determine a inclinação2 a (x; y) da reta
secante que passa por esses pontos;
2. Calcule a inclinação da reta que tangente a órbita de LYX que passa pelo ponto (3; 1), de…nida pelo
limite
lim
x!3
p
2� x2=9� 1
x� 3 :
3. Se a estação LYX deve lançar um satélite tangencialmente a sua órbita no ponto (3; 1), qual é o ângulo
de lançamento (medido no sentido anti-horário em relação ao eixo-x)?
4. Num software de geometria dinâmica, construa as retas secantes e a reta tangente da órbita de LYX
que passam pelo ponto (3; 1) e veri…que a correção das respostas obtidas nos ítens anteriores.
2A inclinação de uma reta no plano carteziano (que não é paralela ao eixo-y) é a tangente do ângulo que a reta faz com o
eixo-x, sendo esse ângulo medido no sentido anti-horário. Se a reta é de…nida pela equação cartesiana y = ax + b, então sua
inclinação coincide com o coe…ciente angular a; se a reta é o grá…co de uma função a…m f (x) = ax + b, então sua inclinação
coincide com a taxa de variação de f .
4
Problema 10 A produção de uma empresa é dada pela seguinte função de produção de Cobb-Douglas, que
depende das variáveis capital � e trabalho �:
P (�; �) = 12�0:5�0:5:
Considere que o custo de produção é dado em termos de valores de mercado r e s para cada unidade de
capital e trabalho, respectivamente:
C (�; �) = r�+ s�:
Para as seguintes questões, considere r = 1 e s = 3.
1. Na situação de custo …xado C0 = 28, faça um esboço do grá…co da produção em função do trabalho.
2. Na situação de custo …xado C0 = 28, determine a expressão da taxa média de variação da produção
em torno de � = 4;
3. Na situação de custo …xado C0 = 28, calcule a taxa de variação da produção em torno de � = 4,
de…nida pelo limite
lim
�!4
12 (28� 3�)0:5 �0:5 � 96
�� 4 :
4. Na situação de custo …xado C0 = 28 e � = 4, a empresa ganha ou perde se aumentar um pouco seu
investimento em trabalho?
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